Écoulements monodimensionnels des fluides compressibles

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B 8 165 4 - 1997
Écoulements monodimensionnels
des fluides compressibles
par André LALLEMAND
Ingénieur, docteur ès sciences physiques
Professeur des universités à l’Institut national des sciences appliquées (INSA) de Lyon
n génie énergétique, les fluides sont omniprésents, qu’ils soient
incompressibles ou compressibles. En effet, ils sont très souvent les agents
des transferts énergétiques par leurs propriétés de conduction de la chaleur et
surtout leur faculté à transporter l’énergie sous diverses formes : énergie ciné-
tique, énergie potentielle, pression, énergie interne, etc.
Pour assurer ce rôle, ils sont quasiment toujours mis en mouvement. Il est
alors essentiel de bien connaître les lois de la cinématique et de la dynamique
des fluides. Dans leur généralité, ces lois sont relativement complexes et donnent
lieu à des résolutions faisant appel à des méthodes numériques et à des temps
1. Étude générale de l’écoulement .......................................................... B 8 165 - 3
1.1 Équations de base de l’écoulement ........................................................... — 3
1.2 Résolution des problèmes .......................................................................... — 4
1.3 Application des équations énergétiques à quelques cas particuliers..... — 4
1.4 Vitesse du son.............................................................................................. — 5
2. Écoulement isentropique d’un gaz parfait ....................................... — 6
2.1 Étude générale de l’écoulement................................................................. — 6
2.2 Particularités de l’écoulement .................................................................... — 8
3. Écoulement adiabatique d’un gaz parfait
en conduite cylindrique ......................................................................... — 11
3.1 Équations de l’écoulement de Fanno......................................................... — 11
3.2 Évolution du fluide en diagramme entropique......................................... — 12
3.3 Nature de l’écoulement............................................................................... — 12
4. Écoulement réversible d’un gaz parfait
en conduite cylindrique ......................................................................... — 14
4.1 Équations de l’écoulement de Rayleigh .................................................... — 14
4.2 Évolution du fluide en diagramme entropique......................................... — 14
4.3 Nature de l’écoulement............................................................................... — 14
5. Écoulement isentropique d’un gaz parfait dans une tuyère........ — 15
5.1 Définition d’une tuyère................................................................................ — 15
5.2 Écoulement en tuyère de Laval .................................................................. — 15
5.3 Réalisation pratique et rendement des tuyères ........................................ — 18
6. Ondes de choc .......................................................................................... — 19
6.1 Équations des ondes de choc..................................................................... — 19
6.2 Relations entre les paramètres du fluide de part et d’autre de l’onde
de choc ......................................................................................................... — 19
6.3 Application à la mesure de la vitesse en écoulement supersonique...... — 21
6.4 Application à la détermination de la position de l’onde de choc
dans le divergent d’une tuyère de Laval.................................................... — 22
6.5 Estimation de l’épaisseur d’une onde de choc ......................................... — 22
Références bibliographiques ......................................................................... — 23
E

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de calculs importants. Heureusement, dans un grand nombre de situations indus-
trielles, on note des conditions particulières qui permettent de simplifier les équa-
tions de base et leur résolution. L’écoulement monodimensionnel des gaz parfaits
en régime permanent en est un exemple.
En réalité, ce type d’écoulement, au sens strict, ne représente que très peu
de cas réels. En effet, dans presque toutes les situations pratiques, les paramètres
des écoulements de gaz ou de vapeurs varient selon deux, voire trois, dimensions
de l’espace. Ils sont donc bidimensionnels ou tridimensionnels. Cependant, en
admettant quelques distorsions par rapport à la réalité, on peut dans certaines
études qui ne nécessitent pas des résultats rigoureux, faire l’hypothèse que les
variations des paramètres dans les directions transversales peuvent être négli-
gées.
L’article présenté est basé sur cet axiome. Il permet de traiter de façon relative-
ment simple un problème compliqué d’écoulements de fluides compressibles
et d’aboutir malgré cela à des résultats utiles pour l’ingénieur.
