Écoulements monodimensionnels des fluides compressibles

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12/09/2008
Écoulements monodimensionnels
des fluides compressibles
par
André LALLEMAND
Ingénieur, docteur ès sciences physiques
Professeur des universités à l’Institut national des sciences appliquées (INSA) de Lyon
1.
1.1
1.2
1.3
1.4
Étude générale de l’écoulement ..........................................................
Équations de base de l’écoulement ...........................................................
Résolution des problèmes ..........................................................................
Application des équations énergétiques à quelques cas particuliers .....
Vitesse du son..............................................................................................
2.
2.1
2.2
Écoulement isentropique d’un gaz parfait .......................................
Étude générale de l’écoulement.................................................................
Particularités de l’écoulement ....................................................................
—
—
—
6
6
8
3.
Écoulement adiabatique d’un gaz parfait
en conduite cylindrique .........................................................................
Équations de l’écoulement de Fanno.........................................................
Évolution du fluide en diagramme entropique .........................................
Nature de l’écoulement...............................................................................
—
—
—
—
11
11
12
12
4.1
4.2
4.3
Écoulement réversible d’un gaz parfait
en conduite cylindrique .........................................................................
Équations de l’écoulement de Rayleigh ....................................................
Évolution du fluide en diagramme entropique .........................................
Nature de l’écoulement...............................................................................
—
—
—
—
14
14
14
14
5.
5.1
5.2
5.3
Écoulement isentropique d’un gaz parfait dans une tuyère........
Définition d’une tuyère................................................................................
Écoulement en tuyère de Laval ..................................................................
Réalisation pratique et rendement des tuyères ........................................
—
—
—
—
15
15
15
18
6.
6.1
6.2
Ondes de choc ..........................................................................................
Équations des ondes de choc .....................................................................
Relations entre les paramètres du fluide de part et d’autre de l’onde
de choc .........................................................................................................
Application à la mesure de la vitesse en écoulement supersonique ......
Application à la détermination de la position de l’onde de choc
dans le divergent d’une tuyère de Laval....................................................
Estimation de l’épaisseur d’une onde de choc .........................................
—
—
19
19
—
—
19
21
—
—
22
22
Références bibliographiques .........................................................................
—
23
3.1
3.2
3.3
4.
6.3
6.4
B 8 165
4 - 1997
6.5
n génie énergétique, les fluides sont omniprésents, qu’ils soient
incompressibles ou compressibles. En effet, ils sont très souvent les agents
des transferts énergétiques par leurs propriétés de conduction de la chaleur et
surtout leur faculté à transporter l’énergie sous diverses formes : énergie cinétique, énergie potentielle, pression, énergie interne, etc.
Pour assurer ce rôle, ils sont quasiment toujours mis en mouvement. Il est
alors essentiel de bien connaître les lois de la cinématique et de la dynamique
des fluides. Dans leur généralité, ces lois sont relativement complexes et donnent
lieu à des résolutions faisant appel à des méthodes numériques et à des temps
E
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—
3
—
4
—
4
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5
B 8 165 − 1
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ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES __________________________________________________________________________
de calculs importants. Heureusement, dans un grand nombre de situations industrielles, on note des conditions particulières qui permettent de simplifier les équations de base et leur résolution. L’écoulement monodimensionnel des gaz parfaits
en régime permanent en est un exemple.
En réalité, ce type d’écoulement, au sens strict, ne représente que très peu
de cas réels. En effet, dans presque toutes les situations pratiques, les paramètres
des écoulements de gaz ou de vapeurs varient selon deux, voire trois, dimensions
de l’espace. Ils sont donc bidimensionnels ou tridimensionnels. Cependant, en
admettant quelques distorsions par rapport à la réalité, on peut dans certaines
études qui ne nécessitent pas des résultats rigoureux, faire l’hypothèse que les
variations des paramètres dans les directions transversales peuvent être négligées.
L’article présenté est basé sur cet axiome. Il permet de traiter de façon relativement simple un problème compliqué d’écoulements de fluides compressibles
et d’aboutir malgré cela à des résultats utiles pour l’ingénieur.
Notations et symboles
Notations et symboles
Symbole
Désignation
Symbole
Désignation
cp
capacité thermique massique à pression
constante
x
z
abscisse verticale
cV
capacité thermique massique à volume
constant
δ
taux de détente
D
diamètre de la canalisation
γ
e
énergie massique
rapport des capacités thermiques
massiques à pression et à volume
constants
ec
énergie cinétique massique
η
rendement
eP
énergie potentielle massique
λ
coefficient de pertes de charge
f
force de viscosité
ρ
masse volumique
g
accélération
τ
travail massique des forces de frottement
h
enthalpie massique
Ω
section droite
J
pertes de charge
M˙
longueur de la canalisation
ṁ
vitesse massique
Ma
nombre de Mach
*
critique
p
pression
0
relatif à l’état initial
r
constante du gaz
abscisse
débit-masse
Liste des Indices
1,2
amont, aval
entropie massique ou abscisse curviligne
c
col, cinétique
temps
i
au point d’inflexion
T
température thermodynamique
p
à pression constante
u
vitesse moyenne débitante
s
son, isentropique
vecteur vitesse
S
sortie
v
vitesse
t
technique, totale, transition
ν
volume massique
V
à volume constant
vs
vitesse du son
s
t
v
vs ∗
B 8 165 − 2
vitesse du son critique
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1. Étude générale
de l’écoulement
ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES
Cette équation peut encore s’écrire sous la forme suivante :
dρ dv dΩ
--------- + --------- + ---------- = 0
ρ
v
Ω
Dans certaines applications, les écoulements de fluides
compressibles peuvent être étudiés en ne s’attachant qu’à la
composante principale v p des vecteurs vitesse, celle dont la direction
est en tous points perpendiculaire au plan normal à la ligne générale
de l’écoulement, encore appelée ligne moyenne (figure 1a ). La
viscosité de ces fluides étant en général très faible et les écoulements
considérés de type turbulent, on peut faire l’hypothèse que cette
composante de la vitesse ne varie pas dans une section droite de
l’écoulement. La connaissance de l’écoulement, sur le plan cinématique, se réduit alors à la détermination de la valeur vp de la vitesse
en fonction de l’abscisse curviligne s. On a ainsi affaire à un problème
d’écoulement monodimensionnel dans lequel on fait l’hypothèse
que tous les autres paramètres physiques du fluide ne dépendent
que de s. Un exemple de ce type de problème est celui de l’étude
simplifiée de l’écoulement d’un gaz entre les aubages d’une turbine
à gaz (figure 1b ).
Outre la connaissance de la composante vp de la vitesse (notée
simplement v dans la suite), la résolution de tels problèmes
consiste à déterminer l’évolution de la pression et de la température en fonction de l’abscisse s de l’écoulement et de ses
conditions aux limites. Pour une telle résolution, on fait appel aux
relations classiques de la mécanique des fluides et de la thermodynamique.
Les équations générales de l’écoulement monodimensionnel d’un
fluide compressible ont pour fondement les équations de continuité,
de la quantité de mouvement, de l’énergie, d’une part, l’équation
d’état du fluide, d’autre part. On peut y ajouter, pour des écoulements
particuliers, des équations traduisant certaines transformations
typiques en thermodynamique telles que l’équation de la transformation isentropique d’un gaz parfait ou l’équation liant l’enthalpie
aux variables thermodynamiques.
(3)
1.1.2 Bilan de la quantité de mouvement
Le bilan de la quantité de mouvement donne lieu à une équation
vectorielle qui traduit simplement l’égalité entre les forces d’inertie
du fluide et les forces qui lui sont appliquées. Dans le cas classique
où on ne considère parmi ces forces que celles qui sont dues à la
pression p, à la pesanteur g et à la viscosité du fluide, cette équation
s’écrit de la manière suivante :
Dv
ρ --------- = – grad p – ρ f – ρ g gradz
dt
avec
f
forces visqueuses par unité de masse,
z
abscisse verticale,
(4)
Dv
--------- d’Alembertien de la vitesse, c’est-à-dire sa dérivée totale
d t par rapport au temps.
Pour un écoulement monodimensionnel et permanent, on a, en
projection sur la tangente à la ligne moyenne :
soit :
dv 1 dp
dz
v -------- + ---- -------- + g -------- + f = 0
ds ρ ds
ds
(5)
dp
v dv + -------- + g dz = – f ds
ρ
(6)
1.1 Équations de base de l’écoulement
Pour la forme générale des équations qui régissent les écoulements quelconques, on se reportera à la référence [1]. Nous ne
donnons ici que leur forme particulière, applicable au cas étudié, qui
est celui d’un écoulement conservatif (sans source ni puits de
courant), stationnaire, à l’intérieur d’un tube de courant, c’est-à-dire
dans un domaine dont la surface latérale ne peut pas être traversée
par le fluide : une canalisation par exemple.
Figure 1 – Écoulements monodimensionnels de gaz
1.1.1 Équation de continuité
Cette équation traduit la conservation de la masse. Elle s’écrit :
ρ
1
v1 d Ω1 =
ρ
2
v2 d Ω2
(1)
où Ω1 et Ω2 sont des sections planes perpendiculaires à la ligne
moyenne encore appelées sections droites (figure 2) et v i la
composante du vecteur vitesse selon la normale à chacune de ces
sections. Compte tenu de l’hypothèse de la constance de cette vitesse
sur une section droite et en admettant que la masse volumique ρ
soit également constante sur cette section, on peut écrire :
ρ 1 v 1 Ω 1 = ρ 2 v 2 Ω 2 = Ṁ
où
Ṁ
Figure 2 – Écoulements monodimensionnels dans un tube de courant
(2)
est le débit-masse du fluide dans le tube de courant.
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1.2 Résolution des problèmes
1.1.3 Équation de l’énergie cinétique
ou équation énergétique mécanique
Lorsqu’on intègre l’équation (6) entre les points 1 et 2 d’une même
ligne de courant (ligne en tous points parallèle aux vecteurs vitesse
qui, en écoulement stationnaire, est confondue avec la trajectoire
d’une particule), on obtient :
2
1
dp
-------- + ∆e c 12 + ∆e P 12 + τ 12 = 0
ρ
(7)
C’est une équation énergétique massique dite équation de l’énergie cinétique, ou encore équation énergétique mécanique, car elle
ne fait apparaître explicitement que des énergies de type
mécanique : de pression p, cinétique e c , gravifique ou potentielle
e P . L’opposé du travail des forces de frottement par unité de masse
τ 12 , toujours positif, correspond à la transformation d’énergie mécanique en énergie thermique.
Comme l’équation (7) est déduite de (6), on utilisera soit l’une, soit
l’autre de ces expressions puisqu’elles sont physiquement
identiques.
Si on interpose un élément mobile d’une machine entre les points
1 et 2 de la ligne de courant, l’intégration de l’expression (6) donne :
w t 12 =
2
1
2
Le système des quatres équations (2) ou (3), (6) ou (8), (9) et (11)
permet de déterminer quatre inconnues si on connaît les autres paramètres ainsi que les conditions à l’amont de l’écoulement.
Les paramètres intervenant dans ce système sont v, ρ, p, T, z, Ω,
w t , q, h et τ. En général, on suppose connues les évolutions de Ω,
z, w t , q et p lorsque la section se déplace. Il reste alors cinq inconnues
à déterminer : v, ρ, T, h et τ, pour quatre équations. L’équation de
fermeture du système est alors l’équation qui lie l’enthalpie à la pression et à la température et qui, dans le cas d’un gaz parfait, s’écrit
simplement :
dh = c p dT
1.3 Application des équations
énergétiques à quelques cas
particuliers
(8)
1.3.1 Fluide en écoulement dans une canalisation
(sans machine)
Dans ce cas, w t = 0. Alors les équations (8) et (9) donnent
respectivement :
1.1.4 Équation de l’énergie ou équation
énergétique thermodynamique
2
2
v2–v1
dp
--------- + g ( z 2 – z 1 ) + ------------------- + τ 12 = 0
ρ
2
q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12 + ∆e P 12
w t 12 + q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12 + ∆e P 12
h
enthalpie de l’unité de masse.