Notations et symboles
Symbole Désignation
cpcapacité thermique massique à pression
constante
cVcapacité thermique massique à volume
constant
Ddiamètre de la canalisation
eénergie massique
ecénergie cinétique massique
ePénergie potentielle massique
fforce de viscosité
gaccélération
henthalpie massique
Jpertes de charge
longueur de la canalisation
débit-masse
vitesse massique
Ma nombre de Mach
ppression
rconstante du gaz
sentropie massique ou abscisse curviligne
ttemps
Ttempérature thermodynamique
uvitesse moyenne débitante
vvecteur vitesse
vvitesse
ν volume massique
vsvitesse du son
vitesse du son critique
M
˙
m
˙
vs∗
xabscisse
zabscisse verticale
δ taux de détente
γ rapport des capacités thermiques
massiques à pression et à volume
constants
η rendement
λcoefficient de pertes de charge
ρ masse volumique
τ travail massique des forces de frottement
Ωsection droite
Liste des Indices
* critique
0 relatif à l’état initial
1,2 amont, aval
ccol, cinétique
iau point d’inflexion
pà pression constante
sson, isentropique
Ssortie
ttechnique, totale, transition
Và volume constant
Notations et symboles
Symbole Désignation

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1. Étude générale
de l’écoulement
Dans certaines applications, les écoulements de fluides
compressibles peuvent être étudiés en ne s’attachant qu’à la
composante principale vp des vecteurs vitesse, celle dont la direction
est en tous points perpendiculaire au plan normal à la ligne générale
de l’écoulement, encore appelée ligne moyenne (figure 1a). La
viscosité de ces fluides étant en général très faible et les écoulements
considérés de type turbulent, on peut faire l’hypothèse que cette
composante de la vitesse ne varie pas dans une section droite de
l’écoulement. La connaissance de l’écoulement, sur le plan cinéma-
tique, se réduit alors à la détermination de la valeur vp de la vitesse
en fonction de l’abscisse curviligne s. On a ainsi affaire à un problème
d’écoulement monodimensionnel dans lequel on fait l’hypothèse
que tous les autres paramètres physiques du fluide ne dépendent
que de s. Un exemple de ce type de problème est celui de l’étude
simplifiée de l’écoulement d’un gaz entre les aubages d’une turbine
à gaz (figure 1b).
Outre la connaissance de la composante vp de la vitesse (notée
simplement v dans la suite), la résolution de tels problèmes
consiste à déterminer l’évolution de la pression et de la tempéra-
ture en fonction de l’abscisse s de l’écoulement et de ses
conditions aux limites. Pour une telle résolution, on fait appel aux
relations classiques de la mécanique des fluides et de la thermo-
dynamique.
Les équations générales de l’écoulement monodimensionnel d’un
fluide compressible ont pour fondement les équations de continuité,
de la quantité de mouvement, de l’énergie, d’une part, l’équation
d’état du fluide, d’autre part. On peut y ajouter, pour des écoulements
particuliers, des équations traduisant certaines transformations
typiques en thermodynamique telles que l’équation de la transfor-
mation isentropique d’un gaz parfait ou l’équation liant l’enthalpie
aux variables thermodynamiques.
1.1 Équations de base de l’écoulement
Pour la forme générale des équations qui régissent les écoule-
ments quelconques, on se reportera à la référence [1]. Nous ne
donnons ici que leur forme particulière, applicable au cas étudié, qui
est celui d’un écoulement conservatif (sans source ni puits de
courant), stationnaire, à l’intérieur d’un tube de courant, c’est-à-dire
dans un domaine dont la surface latérale ne peut pas être traversée
par le fluide : une canalisation par exemple.
1.1.1 Équation de continuité
Cette équation traduit la conservation de la masse. Elle s’écrit :
(1)
où Ω1 et Ω2 sont des sections planes perpendiculaires à la ligne
moyenne encore appelées sections droites (figure 2) et vi la
composante du vecteur vitesse selon la normale à chacune de ces
sections. Compte tenu de l’hypothèse de la constance de cette vitesse
sur une section droite et en admettant que la masse volumique ρ
soit également constante sur cette section, on peut écrire :
(2)
où est le débit-masse du fluide dans le tube de courant.
Cette équation peut encore s’écrire sous la forme suivante :
(3)
1.1.2 Bilan de la quantité de mouvement
Le bilan de la quantité de mouvement donne lieu à une équation
vectorielle qui traduit simplement l’égalité entre les forces d’inertie
du fluide et les forces qui lui sont appliquées. Dans le cas classique
où on ne considère parmi ces forces que celles qui sont dues à la
pression p, à la pesanteur g et à la viscosité du fluide, cette équation
s’écrit de la manière suivante :
(4)
avec fforces visqueuses par unité de masse,
zabscisse verticale,
d’Alembertien de la vitesse, c’est-à-dire sa dérivée totale
par rapport au temps.