Cette équation peut s’écrire plus simplement sous la forme :
(14)
soit, en les combinant :
q 12 +
2
1
dp
--------- + τ 12 = ∆h 12
ρ
(15)
(équation qui est toujours valable, qu’il y ait ou non une machine).
1.3.2 Écoulement d’un fluide non pesant
dans une canalisation fixe
Pour les écoulements de gaz, on peut pratiquement toujours négliger la variation d’énergie potentielle (∆e P ≈ 0, sauf dans l’étude particulière des cheminées). Alors, s’il n’y a pas de machine, on a :
(10)
2
v
où h t = h + ------- + g z est l’enthalpie totale.
2
1.1.5 Équation d’état du fluide
Cette équation caractérise l’état thermodynamique d’un fluide. Elle
n’a une forme simple que dans le cas des gaz parfaits. Elle s’écrit
alors :
p
(11)
---- = r T
ρ
R
où
r = ------ est la constante du gaz étudié,
M
R = 8,314 J/(mol · K) constante molaire des gaz,
2
1
dp
-------- + ∆e c 12 + τ 12 = 0
ρ
q 12 = ∆h 12 + ∆e c 12
(16)
(17)
1.3.3 Écoulement adiabatique d’un fluide
non pesant dans une canalisation fixe
S’il n’y a pas d’échange thermique, l’équation (17) devient :
∆h 12 + ∆e c 12 = 0
v2
------ + h = Cte
2
ou encore :
c’est l’équation de Zeuner.
M masse molaire du gaz.
Pour les gaz réels, il convient d’utiliser d’autres équations qui sont
plus ou moins complexes [2].
B 8 165 − 4
(13)
(9)
quantité de chaleur échangée entre l’unité de masse du
fluide et le milieu extérieur à l’élément de fluide
considéré,
w t + q = ∆h t
2
1
L’équation de l’énergie traduit le premier principe de la thermodynamique. Sous sa forme technique, c’est-à-dire en ne considérant
explicitement dans l’énergie mécanique échangée entre le fluide et
son environnement que la part due à l’échange avec des éléments
mobiles liés à un arbre de machine, on l’écrit, pour un tube de courant
avec les hypothèses mentionnées ci-dessus :
q
(12)
si c p , qui est la capacité thermique massique sous pression
constante, peut être considérée comme constante.
2
v2–v1
dp
-------- + g ( z 2 – z 1 ) + ------------------- + τ 12
ρ
2
où w t 12 représente l’énergie reçue par l’unité de masse de fluide
lors de son contact au cours du déplacement 1-2 avec cet élément
de machine. Cette énergie est encore appelée : travail technique.
avec
h = c p T + Cte
ou :
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(18)
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ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES
Appliquons cette équation au cas particulier d’un fluide s’écoulant
dans une canalisation placée en aval d’un réservoir de grandes
dimensions (figure 3) dans lequel l’énergie cinétique peut être négligée. Alors l’équation de Zeuner s’écrit :
2
v
h 0 = h 1 + ------12
soit :
2 ∆ h 10 =
v1 =
(19)
2 ∆h 0 1
h 0 est appelé enthalpie d’arrêt ou enthalpie de l’état générateur
de l’état 1.
Figure 3 – Écoulement d’un fluide compressible
dans une canalisation alimentée par un réservoir
1.3.4 Écoulement réversible (fluide parfait)
Un écoulement ne peut être réversible qu’en absence de viscosité,
ce qui entraîne : τ 12 = 0. Alors l’équation (16) donne :
2
1
ou :
dp
--------- + ∆e c 12 = 0
ρ
=0
v2
dp
--------- + d ------2
ρ
(20)
1.4 Vitesse du son
Le son est produit par des variations faibles de la pression du
milieu dans lequel il se propage. Ainsi, la vitesse du son correspond
à la propagation de ces variations de pression.
Imaginons un milieu fluide, un gaz par exemple, dans lequel on
observe localement une différence de pression d p entre la partie
droite 1 et la partie gauche 2 du milieu (figure 4) et admettons que
la zone de variation soit plane et de dimension infinie. L’onde sonore,
se déplace, par définition, à la vitesse du son vs . Dans le mouvement
relatif onde sonore-fluide, le fluide se déplace par rapport à l’onde
à la même vitesse. La section Ω de part et d’autre de l’onde de pression étant la même, l’équation (3) s’écrit :
d ρ dv s
--------- + ---------- = 0
vs
ρ
(21)
En admettant que la traversée de l’onde de pression se fasse de
manière réversible, donc sans frottement compte tenu notamment
de la valeur infiniment petite de l’épaisseur du front d’onde,
l’équation (6) devient, en négligeant la pesanteur ou en supposant
que l’onde se déplace horizontalement :
dp
v s dv s + -------- = 0
ρ
La combinaison de ces deux équations
vs =
dp
--------dρ
soit :
p
dp
--------- = γ ---ρ
dρ
Dans ce cas, la vitesse du son a pour expression :
(21)
2
vs
– (22) donne :
(25)
ou, en tenant compte de l’équation d’état des gaz parfaits (11) :
vs =
γ rT
(26)
Si le fluide n’est pas un gaz parfait, en considérant toujours la transformation isentropique, on peut écrire, d’une manière générale :
2
vs =
∂p
------∂ρ
s
Or, en notant que le coefficient isentropique vaut, par définition :
ν
k s = – ---p
où ν = 1/ρ
∂p
∂------ν
s
ρ ∂p
= ---- -------p ∂ρ
p
2
v s = k s ---ρ
on a :
(27)
La vitesse du son peut être reliée au coefficient de compressibilité
isentropique K s du fluide :
1
K s = – ---ν
∂ν
∂-------p
s
1
= ---ρ
∂ρ
∂-------p
s
1
= ----------p ks
soit, avec (27) :
V 1
1
2
v s = ------------ = --------- ------ρ Ks
M Ks
où V et M sont respectivement le volume molaire et la masse
molaire du fluide.
La vitesse du son est donc d’autant plus faible que la compressibilité du fluide est plus grande.
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s
est le volume massique,
(23)
(24)
p
γ ---ρ
vs =
(22)
Compte tenu que l’on a affaire à un phénomène local rapide, on
peut admettre que ce phénomène est adiabatique. Avec l’hypothèse de réversibilité, il est donc isentropique. En admettant que le
fluide considéré soit un gaz parfait idéal (gaz parfait pour lequel le
coefficient γ = c p /c V , rapport des capacités thermiques massiques
à pression et à volume constants, est constant), l’équation de la
transformation isentropique est :
p
------- = Cte
ργ
Figure 4 – Propagation d’une onde sonore
B 8 165 − 5
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2. Écoulement isentropique
d’un gaz parfait
La relation de Poisson, déduite des équations (11) et (24), s’écrit :
L’étude de l’écoulement monodimensionnel isentropique d’un gaz
parfait conduit à la notion d’écoulement en tuyère que l’on retrouve
dans de nombreuses machines thermiques. Dans ce cas, en
considérant la canalisation fixe (ou le mouvement relatif si la canalisation est mobile), les équations de base se simplifient car l’écoulement a lieu sans échange d’énergie mécanique avec une machine.
À ces équations on ajoute, compte tenu de l’hypothèse d’isentropicité, l’équation des transformations isentropiques des gaz parfaits
idéaux (24).
On a alors le système d’équations suivant :
Dans cette équation, δ est le taux de détente. Alors :
ρ v Ω = M˙ = Cte
p
------- = Cte
ργ
Dans ce système, l’équation (16) n’intervient pas car son intérêt
serait de permettre le calcul des pertes τ12 qui sont nulles, a priori,
compte tenu de l’hypothèse de réversibilité de la transformation
isentropique. Elle est remplacée par l’équation (24) qui la contient
implicitement. Ainsi, parmi les inconnues citées (§ 1.2), il n’en
demeure que quatre (v, ρ, T et h ). Le fait que l’écoulement soit décrit
par cinq relations implique qu’un des paramètres Ω, z, wt , q est fonction des autres. On prend en général la section Ω. Ainsi, le problème
consiste à déterminer l’évolution des inconnues : v, ρ, T, h et Ω en
fonction des conditions dans la section amont et de la pression p
dans la section considérée (w t = q = 0 et z non pris en compte, le
gaz étant considéré comme non pesant).
2.1 Étude générale de l’écoulement
cp – cV = r
et
r
c p = ---a
la variation d’enthalpie a pour expression :
r
a
∆h 12 = ---- T 1 ( δ – 1 )
a
Soit une veine d’écoulement quelconque (figure 5), une section
de référence amont 1 et une section aval 2 quelconques.
La vitesse au point aval s’obtient à partir de l’équation de Zeuner
(18) qui s’écrit :
r T1
a
2
v 1 + 2 ----------- ( 1 – δ )
a
(31)
2.1.2 État générateur. Point d’arrêt
Lorsque la section amont a une aire infinie, la vitesse d’écoulement
est nulle dans cette section. La vitesse, en une section quelconque
où la pression a la valeur p, est alors égale à :
v =
2 r T0
a
-------------(1 – δ 0)
a
(32)
T0 est la température dans la section amont où la pression est p 0 .
Par définition, l’état du fluide à vitesse nulle donné par p 0 et T0 est
appelé état générateur du fluide s’écoulant isentropiquement à la
vitesse v dans une section où sa pression a la valeur p et où sa
température est égale à T. Le taux de détente δ 0 = p/p 0 est le taux
de détente générateur de l’écoulement.
2
(28)
2
v
p 0 = p 1 + ---------------2 cp T
v2
T 0 = T 1 + ---------------2 cp T
1/a
h
v2
= T + ----------- = ------0
2 cp
cp
(33)
(34)
L’état générateur sert de référence dans tous les écoulements de
gaz parfaits, isentropiques ou non. À ce titre, il est évidemment
important. Dans le cas d’un écoulement non isentropique, cet état
est un état amont hypothétique, puisqu’on l’obtient en supposant
un écoulement isentropique.
L’état générateur peut être représenté sur un diagramme entropique T, s (ou h, s puisque, pour un gaz parfait, cette représentation
est équivalente). La figure 6 donne une telle représentation qui permet de mettre en évidence l’énergie cinétique à partir de l’application
de l’équation de Zeuner (18) :
v2
------- = h 0 – h
2
Figure 5 – Écoulement d’un gaz parfait idéal
dans une veine quelconque
B 8 165 − 6
(30)
Inversement, on peut déterminer les conditions génératrices d’un
fluide à la température T, à la pression p et s’écoulant à la vitesse
v à partir des relations (32) et (29). On obtient :
2.1.1 Vitesse de l’écoulement
∆ h 12 = c p ∆T12 = c p (T2 – T1)
Comme pour un gaz parfait (relation de Mayer) :
C’est la relation de Barré de Saint-Venant. On remarque que, pour
un gaz donné, la vitesse ne dépend que des conditions amont (vitesse
et température), du taux de détente et de la nature du fluide.
h = c p T + Cte
dans laquelle, compte tenu de (12) :
∆h 12 = c p T1 (δ a – 1)
v2 =
p
---- = r T
ρ
2
(29)
On obtient alors, avec l’équation de Zeuner (28), l’expression suivante de la vitesse :
v2
------- + h = Cte
2
v 2 – v1
-------------------- = – ∆ h 12
2
p
γ–1
où a = ------------- et δ = ------2γ
p1
T
a
------2- = δ
T1
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Inversement, cette équation permet d’obtenir l’enthalpie de l’état
générateur h0 à partir des caractéristiques de l’état du fluide au
point considéré :
Ainsi, les conditions génératrices s’expriment par :
γ–1
2
p 0 = p 1 + ------------- Ma
2
2
v
h 0 = h + ------2
(35)
1 ⁄ (γ – 1)
(36)
Il est important de remarquer que, lorsqu’un fluide part d’un état
générateur donné p 0 , T0 , h 0 en évoluant de manière adiabatique,
l’état générateur pour toute situation ultérieure 1 ou 2 (figure 6) ne
change pas si l’évolution est réversible. En effet, comme :
2
2
v1
v2
- = h 2 + ------ = h 02
h 01 = h 1 + -----2
2
on a, d’après l’équation (34) :
2
v1
h 0 = h 1 1 + -----------------2 cp T1
h0
p 01 = p 1 ------h1
soit :
p 02 = p 2
1⁄a
T0
= p 1 ------T1
T
------0T2
p1 T2
p 01
--------= ------- ------p2 T1
p 02
ou encore :
2
1⁄a
(37)
(38)
Ces expressions montrent que, dans les écoulements subsoniques pour lesquels v < vs ou Ma < 1, les conditions génératrices
sont proches de l’état du fluide en écoulement, du moins lorsque
Ma est relativement faible, inférieur à 0,3 par exemple.
Les conditions génératrices correspondent également aux
conditions que l’on obtient au point d’arrêt d’un écoulement.
Considérons un corps quelconque placé dans un écoulement infini
(figure 7). Il existe une ligne de courant particulière qui doit se
séparer, au point A, en deux lignes passant de part et d’autre de
l’obstacle. Au point A, dit point d’arrêt, la vitesse ne peut alors
qu’être nulle. Si on admet qu’entre un point quelconque M et le
point A l’évolution est isentropique, on obtient par un raisonnement analogue à celui qui a été fait ci-dessus :
p Ai = p 0
v2
= h 2 1 + -----------------2 cp T2
γ ⁄ (γ – 1)
T01 = T02 = T0
Par ailleurs, en utilisant l’équation (33) et compte tenu de
l’équation de Zeuner :
γ–1
2
T 0 = T 1 + ------------- Ma
2
On obtient la masse volumique dans l’état générateur en utilisant
la loi de transformation isentropique (24) :
v2
ρ 0 = ρ 1 + --------------2 cp T
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;
TA = T0
L’étude de l’évolution d’un fluide entre un point de vitesse
quelconque v et un point d’arrêt montre que la compressibilité du
gaz dans un écoulement isentropique peut être négligée tant que
le nombre de Mach de l’écoulement est inférieur à 0,5 environ. Dans
le tableau 1, sont donnés les rapports de pression p A /p en fonction
du nombre de Mach en tenant compte de la compressibilité du gaz
[équation (37)] d’une part, en supposant le gaz incompressible
d’autre part. Dans ce dernier cas, on peut appliquer l’équation de
Bernoulli entre M et A [3] et on obtient :
v2
v2
p A inc = p + ρ ------- = p 1 + ------------2
2rT
1⁄a
(39)
soit :
1⁄a
γ
2
p A inc = p 1 + ---- Ma
2
= 1
(40)
Si l’évolution est irréversible, le point 3 étant par exemple à la
même pression que le point 2 (figure 6), on a, compte tenu de
l’adiabaticité de l’écoulement (h 03 = h 01 = h 0) :
2
v3
- = T0
T 03 = T 3 + ---------2 cp
h0
p 03 = p 3 ------h3
et
1⁄a
T0
= p 3 ------T3
1⁄a
T0
= p 2 -----T3
1⁄a
T2
= p 02 ------T3
1⁄a
Ainsi, l’état générateur du point 3 est tel que : T0 , h 0 et p 03 ≠ p 02 .
On peut énoncer le résultat suivant :
Dans un écoulement adiabatique quelconque faisant passer le
fluide d’un état 1 à un état 3, les températures génératrices sont
constantes T 01 = T 03 alors que les pressions génératrices
évoluent p 01 ≠ p 03 .
Figure 6 – Schématisation de l’état générateur
d’un gaz parfait en diagramme T, s (ou h, s )
Les relations précédentes peuvent être données en fonction du
nombre de Mach Ma de l’écoulement où Ma = v /vs . En effet, on a :
v s2 = γ r T = ( γ – 1 ) c p T
d’où
v s2
c p T = -----------γ–1
Figure 7 – Écoulement avec point d’arrêt
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L’observation du tableau 1 montre que la compressibilité du
fluide (air, dans ce cas) entraîne une différence de 1 % seulement
à Ma = 0,5 et de 11 % environ à Ma = 1. Ce résultat justifie l’hypothèse faite quant à l’incompressibilité du fluide dans les écoulements de fluides compressibles tant que l’écoulement reste
nettement subsonique ( Ma 0,5 environ).
Enfin, les évolutions de la pression et de la température, à partir
d’un état générateur p 0 , T0 , donné, peuvent être tracées (figure 8),
à partir des équations (37) et (38), en fonction du nombre de Mach
local de l’écoulement isentropique.
2.1.3 Vitesse de détente dans le vide
Soit un état générateur p 0 , T 0 et une section dans laquelle la
pression p est nulle (vide). La vitesse, donnée par la relation (32),
est alors maximale. Elle a pour expression :
v max =
2 r T0
--------------=
a
(41)
2 cp T0
Cette vitesse est indépendante de la pression, elle ne dépend que
de la température de l’état générateur et de la nature du fluide.
On peut comparer cette vitesse à la vitesse du son dans l’état générateur. On obtient :
v max =
2
------------- v s 0
γ–1
2.2.1.1 Évolution de la masse volumique avec la pression
L’équation (24) de l’évolution isentropique permet d’écrire :
1⁄γ
ρ = ρ0 δ0
avec
(43)
δ 0 = p/p0
Ainsi :
— pour p = p 0 , soit δ 0 = 1, on a : ρ = ρ 0 ;
— pour p = 0,
soit δ 0 = 0, on a : ρ = 0.
ρ0 – a
dρ
La dérivée ----------- = ------ δ 0 étant une fonction continue décroisγ
d δ0
ρ0
sante de ∞, pour δ 0 = 0, à ------ , pour δ 0 = 1, la courbe ρ (p ) ou
γ
ρ
------ ( δ 0 ) a l’allure représentée sur la figure 9.
ρ0
2.2.1.2 Évolution de la vitesse avec la pression
L’équation de Barré de Saint-Venant (31) s’écrit, compte tenu de
l’expression de la vitesse maximale de détente dans le vide
[équation (41)] :
a
v = v max 1 – δ 0
(42)
2.2 Particularités de l’écoulement
L’ensemble des équations (2), (11), (12), (18) et (24) applicables à
l’écoulement isentropique monodimensionnel d’un gaz parfait idéal
fait apparaître que la section droite Ω doit suivre une évolution particulière en fonction de la pression. Cet impératif constitue la particularité principale de ce type d’écoulement.
2.2.1 Évolution de la section droite
en fonction de la pression
Figure 8 – Évolution de la pression et de la température
dans un écoulement isentropique d’air
en fonction du nombre de Mach
Dans la suite de cette étude la référence amont sera prise égale
à l’état générateur, ce qui équivaut à prendre le point de référence
amont dans un réservoir de grandes dimensions (Ω0 = ∞).
(0)
Tableau 1 – Taux de compression au point d’arrêt
d’un écoulement en fonction du nombre de Mach
de l’écoulement
Ma
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,8
1
pA i /p
(1)
1,007 00
1,028 0
1,063 0
1,112
1,175
1,252
1,443
1,70
pA inc /p 1,007 01
(2)
1,028 3
1,064 4
1,117
1,186
1,276
1,524
1,89
(1) en tenant compte de la compressibilité du fluide (air)
(2) en faisant l’hypothèse d’incompressibilité du fluide.
L’équation de continuité (2) permet d’affirmer que, le
débit-masse Ṁ étant constant dans l’écoulement, la section de
l’écoulement doit varier comme 1/ρ v. On étudie alors séparément
la variation de ρ, puis celle de v avec la pression.
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Figure 9 – Évolution des paramètres v, et en fonction de la pression (ou du taux de détente)
pour un écoulement isentropique de gaz parfait
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(44)
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où le débit-volume V̇ est constant puisque ρ = Cte. Selon la relation
de Bernoulli [3] de l’écoulement d’un fluide parfait (c’est-à-dire non
visqueux afin d’admettre la réversibilité), on peut écrire :
Ainsi :
— pour p = p 0 (δ 0 = 1), on a : v = 0 ;
— pour p = 0
(δ 0 = 0), on a : v = v max .
La dérivée de cette fonction s’écrit :
–1 ⁄ γ
δ0
a
dv
----------- = – ---- v max ---------------------2
d δ0
a
1 – δ0
p0
v2 p
------ + ---- = -----2 ρ
ρ
(45)
soit :
L’étude de cette dérivée donne :
dv
— pour p = p 0 (δ 0 = 1) : ----------- → –
d δ0
dv
— pour p = 0 (δ 0 = 0) : ----------- → –
d δ0
∞
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v =
2 ( p0 – p )
--------------------------- =
ρ
2 p0
----------ρ
1 – δ0
Ainsi, on a :
1
1
Ω
------ = ---------------------- --------------------2 ρ p0 1 – δ0
Ṁ
;
∞.
Ce résultat implique la présence d’un maximum dans la dérivée,
donc d’un point d’inflexion i dans la fonction v (δ 0) qui a l’allure indiquée sur la figure 9.
(48)
C’est une fonction croissante, représentée sur la figure 11. La différence entre ces deux cas est évidemment due à la compressibilité
du fluide. En amont du col, pour un fluide compressible, l’augmentation de la vitesse est supérieure à l’augmentation du volume
massique. Après le col, c’est l’inverse. Ainsi, malgré l’augmentation
de la vitesse, la section doit augmenter.
2.2.1.3 Évolution de la section avec la pression
Le produit des fonctions ρ (δ 0 ) et v (δ 0 ) donne une fonction passant
par 0 pour δ 0 = 0 et δ 0 =1 et donc par un maximum pour une valeur
de δ 0 comprise entre 0 et 1.
L’inverse de cette fonction qui, à une constante près (égale à
l’inverse du débit), représente l’évolution de la section en fonction
de la pression (ou du taux de détente) :
Ω
1
-------- = ------ = f ( p ) = f ′ ( δ 0 )
ρv
Ṁ
(46)
passe par un minimun et tend vers l’infini pour δ 0 = p = 0 et pour
δ 0 = 1 soit p = p 0 .
Cette fonction a pour expression [combinaison de (43) et (44)] :
–1 ⁄ γ
δ0
1
Ω
------ = --------------------- --------------------ρ 0 v max
a
Ṁ
1 – δ0
(47)
2.2.2 Vitesse au col
La combinaison de l’équation différentielle de continuité :
d ρ dΩ dv
-------- + --------- + -------- = 0
ρ
Ω
v
et de l’équation différentielle de la transformation isentropique (24) :
1 dp
dρ
-------- = --- -------γ p
ρ
(49)
conduit à l’équation suivante :
1 dp d v d Ω
--- --------- + --------- + ---------- = 0
γ p
v
Ω
(50)
On constate que, à une constante près, cette fonction a la même
expression que celle de la dérivée de la vitesse [équation (45)]. On
peut alors affirmer que le minimum de la fonction ΩṀ correspond
au point d’inflexion i de la courbe v (p ).
En définitive, l’étude de l’évolution de Ω en fonction de p permet
d’énoncer le résultat suivant :
Lorsqu’un gaz parfait idéal s’écoule de façon isentropique
d’un réservoir de grandes dimensions (vitesse nulle) vers un
réservoir où la pression est nulle, la section du tube de courant
(ou de la veine d’écoulement) varie d’une valeur infinie à
l’amont à une valeur infinie à l’aval en passant par une valeur
minimale appelée col. La partie située à l’amont du col est le
convergent, celle qui se trouve à l’aval, le divergent (figure 10).
Figure 10 – Évolution de la section d’un écoulement isentropique
en fonction de sa position allant d’un réservoir amont
à un réservoir aval à pression nulle
Inversement, on peut affirmer que, si un gaz s’écoule entre deux
réservoirs dont l’un est à une pression maintenue nulle, il faut que
la veine d’écoulement présente un col pour que l’écoulement
adiabatique soit réversible.
La position du col, non définie par cette étude, dépend de la variation de p avec s (ou x dans le cas d’une veine à ligne moyenne rectiligne) et est située au point s = s c tel qu’en ce point la pression soit
p = p c = p i . Cette valeur de la pression sera déterminée plus loin.
On peut comparer ce résultat à celui obtenu en écoulement d’un
fluide incompressible, pour lequel :
V̇
Ω = ---v
Figure 11 – Évolution de la section d’un écoulement
de fluide incompressible
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Par ailleurs, en considérant la réversibilité de l’écoulement,
l’équation du bilan de la quantité de mouvement (6) s’écrit :
dp = – ρ v d v
(51)
p = p 1 , puis diminue lorsque p augmente à nouveau. Dans ce cas v
reste toujours inférieure à v i , ce qui correspond à un écoulement
subsonique dans toute la veine.