Pour un écoulement monodimensionnel et permanent, on a, en
projection sur la tangente à la ligne moyenne :
(5)
soit : (6)
ρ
1v1dΩ1
ρ
2v2dΩ2
=
ρ
1v1Ω1
ρ
2v2Ω2M
˙
==
M
˙
Figure 1 – Écoulements monodimensionnels de gaz
Figure 2 – Écoulements monodimensionnels dans un tube de courant
d ρ
ρ
---------dv
v
---------dΩ
Ω
----------++ 0=
ρ
Dv
dt
---------–grad p
ρ f– ρ ggradz–=
Dv
dt
---------
vdv
ds
--------1
ρ
----dp
ds
--------gdz
ds
--------f+++0=
vdvdp
ρ
-------- gdz++ fds–=

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1.1.3 Équation de l’énergie cinétique
ou équation énergétique mécanique
Lorsqu’on intègre l’équation (6) entre les points 1 et 2 d’une même
ligne de courant (ligne en tous points parallèle aux vecteurs vitesse
qui, en écoulement stationnaire, est confondue avec la trajectoire
d’une particule), on obtient :
(7)
C’est une équation énergétique massique dite équation de l’éner-
gie cinétique, ou encore équation énergétique mécanique, car elle
ne fait apparaître explicitement que des énergies de type
mécanique : de pression p, cinétique ec, gravifique ou potentielle
eP. L’opposé du travail des forces de frottement par unité de masse
τ
12 , toujours positif, correspond à la transformation d’énergie méca-
nique en énergie thermique.
Comme l’équation (7) est déduite de (6), on utilisera soit l’une, soit
l’autre de ces expressions puisqu’elles sont physiquement
identiques.
Si on interpose un élément mobile d’une machine entre les points
1 et 2 de la ligne de courant, l’intégration de l’expression (6) donne :
(8)
où wt12 représente l’énergie reçue par l’unité de masse de fluide
lors de son contact au cours du déplacement 1-2 avec cet élément
de machine. Cette énergie est encore appelée : travail technique.
1.1.4 Équation de l’énergie ou équation
énergétique thermodynamique
L’équation de l’énergie traduit le premier principe de la thermo-
dynamique. Sous sa forme technique, c’est-à-dire en ne considérant
explicitement dans l’énergie mécanique échangée entre le fluide et
son environnement que la part due à l’échange avec des éléments
mobiles liés à un arbre de machine, on l’écrit, pour un tube de courant
avec les hypothèses mentionnées ci-dessus :
wt12 + q12 = ∆h12 + ∆ec12 + ∆eP12 (9)
avec qquantité de chaleur échangée entre l’unité de masse du
fluide et le milieu extérieur à l’élément de fluide
considéré,
henthalpie de l’unité de masse.
Cette équation peut s’écrire plus simplement sous la forme :
wt + q = ∆ht(10)
où est l’enthalpie totale.
1.1.5 Équation d’état du fluide
Cette équation caractérise l’état thermodynamique d’un fluide. Elle
n’a une forme simple que dans le cas des gaz parfaits. Elle s’écrit
alors :
(11)
où est la constante du gaz étudié,
= 8,314 J/(mol · K) constante molaire des gaz,
masse molaire du gaz.
Pour les gaz réels, il convient d’utiliser d’autres équations qui sont
plus ou moins complexes [2].
1.2 Résolution des problèmes
Le système des quatres équations (2) ou (3), (6) ou (8), (9) et (11)
permet de déterminer quatre inconnues si on connaît les autres para-
mètres ainsi que les conditions à l’amont de l’écoulement.
Les paramètres intervenant dans ce système sont v, ρ , p, T, z, Ω,
wt, q, h et τ . En général, on suppose connues les évolutions de Ω,
z, wt, q et p lorsque la section se déplace. Il reste alors cinq inconnues
à déterminer : v, ρ , T, h et τ , pour quatre équations. L’équation de
fermeture du système est alors l’équation qui lie l’enthalpie à la pres-
sion et à la température et qui, dans le cas d’un gaz parfait, s’écrit
simplement : dh = cpdT
ou : h = cpT + Cte (12)
si cp, qui est la capacité thermique massique sous pression
constante, peut être considérée comme constante.
1.3 Application des équations
énergétiques à quelques cas
particuliers
1.3.1 Fluide en écoulement dans une canalisation
(sans machine)
Dans ce cas, wt = 0. Alors les équations (8) et (9) donnent
respectivement :
(13)
q12 = ∆h12 + ∆ec12 + ∆eP12 (14)
soit, en les combinant :
(15)
(équation qui est toujours valable, qu’il y ait ou non une machine).
1.3.2 Écoulement d’un fluide non pesant
dans une canalisation fixe
Pour les écoulements de gaz, on peut pratiquement toujours négli-
ger la variation d’énergie potentielle (∆eP ≈ 0, sauf dans l’étude par-
ticulière des cheminées). Alors, s’il n’y a pas de machine, on a :
(16)
q12 = ∆h12 + ∆ec12 (17)
1.3.3 Écoulement adiabatique d’un fluide
non pesant dans une canalisation fixe
S’il n’y a pas d’échange thermique, l’équation (17) devient :
∆h12 + ∆ec12 = 0
ou encore : (18)
c’est l’équation de Zeuner.