Ainsi, l’équation (50) devient :
2.2.3 Taux de détente au col
capable de la vitesse du son
dv
v2 ρ
dΩ
-------- 1 – ------ ---- + --------- = 0
v
γ p
Ω
p
2
En introduisant la vitesse du son v s = γ ---- , on obtient :
ρ
dv
dΩ
2
--------- = ( Ma – 1 ) -------v
Ω
(52)
C’est la relation de Hugoniot qui permet de faire l’étude de la variation de la vitesse en fonction de la section droite de la veine et de
la situation au col de cet écoulement où d Ω = 0. Deux cas sont à
considérer.
■ Variation nulle de la vitesse au col : d v = 0
Si dans le convergent où d Ω < 0, la vitesse augmente (d v > 0), la
relation de Hugoniot indique que le nombre de Mach doit être inférieur à l’unité : la vitesse est subsonique. Dans le divergent, la vitesse
diminue (d v < 0 puisque sa dérivée en fonction de s s’annule au col)
et on a encore Ma < 1 : l’écoulement est subsonique. Alors, l’écoulement est subsonique dans toute la veine . Sur les courbes
ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) , les points évoluent selon les chemins a
(figure 12).
Si, dans le convergent, la vitesse diminue, il faut que Ma > 1 :
c’est l’écoulement supersonique. Dans le divergent, la vitesse augmente et on doit encore avoir Ma > 1, soit un écoulement supersonique. Dans ce cas, l’écoulement est supersonique dans toute la
veine d’écoulement. Sur les courbes ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) , les
points évoluent selon les chemins b (figure 12).
Le taux de détente au col permettant d’obtenir la vitesse du son
au col est noté par :
p
δ 0 i = ------i(54)
p0
Pour cette valeur, on a simultanément :
dΩ
dΩ
--------- = 0 et --------- = 0
dp
ds
Ce taux de détente δ 0i , appelé également taux de détente critique,
se calcule à partir de la relation de Barré de Saint-Venant (31) dans
laquelle, la vitesse v est à remplacer par la vitesse du son au col
v i = v si . On obtient :
2 r T0
a
2
v si = --------------- ( 1 – δ 0 i ) = γ r T i
a
T
2
a
------i- = ------------- ( 1 – δ 0 i )
γ–1
T0
soit :
En utilisant la relation de Poisson (29), cette équation devient :
δ0 i =
2
------------γ+1
γ
-----------γ–1
(55)
Ce taux de détente ne dépend que de la nature du fluide :
■ Croissance de la vitesse au col : d v ≠ 0
Pour avoir d v ≠ 0 au col d’une veine d’écoulement (d Ω = 0), le
nombre de Mach doit être égal à l’unité. L’écoulement est alors
sonique au col et, si dans le convergent la vitesse augmente, le
nombre de Mach est inférieur à 1 et l’écoulement est subsonique ;
dans le divergent, la vitesse continue à augmenter puisque d v ≠ 0
au col, ce qui entraîne Ma > 1 et indique que l’écoulement est supersonique. Les points caractéristiques de l’évolution de l’écoulement
suivent les courbes ΩṀ = f ( δ 0 ) et v ( δ 0 ) dans leur intégralité et
dans un sens ou dans l’autre (chemin c).
fluide
– air ou gaz diatomiques ..............
– vapeur d’eau sèche ou CO2 .......
– vapeur d’eau saturée .................
γ
δ0i
1,405
1,32
1,135
0,53
0,542
0,577
La vitesse au col d’un écoulement isentropique peut être
subsonique ou sonique. Lorsque la vitesse au col atteint celle du
son, le col est le lieu de transition entre un écoulement subsonique et supersonique. Si la vitesse du son n’est pas atteinte au
col, le régime d’écoulement est le même de part et d’autre du col.
■ La relation entre la vitesse et l’évolution de la section peut être
déduite de la figure 9 ou de la figure 12. Le cas de croissance de
vitesse au col correspond au cas où le col géométrique de l’écoulement coïncide avec le minimum de la courbe ΩṀ puisque, pour la
valeur p i de la pression, on a d v ≠ 0. Ainsi, la vitesse v i correspond
à la vitesse du son :
v i = v si =
γ pi ρi
(53)
■ On obtient le cas a en notant que le col de la veine a une variation
nulle de Ω en fonction de s et non pas de p. On peut alors très bien
imaginer, par exemple, que, la pression p diminuant en fonction de
s à partir de la valeur p 0 , la section diminue avec s (convergent) puis
admettre que p passe par un minimum p 1 avant d’avoir atteint la
valeur p i . L’augmentation de pression exige alors une augmentation
de Ω correspondant au divergent. Au cours de cette évolution en
fonction de s, la courbe v (p ) indique que la vitesse augmente jusqu’à
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Figure 12 – Évolution de l’écoulement dans une veine
convergente-divergente
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La vitesse du son au col vsi peut s’exprimer en fonction de la
température de l’état générateur. En effet, en reprenant la relation
de Barré de Saint-Venant et l’expression de δ 0 i , on peut écrire :
2
v si
2
2
= ---- r T 0 1 – ------------γ+1
a
aγ
------------γ–1
2
2
= ---- r T 0 1 – ------------a
γ+1
On obtient alors :
v i = v si =
2γ
------------- r T 0
γ+1
(56)
et en introduisant la vitesse du son dans l’état générateur v s 0 :
2
v si = v s 0 ------------γ+1
(57)
La vitesse au col d’un écoulement, donnée par les équations
(53), (56) et (57) est encore appelée vitesse du son critique. On la
note par v*s = v si .
2.2.4 Température du fluide
en écoulement sonique
La température du fluide au col d’un écoulement isentropique en
régime sonique s’obtient à partir de la relation de Poisson (29) :
T
a
------i- = ( δ 0 i )
T0
T
2
------i- = ------------T0
γ+1
soit :
(58)
Figure 13 – Évolution théorique du débit en fonction de la pression
pour une section donnée
3. Écoulement adiabatique
d’un gaz parfait
en conduite cylindrique
Cet écoulement adiabatique qui ne respecte pas l’évolution de la
section Ω d’un écoulement isentropique, est essentiellement irréversible. Il est extrêmement fréquent en pratique et est appelé écoulement de Fanno.
3.1 Équations de l’écoulement de Fanno
Les équations générales, appliquées à ce cas particulier, s’écrivent
comme suit.
2.2.5 Équation du débit
■ Continuité (2) :
Le débit est donné par l’équation de continuité (2) dans laquelle
on remplace :
•
• ρ par sa valeur tirée de l’expression isentropique (24) :
Ṁ
ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ----- = ṁ = Cte
Ω
p0
p
1⁄γ
------ = -----⇒ ρ = ρ0 δ 0
γ
γ
ρ0
ρ
où ṁ est le débit-masse par unité de surface encore appelé vitesse
massique ou densité de flux massique. C’est une constante puisque
Ṁ 1 = Ṁ 2 et Ω 1 = Ω 2 . Cette équation peut encore s’écrire :
•
v par l’expression (31) de Barré de Saint-Venant.
Alors :
2 r T0 1 ⁄ γ
a
Ṁ = ρ 0 Ω --------------δ0
1– δ0
a
(59)
où
d ρ dv
-------- + -------- = 0
v
ρ
(60)
dp
v d v + -------- = – f ds
ρ
dh + v dv = 0
Y =
(1 –
a
δ 0)
(64)
■ Bilan de l’énergie (9) qui devient l’équation de Zeuner (18) :
K = ρ 0 Ω v max
1⁄γ
δ0
(63)
■ Bilan de quantité de mouvement (6) :
Pour une section Ω donnée, on peut écrire :
Ṁ = K Y
(62)
(61)
La fonction Y (δ 0 ) correspond, à une constante près, à la fonction
ρ v = f (δ 0 ). Ainsi, la valeur qui annule la dérivée de Y, annule également celle de ρ v et le maximum de Y (fonction qui s’annule pour
δ 0 = 0 et δ 0 = 1) correspond au minimum de la fonction ΩṀ = f ( δ 0 )
(figure 13). Il a lieu pour δ 0 = δ 0 i .
(65)
■ Équations d’état du fluide (11) et (12) :
dh = cp dT
(66)
dp d ρ
dT
-------- – -------- = -------ρ
p
T
(67)
On constate que, sauf au maximum de la courbe, une même valeur
de Y peut être obtenue pour deux valeurs de δ 0 . Cette particularité
sera commentée plus loin (§ 5.2.3). On verra, en particulier, que pour
une section donnée, l’ensemble de la courbe ne peut pas être décrit.
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3.2 Évolution du fluide
en diagramme entropique
L’expression de la variation d’entropie d’un gaz parfait idéal est
donnée par [4] :
T
p
s – s 1 = c p In ------- – r In ------(68)
T1
p1
L’indice 1 est relatif à une section de référence amont. En
combinant les équations d’état (11) et (12), l’équation de Zeuner (18)
et l’équation de continuité (62), on peut écrire successivement :
v1 T
p
ρT
------- = ------------- = ------- ------v T1
p1
ρ1 T 1
(69)
v2 – v2
------------------1- = h 1 – h = c p ( T 1 – T )
2
2 cp
v
- ( T1 – T )
------- = 1 + ---------2
v1
v
soit :
1⁄2
(70)
Figure 14 – Évolution du fluide en écoulement de Fanno
pour une température génératrice donnée
1
ou encore, en notant que :
ṁ
v 1 = -----ρ1
3.3 Nature de l’écoulement
2 cp 2
v
------- = 1 + ---------- ρ 1 ( T 1 – T )
2
v1
ṁ
1⁄2
(71)
En combinant les équations (68), (69), (71) et la relation de Mayer
pour les gaz parfaits, on obtient :
2 cp 2
r
T
- ρ1 ( T1 – T )
s – s 1 = c V In ------- + ---- In 1 + ---------2
T1 2
ṁ
2
2
soit
2
r 2 ṁ
1 + 2 ------ -------- T 0 – 1
cp p 2
1
- d T
------T – --------v
r cp
cV
2
(75)
En exprimant c p et c V en fonction de r et de γ par application de
la relation de Mayer :
c V = r / (γ – 1)
et
c p = r γ / (γ – 1)
(76)
l’équation (75) s’écrit :
r
1
rγ
d s = ------------- ---- – ------2γ–1 T
v
dT
L’introduction de la vitesse du son, donnée par (26), permet de
remplacer la constante du gaz r par l’expression :
2
vs
r = -------γT
Alors, la pente de la courbe d’évolution de l’écoulement de Fanno,
représentée dans le diagramme (T, s ), s’écrit :
2
T γ (γ – 1)
4
dT
--------- = – ------2- ---------------------- Ma
ds
v 1 – Ma 2
(73)
C’est cette température qui doit être introduite dans la relation (72),
en prenant soin, pour tout changement de ṁ , de prendre une
nouvelle valeur de s 1 correspondant, à la pression de référence p 1
(dont la valeur, au départ du tracé n’a aucune importance, mais qui
sera ensuite conservée constante pour l’ensemble du tracé) et à la
nouvelle température T 1 .
(77)
dT
Ainsi, pour Ma = 1, on a --------- = ∞ , ce qui correspond à une
ds
tangente verticale aux courbes de la figure 14 :
dT
— si --------- < 0 ⇒ Ma < 1 , l’écoulement est subsonique ;
ds
dT
— si -------- > 0 ⇒ Ma > 1 , l’écoulement est supersonique.
ds
Notons enfin que, selon la relation (73), à T 1 constante, si p 1 augmente, ṁ doit augmenter. Ainsi, les courbes à forte valeur de ṁ
sont situées dans la partie gauche du diagramme.
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(74)
ce qui, compte tenu de l’équation de continuité (63), de l’équation
de Zeuner (65) et de l’équation d’état (66), devient :
ds =
r ṁ
2
T 0 = T 1 + ----------- -------2- T 1
2 cp p
1
cp p1
- -------T 1 = -----r 2 ṁ 2
dρ
dT
d s = c V --------- – r --------ρ
T
(72)
C’est l’équation de la courbe s (T ) à conditions amont données
T 1 et p 1 (ou T 1 et ρ 1) pour une valeur ṁ de la vitesse massique.
La figure 14 représente de telles courbes caractérisant l’évolution
du fluide en écoulement de Fanno pour diverses valeurs de la densité
de flux massique et une température génératrice T 0 = T 01 donnée.
Outre cette température génératrice, constante pour tout l’écoulement (§ 2.1.2), ont été portées, sur cette figure, l’enthalpie génératrice de tout l’écoulement h 01 = h 0 et la pression génératrice p 01 du
point 1. On rappelle (§ 2.1.2) que, l’écoulement étant irréversible, les
pressions génératrices des divers points de l’écoulement évoluent
avec le point considéré.
La famille de courbes de la figure 14 peut être tracée à partir des
considérations suivantes. La température génératrice étant fixée, il
existe un lien entre la température et la pression de référence 1
pour chaque valeur de la vitesse massique ṁ . Cette relation
s’obtient en combinant les équations de Zeuner (34), l’équation
d’état (11) et l’équation de conservation de la masse (62) :
2
L’équation différentielle de l’entropie s’écrit :
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Pour diverses valeurs de la vitesse massique ṁ , le point à
tangente verticale (Ma = 1) est située à la même valeur de la température ou de l’enthalpie (figure 14).
Comme lors d’une transformation adiabatique irréversible,
l’entropie ne peut qu’augmenter, l’évolution du fluide en écoulement, donc à ṁ = Cte , a nécessairement lieu dans le sens indiqué
par les flèches sur la figure 15. S’il est subsonique au départ, il ne
peut que rester subsonique, la vitesse augmentant dans le sens de
l’écoulement. Si l’écoulement est supersonique, il le restera également, la vitesse diminuant dans le sens de l’écoulement.
Les pertes de charge de l’écoulement sont déduites de la
relation (64) :
dp
(78)
d τ = – v dv – -------ρ
Par ailleurs, l’étude semi-empirique de l’écoulement d’un fluide
dans une canalisation montre que les pertes de charge J peuvent
s’exprimer par :
λ u2
J = ----- --------- D 2g
avec
λ
D
u
coefficient de pertes de charge,
diamètre de la canalisation,
sa longueur,
la vitesse moyenne débitante.
ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES
Si dans le dernier cas étudié la pression p 2 baisse suffisamment,
l’évolution de la courbe de Fanno et celle de l’isobare peuvent
atteindre la position ṁ′′′ de la figure 15. L’écoulement est alors
sonique dans la section 2. Toute diminution de la pression n’a alors
plus d’incidence sur l’écoulement puisqu’une augmentation du débit
signifierait, sur la nouvelle courbe de Fanno, une évolution du point
2 vers les entropies décroissantes à partir du point à tangente verticale, ce qui est thermodynamiquement impossible (puisque δ q = 0).
Il y a alors blocage sonique de l’écoulement. La pression dans la
section 2 reste égale à p 2 et si, à l’aval, la pression diminue, on
observe une diminution brusque de la pression et la formation
d’ondes de détente. L’écoulement ne suit plus, à l’aval, les lois de
l’écoulement monodimensionnel.
Dans le cas où l’écoulement est initialement supersonique, l’évolution sur la courbe de Fanno montre qu’il ne peut que rester supersonique (augmentation de s ) avec un nombre de Mach se
rapprochant de l’unité à moins que, grâce à une discontinuité, un
saut puisse avoir lieu de la branche basse de la courbe de Fanno
à la branche haute de la même courbe (figure 16). Cette discontinuité, appelée onde de choc, correspond à une transition de l’écoulement du régime supersonique au régime subsonique. Elle a lieu avec
une augmentation brusque de pression et d’entropie compte tenu
de son caractère irréversible. Cette discontinuité sera étudiée au
paragraphe 6.
En écoulement monodimensionnel, ces pertes de charge peuvent
s’écrire :
2
λ v
d τ = ----- ------ ds
D 2
(79)
Pour simplifier le raisonnement, on néglige le terme relatif à l’énergie cinétique dans l’équation (78). La combinaison des équations (78)
et (79), compte tenu de la relation de continuité (62), donne :
dp
≈–
2
λ m˙
---------- --------- d s
2D ρ
(80)
En prenant une valeur moyenne de ρ sur la longueur séparant
les deux sections considérées, on a :
∆p 12
ou encore :
ṁ
≈
2
m˙
--------- ρ
(81)
2ρD
– -------------- ∆ p 12
λ
(82)
≈–
λ
--------2D
Compte tenu de l’hypothèse simplificatrice relative à l’énergie
cinétique dans l’équation (78), cette relation n’est qu’approchée,
l’erreur devenant de plus en plus importante au fur et à mesure que
la vitesse se rapproche de la vitesse du son. L’équation (82) permet
cependant de faire les constatations suivantes.
● Si on augmente la longueur sans changer la section Ω de la
canalisation, ni la pression p 2 , pour un état générateur 01 constant :
— la vitesse massique ṁ diminue ; elle devient m˙ ′ par exemple,
les points 1 et 2 passant respectivement en 1’ et 2’ (figure 15) ;
— le débit-masse Ṁ et la vitesse v diminuent.
● Si on diminue la section Ω (ou le diamètre D ) de la canalisation
sans changer ni , ni p 2 , l’évolution est de même nature que
précédemment.
● Il en est de même si la rugosité de la paroi augmente (augmentation de λ).
● Si on diminue la pression p 2 en gardant les autres paramètres
constants :
— la vitesse massique augmente, la courbe de Fanno évolue sur
la gauche, les points caractérisant l’état du fluide dans les sections
1 et 2 deviennent 1’’ et 2’’ (figure 15) ;
— le débit-masse Ṁ augmente et la vitesse augmente également.
Figure 15 – Sens d’évolution du fluide et régimes d’écoulement
en conduite cylindrique
Figure 16 – Transition régime supersonique-régime subsonique
par onde de choc en écoulement de Fanno
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2
4. Écoulement réversible
d’un gaz parfait
en conduite cylindrique
2
ṁ
ṁ
p + --------- = p 1 + --------ρ
ρ1
ou :
En utilisant l’équation d’état (11), on obtient :
2
2
ṁ r T 1
ṁ r T
p + ------------------ = p 1 + -------------------p1
p
Cet écoulement, appelé écoulement de Rayleigh, qui a lieu à
Ω = Cte en respectant la réversibilité, ne peut se développer qu’avec
un échange thermique q contrôlé. Cette nécessité le rend peu
fréquent en pratique.
soit :
p
-----p 1
4.1 Équations de l’écoulement de Rayleigh
Les équations générales appliquées à ce cas particulier s’écrivent :
— continuité (2) :
1
1
Ainsi, le rapport p /p 1 est donné par la relation :
2
2
2
2 2
2
2
1 + ṁ r T 1 ⁄ p 1 ± ( 1 + m˙ r T 1 / p 1 ) – 4 m˙ r T / p 1
p
------- = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
p1
(88)
T
s – s 1 = c p In ------- + r In 2
T1
— bilan de la quantité de mouvement (6) :
– r In 1 + α ±
(83)
— bilan de l’énergie (9) :
q 12 = ∆ h 12 + ∆ e c 12
(84)
δ q = dh + v d v
(85)
ou :
2
2
ṁ r T 1
ṁ r T
p
– ------- 1 + -------------------+ ----------------- = 0
2
2
p1
p
p
ṁ r T 1
en posant α = -------------------- , l’équation de l’écoulement est :
2
p1
d ρ dv
-------- + -------- = 0
ρ
v
dp
v dv + -------- = 0
ρ
2
2
ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ṁ = Cte
ou encore :
(87)
2
( 1 + α ) – 4 α T / T 1 (89)
La courbe correspondante est représentée sur la figure 17 pour
une valeur de α.
4.3 Nature de l’écoulement
— équation d’état du fluide (11) et (12) :
dh = cp dT
La combinaison de l’équation de l’énergie (85), de l’équation d’état
(66) et de la relation entre l’échange thermique et la variation
d’entropie en transformation réversible :
dp d ρ
dT
-------- – -------- = -------T
ρ
p
δq = T ds
(90)
T ds = cp dT + v dv
(91)
permet d’écrire :
4.2 Évolution du fluide
en diagramme entropique
En combinant cette relation avec l’équation suivante, dérivée de
l’équation de continuité (63),
La variation d’entropie d’un gaz parfait idéal s’écrit :
dρ
v dv = – v 2 -------ρ
T
p
s – s 1 = c p In ------- – r In ------T1
p1
on a :
où la référence 1 concerne l’état du fluide dans la section 1 de
référence.
Dans cette expression, pour exprimer le rapport de pression p /p 1
en fonction de ṁ , de T 1 , de p 1 et de T, on combine les relations (83)
et (63), ce qui donne :
dρ
T d s = c p dT – v 2 -------ρ
dp
dρ
-------- – ----------- = 0
ρ
ρv 2
soit, avec l’équation (62) :
2 dρ
ṁ ------- – dp = 0
ρ2
L’intégration de cette relation donne :
2
ṁ
p + --------- = Cte
ρ
(86)
Figure 17 – Évolution des caractéristiques thermodynamiques
du fluide lors d’un écoulement de Rayleigh
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(92)
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L’équation (74), donnant la variation d’entropie d’un gaz parfait,
permet d’écrire :
c V dT
dρ
ds
(93)
– -------- = -------- – ------ -------ρ
r T
r
=
v2
c p – ------- c V d T
rT
(94)
ou, en introduisant la vitesse du son v s2 = γ r T et le nombre de
Mach Ma :
T 1 – γ Ma 2
dT
-------- = ------ -------------------------c p 1 – Ma 2
ds
5.2 Écoulement en tuyère de Laval
5.2.1 Variation de la pression en fonction du débit
5.2.1.1 Préliminaire
En combinant les relations (92) et (93), on obtient :
v2
ds T – ------r
ÉCOULEMENTS MONODIMENSIONNELS DES FLUIDES COMPRESSIBLES
(95)
Cette équation montre que :
dT
— lorsque Ma = 1 (écoulement sonique), --------- = ∞ ; ainsi, sur la
ds
courbe de Rayleigh, le point à tangente verticale correspond à un
régime d’écoulement sonique ;
— lorsque Ma = 1 / γ , la tangente à la courbe T (s ) est horizontale et l’écoulement est subsonique ; il le reste dans toute la partie
supérieure de la courbe de Rayleigh où Ma < 1 / γ ;
— dans la partie inférieure de la courbe de Rayleigh, Ma > 1,
l’écoulement est supersonique et la pente de la courbe est positive.
Dans ce type d’écoulement, si les conditions amont p 1 , T 1 et le
débit ṁ sont constants, le point représentatif de l’état du fluide peut
évoluer dans le sens s croissant ou décroissant puisque l’écoulement
est réversible par définition. Lorsque l’entropie augmente, il y a
apport de chaleur et augmentation de la vitesse si l’écoulement est
subsonique ou diminution si l’écoulement est supersonique. Un
refroidissement entraîne une chute de la vitesse en écoulement
subsonique, une augmentation en écoulement supersonique.
Une tuyère de Laval a un profil dont la variation est conforme à
celui d’une veine d’écoulement isentropique d’un gaz parfait idéal
dont la pression varie de p 0 à une valeur pS à la sortie relativement
faible. Elle comporte un convergent, un col et un divergent. On fera
l’hypothèse, dans ce qui suit, que les conditions génératrices p 0 et
T 0 sont constantes. Ainsi, l’équation (59) montre que la courbe :
– 1/ γ
δ0
Ω
------ = ----------------------------------------- = f ( δ0 )
a
Ṁ
ρ 0 v max 1 – δ 0
(96)
est unique (figure 19a ). À δ 0 constant, plus Ω est grand, plus Ṁ
doit être élevé, ce qui donne le sens de l’augmentation du paramètre
Ṁ sur la représentation de la figure 19b.
Pour une certaine valeur du débit (figure 20a ), la valeur de Ω
pour δ 0 = δ 0 i correspond à la valeur Ω c de la section du col géométrique de la tuyère de Laval (figure 20b ). Ce débit, Ṁ c , est
appelé débit critique. Pour cette valeur du débit :
∂Ω
∂Ω
--------- = --------- = 0
∂x
∂p
et le taux de détente au col δ 0 c est tel que :
δ0 c = δ0 i
La vitesse de l’écoulement est alors sonique au col (§ 2.2.3).