1
2dp
ρ
-------- ∆ec12 ∆eP12
τ
12
++ +0=
wt12 1
2dp
ρ
-------- gz
2z1
–()
v2
2v1 2
–
2
--------------------
τ
12
+++=
hthv2
2
------- gz++=
p
ρ
----rT=
rR
M
------=
R
M
1
2dp
ρ
--------- gz
2z1
–()
v2
2v1 2
–
2
--------------------
τ
12
+++0=
q12 1
2dp
ρ
---------
τ
12
++∆h12 =
1
2dp
ρ
-------- ∆ec12
τ
12
++0=
v2
2
------ h+Cte=

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Appliquons cette équation au cas particulier d’un fluide s’écoulant
dans une canalisation placée en aval d’un réservoir de grandes
dimensions (figure 3) dans lequel l’énergie cinétique peut être négli-
gée. Alors l’équation de Zeuner s’écrit :
(19)
soit :
h0 est appelé enthalpie d’arrêt ou enthalpie de l’état générateur
de l’état 1.
1.3.4 Écoulement réversible (fluide parfait)
Un écoulement ne peut être réversible qu’en absence de viscosité,
ce qui entraîne : τ
12 = 0. Alors l’équation (16) donne :
ou : (20)
1.4 Vitesse du son
Le son est produit par des variations faibles de la pression du
milieu dans lequel il se propage. Ainsi, la vitesse du son correspond
à la propagation de ces variations de pression.
Imaginons un milieu fluide, un gaz par exemple, dans lequel on
observe localement une différence de pression dp entre la partie
droite 1 et la partie gauche 2 du milieu (figure 4) et admettons que
la zone de variation soit plane et de dimension infinie. L’onde sonore,
se déplace, par définition, à la vitesse du son vs. Dans le mouvement
relatif onde sonore-fluide, le fluide se déplace par rapport à l’onde
à la même vitesse. La section Ω de part et d’autre de l’onde de pres-
sion étant la même, l’équation (3) s’écrit :
(21)
En admettant que la traversée de l’onde de pression se fasse de
manière réversible, donc sans frottement compte tenu notamment
de la valeur infiniment petite de l’épaisseur du front d’onde,
l’équation (6) devient, en négligeant la pesanteur ou en supposant
que l’onde se déplace horizontalement :
(22)
La combinaison de ces deux équations (21) – (22) donne :
(23)
Compte tenu que l’on a affaire à un phénomène local rapide, on
peut admettre que ce phénomène est adiabatique. Avec l’hypo-
thèse de réversibilité, il est donc isentropique. En admettant que le
fluide considéré soit un gaz parfait idéal (gaz parfait pour lequel le
coefficient
γ = cp/cV, rapport des capacités thermiques massiques
à pression et à volume constants, est constant), l’équation de la
transformation isentropique est :
(24)
soit :
Dans ce cas, la vitesse du son a pour expression :
(25)
ou, en tenant compte de l’équation d’état des gaz parfaits (11) :
(26)
Si le fluide n’est pas un gaz parfait, en considérant toujours la trans-
formation isentropique, on peut écrire, d’une manière générale :
Or, en notant que le coefficient isentropique vaut, par définition :
où
ν = 1/ ρ est le volume massique,
on a : (27)
La vitesse du son peut être reliée au coefficient de compressibilité
isentropique Ks du fluide :
soit, avec (27) :
où et sont respectivement le volume molaire et la masse
molaire du fluide.
La vitesse du son est donc d’autant plus faible que la compres-
sibilité du fluide est plus grande.
h0h1
v1
2
2
-------+=
v12∆h10 2∆h01
==
1
2dp
ρ
--------- ∆ec12
+0=
dp
ρ
--------- dv2
2
-------
+0=
d
ρ
ρ
---------dvs
vs
----------+0=
vsdvsdp
ρ
--------+0=
vs
2
vsdp
d
ρ
---------
=
p
ρ
γ
------- Cte=
dp
d ρ
--------- γ
p
ρ
----
=
Figure 3 – Écoulement d’un fluide compressible
dans une canalisation alimentée par un réservoir
Figure 4 – Propagation d’une onde sonore
vs γ
p
ρ
----
=
vs γ rT=
vs
2
∂ p
∂ρ
-------- s
=
ks
ν
p
---- 
∂ p ∂ν
--------
s
–
ρ p ---- ∂ p ∂ρ --------
s
==
vs
2ksp
ρ
----
=
Ks 1
ν
----
∂ν
∂
p
---------
s
– 1
ρ ---- ∂ρ
∂
p ---------
s
1 pk
s
-----------===
vs
21
ρ Ks
------------V
M
---------1
Ks
-------
==
V M