5. Écoulement isentropique
d’un gaz parfait
dans une tuyère
Figure 18 – Tuyères
5.1 Définition d’une tuyère
Une tuyère est un organe mécanique passif qui met en
communication deux réservoirs à des pressions différentes et dont
le profil doit permettre un écoulement adiabatique réversible (au
moins théoriquement). Son profil doit donc être tel qu’il habille
exactement la veine d’écoulement étudiée au paragraphe 2. Ainsi,
par exemple, si la pression varie dans la tuyère de la valeur p 0 à
une valeur nulle dans le sens de l’écoulement, il faut que le profil
soit convergent, puis divergent et que la section de sortie soit infinie.
La section d’entrée sera elle-même infinie si la vitesse d’entrée est
nulle.
Pratiquement, les conditions de l’écoulement théorique ne sont
jamais respectées et, en particulier, la viscosité du fluide n’est pas
nulle, ce qui entraîne des irréversibilités.
Selon le taux de détente utilisé, les tuyères seront, soit simplement
convergentes (figure 18a ) pour les taux de détente élevés δ > δ 0 i ,
soit convergentes-divergentes (figure 18b ) lorsque les taux de
détente sont inférieurs à δ 0 i . Elles sont alors appelées tuyères de
Laval.
Figure 19 – Représentation de la relation existant entre la section,
le débit et le taux de détente dans une tuyère
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Dans le diagramme entropique (figure 21), les évolutions du fluide
suivent :
— soit la ligne 0 c d 4’, si l’écoulement est totalement subsonique
sauf au col ;
— soit la ligne 0 c h 4’’, si l’écoulement est supersonique dans le
divergent.
Figure 20 – Évolution des paramètres de l’écoulement
dans une tuyère de Laval
5.2.1.2 Étude de la variation de en fonction de x
selon la valeur de Ṁ par rapport à M˙ c
■ Débit M˙ 1 inférieur au débit critique M˙ c
La variation du taux de détente δ 0 en fonction de x correspond
à la courbe 1 de la figure 20c. En effet, à x = 0, δ 0 = 1 et l’aire de
la section droite Ω est infinie, en conformité avec l’hypothèse d’une
vitesse nulle à l’amont et la courbe de la figure 20a. Lorsque x
augmente, Ω diminue. En suivant cette diminution sur la courbe M˙ 1
de la figure 20a, on voit que δ 0 doit aussi diminuer pendant que la
vitesse v augmente. La section Ω diminue jusqu’à la valeur Ω c
correspondant à x = x c . Le point correspondant sur la courbe Ω (δ 0 )
est le point A pour lequel δ 0 c = δ 0 A > δ 0 i et vA < v i = v i c . La relation
de Hugoniot montre que la vitesse est subsonique au col vA < v s c .
Lorsque x augmente, la section augmente et le point représentatif
sur la courbe Ω (δ 0 ) rebrousse chemin. δ 0 augmente jusqu’à la valeur
δ 0 B du taux de détente qui règne dans la section de sortie ΩS . La
vitesse diminue en fonction de x et l’écoulement reste subsonique
dans tout le divergent.
Dans le diagramme entropique (figure 21), l’évolution a lieu de
manière isentropique de 0(p 0 , T 0 ) à a qui caractérise le col, puis à
b où la vitesse a une certaine valeur. Si la tuyère débouche dans
un réservoir de grandes dimensions, la vitesse s’annule et le fluide
évolue irréversiblement de b à 4.
■ Débit égal au débit critique Ṁ c
Pour x compris entre 0 et x c , Ω diminue jusqu’à la valeur Ωc , δ 0
diminue de 1 à δ 0 c = δ 0 i = taux de détente capable de la vitesse du
son. C’est la courbe 2 de la figure 20c. Pour x > x c deux solutions
sont possibles.
● δ 0 peut augmenter avec Ω : sur la courbe Ω (δ 0 ), le point représentatif, comme dans le cas précédent, rebrousse son chemin. La
fonction δ 0 (x ) suit alors la courbe 3. Pour x = , le point représentatif sur Ω (δ 0 ) est en D correspondant à Ω = ΩS et le taux de détente
est δ 0 D . La vitesse, subsonique dans le convergent, est sonique au
col et redevient subsonique dans le divergent.
● δ 0 diminue avec l’augmentation de Ω : c’est le cas où le point
représentatif, sur Ω (δ 0 ) passe sur la partie située à gauche du minimum. La représentation de δ 0 (x ) correspond à la courbe 4 et la
vitesse continue à augmenter. À la sortie de la tuyère où Ω = ΩS , le
taux de détente vaut δ 0E . Dans ce cas, l’écoulement est subsonique
dans le convergent, sonique au col, supersonique dans le divergent.
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■ Débit Ṁ 2 supérieur au débit critique
En suivant le raisonnement précédent, on constate qu’il y aurait
une discontinuité sur la variable x, puisque la valeur minimale de
la section Ω sur la courbe Ω (δ 0 ) est supérieure à Ωc . De la courbe
5 il faudrait passer directement à la courbe 6 en sautant de x 1 à x 2 .
Ainsi la pression dans la zone x 1 < x < x 2 ne serait pas définie, ce
qui est impossible physiquement. Cela signifie que ce cas est
physiquement impossible et on peut en conclure que, dans une
tuyère, le débit ne peut jamais être supérieur au débit critique.
Une explication physique peut être donnée à ce phénomène. En
effet, les conditions amont étant fixées, le débit n’évolue que par
modification de la pression à l’aval de la tuyère. Or chaque perturbation ayant lieu à l’aval sous forme de variation de la pression,
celle-ci ne peut remonter vers l’amont que dans la mesure où la
vitesse de l’écoulement est inférieure à la vitesse du son. Ainsi, dès
que le col est en régime d’écoulement sonique, l’amont ne sent plus
les variations produites à l’aval. Le débit ne peut qu’être constant
puisque réglé uniquement par l’amont. On dit qu’il y a blocage
sonique du débit ou que la tuyère fonctionne en régime bloqué. Les
seules évolutions du débit ne peuvent être produites que par une
variation des conditions génératrices.
5.2.2 Étude des divers régimes d’écoulement
en fonction du taux de détente à la sortie
Ici encore, on suppose que les conditions thermodynamiques du
fluide dans le réservoir amont de dimensions infinies sont
constantes. Le problème consiste à étudier l’évolution du régime
d’écoulement quand le taux de détente à la sortie δ 0 S varie de 1 à 0.
■ δ0 D < δ0 S < 1
L’étude précédente, correspondant au cas où Ṁ < Ṁ c montre que
l’évolution de δ 0 (x ) est donnée par la courbe 1. Le débit augmente
quand δ 0 S diminue, le point B évoluant par exemple vers le point
D. La vitesse augmente dans le convergent et diminue dans le divergent avec un maximum au col sans jamais atteindre la vitesse du
son. L’écoulement est toujours subsonique : Ma < 1.
■ δ0 S = δ0 D
Ce cas correspond au débit critique. La variation δ (x ) est représentée par les courbes 2 et 3 de la figure 20c. La vitesse est toujours
subsonique sauf au col où il y a une discontinuité sur la dérivée de
dp
la pression --------- qui est négative avant le col et positive après. Cela
dx
conduit à la présence d’une onde ordinaire fixe.
■ δ0 S = δ0 E
Dans ce cas aussi, le débit correspond au débit critique. On a indiqué ci-dessus que l’écoulement est subsonique dans le convergent,
sonique au col et supersonique dans le divergent. La loi de l’écoulement isentropique est parfaitement suivie ; la vitesse est maximale
à la sortie du divergent. C’est en principe, pour ce type d’écoulement
qu’est construite la tuyère de Laval.
■ δ0 E < δ0 S < δ0 D
Selon l’étude faite au paragraphe 5.2.1, pour ces valeurs de δ 0 ,
le débit correspond au débit critique, l’écoulement est subsonique
dans le convergent et sonique au col. Dans le divergent, deux cas
sont à considérer.
● δ0 S > α
Dans ce cas, on constate que la vitesse est subsonique dans une
fraction du divergent, ce qui permet aux ondes de pression de
remonter à l’intérieur du divergent. Mais la fraction amont étant le
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siège d’un écoulement supersonique, ces ondes sont bloquées dans
la zone de transition de vitesse à l’abscisse x t qui dépend de δ 0 S .
Elles s’y accumulent en formant une onde de choc avec une brusque
remontée de la pression et dans laquelle les particules du fluide
subissent une décélération extrêmement forte. Cette onde est
stationnaire et normale à l’écoulement. Le débit reste constant quelle
que soit la valeur de δ 0 S . La pression suit les courbes 2 puis 4 jusqu’à
l’onde de choc et la courbe 6 à l’aval de l’onde de choc. Sur la courbe
Ω 0 (δ 0 ) (figure 22), la transition correspond au passage de H à I’ et
non de H à I car ce dernier cas redonnerait en suivant Ω 0 (δ 0 ) un taux
de détente égal à δ 0 D pour Ω 0 = ΩS . En fait, l’onde de choc est un processus irréversible et, bien que l’on puisse admettre un écoulement
isentropique à l’amont et à l’aval de la zone de transition, l’écoulement n’est pas globalement isentropique. L’augmentation d’entropie a pour résultat une modification des conditions génératrices (qui
supposent une évolution isentropique, donc réversible) vis-à-vis de
l’écoulement aval. Alors, pour l’écoulement aval, la courbe de variation de la section en fonction de δ 0 change. C’est une courbe
p
Ω′0 ( δ 0′ ) avec δ 0′ = -------- , où p ′0 correspond à la pression de l’état
p ′0
générateur de l’écoulement aval, lié à la courbe Ω 0 (δ 0 ) par la valeur
de p qui est la même quelles que soient les conditions génératrices.
Pour connaître la valeur de p′0 relativement à p 0 , on fait le raisonnement qui suit.
L’enthalpie du fluide à l’amont h 0 a une valeur fixée pour les
conditions amont réelles (ou l’état générateur amont). La température génératrice T 0 étant liée à l’enthalpie, on peut la considérer
comme constante. Par contre, du fait de l’irréversibilité due à l’onde
de choc, pour une pression aval p S donnée, la variation d’enthalpie
entre l’entrée et la sortie sera plus faible que pour une évolution
réversible (figure 21). Le fluide passe par exemple de l’état 0 à l’état
g alors qu’il serait passé de l’état 0 à l’état j en écoulement réversible. L’application de la relation de Zeuner (18), valable quel que
soit l’écoulement adiabatique montre que la vitesse obtenue dans
l’écoulement réel est plus faible que celle qui aurait été obtenue en
écoulement isentropique. L’équation (33) relative à l’état générateur
d’un écoulement donné montre alors que :
p′0 < p 0
Ce résultat apparaît nettement sur la figure 21. Ainsi :
δ 0′ S > δ 0 S
Ce résultat justifie la position des courbes Ω′0 et Ω 0 présentées
sur la figure 22. De plus, pour l’écoulement réversible à conditions
génératrices 0’, la section au col en régime sonique ( Ω′0 ) c doit être
supérieure à celle que l’on a avec les conditions 0. En effet, comme
dans chaque cas, le taux de détente au col capable de la vitesse du
son est le même, l’application de la relation (96) donne :
( Ω′0 )
( Ω0 )
---------------c- ρ ′0 = --------------c- ρ 0
Ṁ
Ṁ
soit, T 0′ étant égale à T 0 :
p0
( Ω′0 ) c = -------- ( Ω 0 ) c
p′0
Comme la position de l’onde de choc stationnaire dans le divergent
dépend de la valeur de δ 0S , elle se déplace vers la sortie lorsque
δ 0 S diminue.
La figure 21 permet de suivre l’évolution thermodynamique du
fluide en diagramme T, s pour cette valeur de δ 0S . On note que le
passage de l’onde de choc de e à f a lieu sur la même courbe de
Fanno. Cela s’explique par le fait qu’entre l’amont et l’aval de l’onde
de choc, le débit et la section ne changent pas, ce qui impose d’avoir
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ṁ = Cte . On se trouve dans les conditions de l’écoulement de
Fanno : écoulement adiabatique, irréversible à section constante.
● δ0 S < α
Lorsque le taux de détente atteint la valeur α , l’onde de choc de
compression atteint la sortie de la tuyère. L’expérience montre que
si l’on continue à diminuer la pression aval, l’écoulement perd son
caractère stationnaire. Il peut se produire des décollements de veine
dans le divergent qui évoluent dans le temps et on observe, dans
tous les cas, des ondes de choc obliques accrochées au bord de la
section de sortie et qui se réfléchissent ensuite sur les bords de la
veine d’écoulement aval. L’inclinaison des ondes par rapport à une
section droite est d’autant plus importante que δ 0 S se rapproche
de δ 0 E .
■ δ0 S < δ0 E
À partir de δ 0 E , l’écoulement est supersonique dans tout le
divergent. Aucune onde de pression ne peut plus remonter le
courant dans le divergent et le débit reste toujours égal à sa valeur
critique. La pression évolue selon les courbes 2 et 4 et l’écoulement est isentropique dans toute la tuyère. À la sortie, se forment
des ondes de détente obliques qui permettent le passage du taux
de détente δ 0 E à δ 0 S et qui se réfléchissent sur la surface de discontinuité limitant le jet à la sortie de la tuyère. L’évolution des
caractéristiques du fluide dans le diagramme T, s apparaît sur la
figure 21. Le fluide passe de l’état 0 à l’état h dans la tuyère. Il évolue selon une courbe oscillante autour de l’isobare p S dans le
réservoir aval.
5.2.3 Expression du débit
L’équation générale du débit d’un écoulement isentropique en
fonction des caractéristiques de l’état générateur T 0 , P 0 est donnée
par l’équation (59). On applique généralement cette équation en
considérant :
— soit la section de sortie :
1/ γ
a
Ṁ = ρ 0 v max δ 0 S
1 – δ 0 S ΩS
— soit la section au col :
1⁄γ
Ṁ = ρ 0 v max δ 0 c
a
1 – δ 0 c Ωc
(98)
Les courbes correspondantes sont données qualitativement sur
la figure 23.
Bien évidemment, le débit calculé par l’équation (97) doit être
identique à celui calculé par (98). Ces deux équations permettent
d’avoir la correspondance entre δ 0 c et δ 0 S .
Lorsque la pression p S à l’aval de la tuyère diminue à partir de
la valeur p 0 , le débit augmente et les taux de détente δ 0 c et δ 0 S
diminuent. Lorsque le taux de détente au col atteint la valeur
critique :
δ 0 ci =
2
------------γ+1
γ /(γ – 1)
le taux de détente à la sortie vaut δ 0 D et le débit atteint sa valeur
critique :
2
γ–1
Ṁ c = ρ 0 v max ------------- ------------γ+1 γ+1
1/ ( γ – 1 )
Ωc
(99)
ou encore, en utilisant la vitesse du son dans les conditions génératrices [équation (40)] :
2
Ṁ c = ρ 0 v s0 ------------γ+1
( γ + 1 )/2 ( γ – 1 )
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(97)
Ωc
(100)
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Figure 21 – Évolution des caractéristiques
du fluide en écoulement dans une tuyère
de Laval (diagramme entropique)
La combinaison des équations (97) et (100) permet alors de calculer δ 0 D en égalisant les débits :
1⁄γ
δ0D
a
1 – δ0D =
γ–1
-----------2
2
-----------γ+1
( γ + 1 )/2 ( γ – 1 )
Ωc
--------ΩS
(101)
C’est une équation implicite qui admet deux solutions. La première
est effectivement δ 0 D ; la seconde est δ 0 E . En effet, lorsque la
pression à l’aval est telle que le taux de détente soit δ 0 E , l’écoulement
dans l’intégralité de la tuyère est isentropique et l’équation (97) est
applicable.
Par contre, pour toutes les valeurs de δ 0 S inférieures à δ 0 D et différentes de δ 0 E , la présence de l’onde de choc interdit l’emploi de
la relation (97). Le débit est bloqué à sa valeur critique Ṁ c , le taux
de détente au col garde une valeur constante δ 0 ci .
Figure 22 – Schématisation de la transition due à une onde de choc
5.3 Réalisation pratique
et rendement des tuyères
En pratique, il existe une différence entre le débit réel et le débit
calculé. Cela est dû au fait que, si l’écoulement est bien adiabatique,
il est par contre irréversible donc non isentropique. Une tuyère étant
toujours utilisée pour augmenter l’énergie cinétique d’un gaz, on
définit son rendement par la relation :
( ∆ e c ) réelle
∆h réel
η = ----------------------------------------- = --------------( ∆ e c ) isentropique
∆h s
En général, ce rendement est de l’ordre de 90 à 95 %.
Figure 23 – Évolution du débit en fonction du taux de détente
pour un état générateur donné dans deux sections différentes
d’une tuyère
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La forme Ω (x ) d’une tuyère n’est pas absolument imposée par
la théorie. En pratique, il faut faire en sorte que les irréversibilités
soient minimisées. Il faut, en particulier, veiller à ce qu’aucun décollement de veine ne se produise dans le divergent.
Lorsque la tuyère est de révolution, on lui donne souvent les
caractéristiques portées sur le schéma de la figure 24.
Dans les turbines à gaz ou à vapeur, les tuyères sont formées par
les canalisations entre les aubages. Une section droite est ainsi de
forme sensiblement rectangulaire. La hauteur de la section varie
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Figure 25 – Canalisations en forme de tuyères
constituées par des aubages de turbine
Figure 24 – Données constructives d’une tuyère de Laval droite
peu dans le sens de l’écoulement. Sa largeur varie comme
l’indique la figure 25a qui représente une tuyère convergente. La
figure 25b correspond à une tuyère convergente-divergente.
6. Ondes de choc
Une onde de choc correspond à une zone d’écoulement de très
faible épaisseur, inférieure à 1 mm, qui fait la transition entre l’amont
où la vitesse est supersonique et l’aval où elle est subsonique. Dans
le même espace, la pression est en très forte augmentation. Ainsi,
les particules du fluide lors de leur traversée de l’onde de choc
subissent une décélération extrêmement forte qui peut atteindre 109
à 1010 m/s2, soit environ un milliard de g. C’est cet impact violent,
produisant un véritable choc sur les particules, qui est à l’origine
du nom donné à cette zone de transition.
Il existe des ondes de choc droites (ou planes) et des ondes de
choc obliques. Cet article étant réservé aux écoulements monodimensionnels, seules les ondes de choc droites, perpendiculaires
à la ligne moyenne d’écoulement du gaz sont traitées. Elles séparent
le milieu 1 ou l’écoulement est supersonique du milieu 2 où l’écoulement est subsonique (figure 26).
6.1 Équations des ondes de choc
Pour l’écoulement à travers une onde de choc, les équations générales prennent la forme suivante, en notant par 1 la face amont de
l’onde de choc et par 2 la face aval dont la surface Ω2 peut être
estimée égale à celle de la face amont Ω1 .
■ Conservation de la masse (2) :
ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 = ṁ
ou :
d ρ dv
--------- + -------- = 0
ρ
v
■ Bilan de la quantité de mouvement (6) :
Figure 26 – Schématisation d’une onde de choc droite
Équations d’état du fluide (11) et (12) :
dh = c p dT
dρ dp
dT
– -------- + -------- = -------ρ
p
T
On retrouve, dans ce système d’équations :
— l’intégralité des équations de l’écoulement de Fanno, sauf en
ce qui concerne l’équation du bilan de la quantité de mouvement (83)
[équation (64) pour l’écoulement de Fanno] ;
— l’intégralité des équations de l’écoulement de Rayleigh, sauf
l’équation de l’énergie (65) [équation (85) pour l’écoulement de
Rayleigh].
Ainsi, en considérant :
— d’une part que les équations (62), (65), (66) et (67), associées à
l’équation de l’entropie d’un gaz parfait, ont conduit à l’équation de
la courbe de Fanno en diagramme entropique ;
— d’autre part que les équations (62), (83), (66) et (67), associées
à la même équation de l’entropie d’un gaz parfait, ont conduit à
l’équation de la courbe de Rayleigh en diagramme entropique ;
l’écoulement à travers une onde de choc doit répondre aux deux
conditions, celle de Fanno et celle de Rayleigh. La solution du
problème correspond donc aux points communs à ces deux courbes.
La figure 27 montre qu’il existe deux points d’intersection : l’un entre
les branches supersoniques des courbes de Fanno et de Rayleigh,
l’autre entre les branches subsoniques. La traversée de l’onde de
choc se faisant avec création d’entropie, l’évolution du fluide
correspond au passage de 1 à 2, soit effectivement d’un écoulement
supersonique à un écoulement subsonique (et jamais dans l’autre
sens).
dp
v d v + -------- = 0
ρ
En effet, le travail des forces de frottement – f d x peut être
négligé, compte tenu de la très faible épaisseur de l’onde de choc
(∆x ≈ 0).
■ Bilan de l’énergie (9) qui, en raison de l’adiabaticité du transfert,
s’écrit :
dh + v dv = 0
6.2 Relations entre les paramètres
du fluide de part et d’autre
de l’onde de choc
La combinaison des équations de base des ondes de choc permet
de trouver des relations entre les pressions, les températures et les
vitesses de part et d’autre de l’onde de choc.
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6.2.2 Relation entre les nombres de Mach
amont et aval de l’onde de choc
L’équation de continuité :
ρ
v
Ma 1 v s 1
------2 = ------1- = ---------------------ρ1
v2
Ma 2 v s 2
peut s’écrire, en utilisant l’équation d’état des gaz parfaits et l’expression de la vitesse du son :
p T
Ma
T
------2- ------1- = -----------1- ------1p1 T2
Ma 2 T 2
Ma 1 T 2
p
------2- = ------------ ------Ma 2 T 1
p1
soit :
La combinaison des équations (105), (106) et (107) permet de
trouver une relation entre les nombres de Mach à l’amont et à l’aval
de l’onde de choc :
Figure 27 – Transition à travers une onde de choc de 1 à 2
6.2.1 Expressions des paramètres en fonction
des nombres de Mach amont et aval
de l’onde de choc
L’équation du bilan de la quantité de mouvement (83) peut être
remplacée par une équation intégrale dans laquelle les forces
d’interaction avec l’élément de fluide considéré ne sont pas explicitées, mais simplement représentées par leur résultante R :
R =
ρ
2
2
v 2 d Ω2 n2 +
ρ
2
1
v1 d Ω1 n1
γ–1
2
2
- Ma 1
Ma 1 1 + -----------1 + γ Ma
2
--------------------------21- = ------------- ------------------------------------γ–1
Ma 2
2
1 + γ Ma 2
1 + ------------- Ma 2
2
La résolution de cette équation se fait en élevant les deux membres
au carré, puis en notant qu’elle est symétrique en Ma 1 et Ma 2 .
2
2
Ma 1 = Ma 2 est donc la première solution de cette équation du
deuxième degré, la seconde solution est :
(102)
2
Ma 1 + [ 2 / ( γ – 1 ) ]
2
Ma 2 = ------------------------------------------------------2
[ 2 γ Ma 1 / ( γ – 1 ) ] – 1
Or, du fait de la faible épaisseur de l’onde de choc et de l’hypothèse
d’écoulement monodimensionnel, on a :
ρ
(108)
Cette relation entre Ma 2 et Ma 1 est représentée sur la figure 28.
2
2
v dΩ = ρv Ω
6.2.3 Expressions des paramètres
en fonction du nombre de Mach amont
R = (p 1 – p 2 ) Ω
et :
(107)
Ainsi, l’équation (102), qui se projette en vraie grandeur sur la
normale à la section Ω , devient :
2
2
p1 + ρ1 v1 = p2 + ρ2 v 2
La relation (108) permet d’exprimer les rapports des diverses
grandeurs en fonction du seul nombre de Mach amont. Ainsi, on a :
(103)
T
------2- =
T1
Or, compte tenu de l’équation d’état, on peut noter que :
p+ ρv
2
2
v
= p 1 + ------rT
2γ
- Ma
-----------γ+1
2
1
γ–1
– ------------γ+1
2
γ–1
- + ------------------------------- -----------γ + 1 ( γ + 1 ) Ma 2
1
p
2γ
2
γ–1
------2- = ------------- Ma 1 – ------------γ+1
p1
γ+1
(109)
(110)
ou, en introduisant la vitesse sonique :
2
p + ρ v 2 = p (1 + γ Ma 2)
ρ
p1 T2
2 + ( γ – 1 ) Ma 1
------1 = ------------- = ---------------------------------------2
ρ2
p2 T1
( γ + 1 ) Ma 1
(104)
Ainsi, l’équation (103) s’écrit :
(111)
2
1 + γ Ma 1
p
------2- = -------------------------2
p1
1 + γ Ma 2
(105)
De même, l’équation de l’énergie, compte tenu des équations
d’état, devient :
2
2
v1
v1
c p T 1 + ------ = c p T 1 1 + ----------------2
2c p T 1
soit :
γ–1
- Ma
= c T 1 + ----------
2
p
γ–1
2
1 + ------------- Ma 1
T
2
------2- = -------------------------------------γ–1
T1
2
1 + ------------- Ma 2
2
1
2
1
(106)
6.2.4 Relation de Rankine-Hugoniot
pour les ondes de choc droites
La relation de Rankine-Hugoniot lie les pressions amont et aval
aux masses volumiques amont et aval. Elle s’obtient en éliminant
le nombre de Mach Ma 1 entre les relations (110) et (111) :
ou :
ρ
( γ + 1 ) p2 + ( γ – 1 ) p1
------2 = ------------------------------------------------------ρ1
( γ + 1 ) p1 + ( γ – 1 ) p2
(112)
p
( γ + 1 ) ρ2 – ( γ – 1 ) ρ1
------2- = -----------------------------------------------------p1
( γ + 1 ) ρ1 – ( γ – 1 ) ρ2
(113)
La figure 29 permet de comparer la loi de l’évolution du choc à
celle d’une transformation isentropique.
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Pour le même fluide s’écoulant à l’aval de l’onde de choc, les
conditions génératrices sont p 02 et T 02 . Or, les températures des
états générateurs sont identiques (§ 2.1.2). Ainsi, on a :
T02 = T01
et
vs * 1 = vs * 2
La vitesse du son critique est donc unique dans un écoulement.
On définit ainsi, pour tout écoulement un nombre de Mach critique
qui vaut, par définition :
v
Ma * = ---------vs
*
Ce nombre de Mach critique est relié au nombre de Mach de la
manière suivante :
Figure 28 – Relation entre les nombres de Mach de l’écoulement
à l’amont et à l’aval d’une onde de choc
Ma
2
v 2 vs
γ rT
v2
2 γ +1 T
= --------- = ------ --------- = Ma 2 --------------------- = Ma ------------- ------2 2
* v2
2 T0
γ
r
T
2
0
vs vs
s*
-------------------*
γ+1
2
et, compte tenu de la relation (38) donnant le rapport T /T 0 :
1
2
Ma * = ( γ + 1 ) Ma 2 ----------------------------------------22 + ( γ – 1 ) Ma
(114)
2
soit aussi :
Ma
2
2 Ma *
= ------------------------------------------------2
γ + 1 – ( γ – 1 ) Ma *
(115)
En portant cette expression du nombre de Mach dans
l’équation (108) liant les nombres de Mach amont et aval, on trouve :
Ma 1* Ma 2 * = 1
Figure 29 – Évolutions du fluide : isentropique et lors de la traversée
d’une onde de choc
Lorsque l’onde de choc se produit à un très grand nombre de
Mach, p 2 /p 1 est élevé [cf. (110)]. On constate alors que :
p
ρ
γ+1
------2- → ∞ ⇒ ------2 → ------------ρ1
γ–1
p1
dont la valeur est égale à 6 pour un gaz tel que l’air ( γ = 1,4) ;
(ρ 1 /ρ 2 = 0,167).
Lorsque le nombre de Mach amont est faible, de l’ordre de l’unité :
p
------2- → 1
p1
et
ρ
------1 → 1
ρ2
La transformation de Rankine-Hugoniot se confond avec la transformation isentropique.
(116)
qui s’écrit également :
2
v1 v2 = vs *
(117)
C’est l’équation de Prandtl-Mayer qui donne une relation simple
entre les vitesses du fluide à l’amont et à l’aval de l’onde de choc
et la vitesse du son critique.
6.2.6 Variation d’entropie à la traversée
d’une onde de choc
L’irréversibilité d’une onde de choc peut être mesurée par la
scréation d’entropie due à cette discontinuité. On peut la calculer
simplement en appliquant, par exemple, la relation (68) :
T2
p2
s 2 – s 1 = c p In ------- – r In ------T1
p1
et en prenant en compte les relations (109) et (110) pour obtenir une
équation en fonction de Ma 1 uniquement.
6.2.5 Relation de Prandtl-Mayer
La relation de Prandtl-Mayer relie les vitesses amont et aval de
l’onde de choc à la vitesse du son critique pour l’écoulement amont
ou pour l’écoulement aval. Par définition, la vitesse du son critique
(§ 2.2.3) est la vitesse sonique obtenue dans un écoulement isentropique. Pour un fluide en écoulement à p 1 et T 1 , les conditions génératrices sont p 01 et T 01 . Dans un écoulement isentropique à partir
de ces conditions génératrices, la vitesse sonique est obtenue au
col de l’écoulement lorsque le taux de détente correspond au taux
de détente critique :
v si = v s
*
=
2γ
------------- r T 01
γ+1
6.3 Application à la mesure de la vitesse
en écoulement supersonique
La vitesse d’un écoulement peut être déduite de la mesure de la
pression effectuée à l’aide d’un tube de Pitot. La pression mesurée
au point d’arrêt du tube est la pression d’arrêt isentropique du milieu
où il se trouve. Dans le cas d’un écoulement supersonique, il se produit, à l’amont du tube, une onde de choc qui permet le passage
de la vitesse de l’écoulement infini entourant le tube de Pitot à la
vitesse nulle du point d’arrêt (figure 30). La pression d’arrêt p 02
mesurée par le tube est liée à la pression p 2 par l’équation (37) :
p 02
-------- =
p2
γ–1
- Ma
1 + ----------
2
2
2
1⁄a
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Figure 30 – Détermination de la vitesse d’un écoulement
supersonique au moyen d’un tube de Pitot
En considérant la relation (110) entre la pression p 2 et la pression
p 1 de part et d’autre d’une onde de choc et la relation (108) entre
les nombres de Mach amont Ma 1 et aval Ma 2 , on obtient une relation
entre p 1 (mesurée par une prise de pression statique), p 02 et Ma 1
qui permet ensuite d’atteindre la vitesse v 1 compte tenu de la
température T 1 . Cette relation est :
γ+1
2
------------- Ma 1
p 02
γ+1
2
2
--------- = ------------- Ma 1 ----------------------------------------------γ–1
2γ
2
2
p1
------------- Ma 1 – ------------γ+1
γ+1
1 ( γ – 1 )
6.4 Application à la détermination
de la position de l’onde de choc
dans le divergent d’une tuyère de Laval
La position de l’onde de choc, ainsi que les valeurs des vitesses,
températures et pressions de part et d’autre de l’onde de choc
peuvent être déterminées à partir d’un ensemble d’équations
données ci-dessus et d’autres qui découlent directement des théories
des écoulements en tuyère. Ainsi, le débit étant critique, on peut
l’exprimer de diverses manières :
— régime critique au col
Ṁ * = ρ 0 2 c p T 0
2
------------γ+1
1 ⁄ (γ – 1)
La valeur de la pression génératrice p′0 de l’écoulement aval de
l’onde de choc est déduite d’une troisième formulation de débit :
p′0
- 2 cp T0
Ṁ * = ---------r T0
Cette équation est une équation implicite en Ma 1 dont la solution
permet, à partir des mesures de p 1 et de p 02 , de connaître la vitesse
de l’écoulement.
γ–1
------------γ+1
Figure 31 – Schématisation de l’évolution de la pression
dans une tuyère de Laval en écoulement mixte dans le divergent
Ωc
(119)
Ṁ = ρ 0 2 c p T 0
------p p1
0
p1
1 – -------p0
= ρ ′0
2 cp T0
a
Ω oc
------p′ p2
1⁄γ
0
1⁄γ
B 8 165 − 22
p2
1 – -------p′0
a
p0 p1
= -------- ------p′0 p 0
1⁄γ
1⁄γ
pS
1 – --------p′0
0
a
ΩS
(122)
6.5 Estimation de l’épaisseur
d’une onde de choc
L’épaisseur de l’onde de choc peut être estimée à partir de l’analyse
dimensionnelle et de considérations simplificatrices. Ainsi, si dans
l’équation (4) de la quantité de mouvement, on admet que toutes
les forces sont du même ordre de grandeur, en particulier, les forces
d’inertie et celles de viscosité, on peut écrire :
dv
ρ v --------dx
dv
d
- µ --------- ≈ -------dx
dx
(123)
Or, en première approximation (figure 33) :
dv
--------dx
v –v
1
2
≈ -----------------δ
où δ est l’épaisseur de l’onde de choc. Ainsi :
p2
1 – --------p′0
a
(120)
dv
ρ v --------dx
Ω oc
où Ωoc est l’aire de la section de la tuyère où se produit l’onde de
choc (figure 31), p′0 et ρ ′0 = p ′0 r T 0 , les conditions génératrices
de l’écoulement à l’aval de l’onde de choc. De cette équation, on
déduit une relation entre les pressions amont et aval de l’onde de
choc :
p2
-------p′0
pS
La détermination des caractéristiques de l’écoulement à l’amont
1 et à l’aval 2 de l’onde de choc et la position de celle-ci, à partir
des conditions amont, p 0 , T 0 , de l’écoulement, des sections au col
Ωc et à la sortie ΩS , de la pression de sortie p S et de la nature du
gaz ( γ et c p ), peut être faite en suivant l’organigramme de la
figure 32. Dans cet organigramme, ε est une constante de faible
valeur, choisie a priori.
— utilisation des conditions amont 1 et aval 2 de l’onde de choc
1⁄γ
------p′ p1
1 – ------p0
(124)
où ρ 0 et v 0 sont des valeurs moyennes à l’intérieur de l’onde de choc.
Par ailleurs, on a :
v1 – v2
d
dv
--------- µ --------- ≈ µ 0 -----------------(125)
2
dx
dx
δ
La combinaison de (123), (124) et de (125) permet d’écrire :
a
(121)
v –v
δ
1
2
≈ ρ 0 v 0 ------------------
δ
µ
0
≈ ------------ρ v
0
0
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Figure 33 – Épaisseur d’une onde de choc
En exprimant la viscosité d’un gaz en fonction du libre parcours
moyen et de la vitesse moyenne d’agitation thermique du gaz [5],
on a :
δ
≈
2r T ------------- ------- =
π v0
2
--------- -----------γ π Ma 0
(127)
le nombre de Mach Ma 0 étant de l’ordre de l’unité, l’équation (127)
montre que :
δ
≈
(128)
Ainsi, on peut noter que l’épaisseur d’une onde de choc est du
même ordre de grandeur que le libre parcours moyen des molécules.
Figure 32 – Organigramme de calcul des caractéristiques amont
et aval d’une onde de choc
Références bibliographiques
Dans les techniques de l’ingénieur
[1]
GOSSE (J.). – Mécanique des fluides. Traité
Sciences fondamentales, A 1 870 (1996).
[2]
[3]
CLAUDEL (B.). – Propriétés thermodynamiques des fluides. Traité Génie énergétique,
B 8 020 (1996).
GOSSE (J.). – Mécanique des fluides. Traité
Sciences fondamentales, A 1 870, p. 13
(1995).
[4]
[5]
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Énergie, Entropie, Exergie. Traité Génie énergétique, B 1 211, p. 6 (1992).
CLAUDEL (B.). – Propriétés thermodynamiques des fluides. Traité Génie énergétique, B8020 (1996).
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© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie énergétique
Dossier délivré pour
Madame, Monsieur
12/09/2008
B 8 165 − 23
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