Espaces topologiques. Exercice 1 (Prébase d`une topologie) Soit X

Universit´e Claude Bernard Lyon I Espaces topologiques.
Master premi`ere ann´ee : Analyse fonctionnelle
Ann´ee 2009-2010
Exercice 1 (Pr´ebase d’une topologie) Soit Xun ensemble et Sune partie de X. On note Bl’ensemble
des intersections finies d’´el´ements de Set Tl’ensemble des r´eunions (finies ou infinies) d’´el´ements de B.
Montrer que Test la topologie la moins fine contenant S.
(Terminologie : on dit que Sest une pr´ebase, ou sous-base, pour Tet que Best une base pour T).
Exercice 2 Soient Xun ensemble et (Yi,Ti)i∈Iune collection d’espaces topologiques. On se donne des
applications fi:X→Yi. On munit Xde la topologie Tla moins fine telle que toutes les applications fi,
i∈Isoient continues.
(a) D´ecrire la forme d’un ouvert pour cette topologie.
(b) Soit Wg →Xune application entre un espace topologique Wet X(muni de la topologie Tci-dessus).
Montrer que gest continue ssi fi◦g:W→Yiest continue pour tout i∈I.
(c) Soit (xn)nune suite de X. Montrer que la suite (xn)nconverge vers xpour Tsi et seulement si
chaque suite (fi(xn))nconverge vers fi(x) pour tout i∈I.
D´efinition 1 (topologie produit) Soit (Xi,Ti)i∈Iune collections d’espace topologiques. On note X=
Qi∈IXi
def
={(xi)i∈I:xi∈Xi}l’espace produit. On note pi:X→Xila projection sur Xid´efinie par :
(xi)i∈I
pi
7→ xi. La topologie produit Tsur Xest la topologie la moins fine telle que toutes les projections
sont continues.
Exercice 3 Soit X={(x1, x2, . . .}l’espaces des suites r´eelles. On peut ´ecrire X=QN∗R. On pose
e
B=U1×U2×. . . tels que Unest ouvert de R,n∈N∗
1. Montrer que e Best la base d’une topologie e Tsur X. Comparer e Tavec la topologie produit Tsur
X.
2. Soit K={(x1, x2, . . .): xn∈[−1,1] ∀n}.Kest-il compact dans (X, T) ? Et dans (X, e T) ?
Exercice 4 Soit Wg →Xune application entre un espace topologique Wet X=Qi∈IXi. On suppose X
muni de la topologie produit. Montrer que gest continue si et seulement si toutes les composantes
gi=pi◦g:W→Xisont continues.
Exercice 5
1. On suppose que X1,...Xnsont des espaces m´etriques. Montrer que la “distance infini” sur X=
Qn
i=1 Xi(obtenue en prenant le maximum des distances des composantes) induit la topologie pro-
duit. (En particulier, le produit fini d’espaces topologiques m´etrisables est m´etrisable).
2. Soit (Xn, dn)n∈Nune suite d’espaces m´etriques. Soit X=Q∞
n=1 Xnl’espace topologique produit.
On se propose de montrer que Xest m´etrisable. Soit
D(x, y) =
∞
X
n=1
1
2n·dn(xn, yn) 1 + dn(xn, yn), x = (x1, x2, . . . ), y = (y1, y2, . . .).
(a) Montrer que Dd´efinit une distance sur Xet que les projections pn: (X, D)→(Xn, dn) sont
continues.
(b) Soit B(x, r) une boule de (X, D) et y∈B(x, r). Construire un ouvert Uyde la topologie
produit tel que y∈Uy⊂B(x, r).
(c) Conclure.
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Exercice 6 Consid´erons Fl’espace des fonctions d´efinies sur [0, π] et `a valeurs dans [−1,1]. On peut
voir Fcomme l’espace produit
F=Y
α∈[0,π]
Fα,
avec Fα= [−1,1], α∈[0, π]. Le but de l’exercice est de montrer que Fmuni de la topologie produit n’est
pas m´etrisable.
(a) Rappeler la d´efinition de la topologie produit et montrer que si (fn)n≥1est une suite de fonctions
de Falors (fn)n≥1converge vers fpour la topologie produit si et seulement si (fn)n≥1converge
simplement vers f.
(b) Supposons que Fsoit m´etrisable et consid´erons la suite (fn)n≥1d´efinie par
fn(α) = sin(nα), α ∈[0, π].
(i) Montrer qu’il existe une sous-suite (fnk)k≥1qui converge dans Fvers une fonction f.
(ii) Montrer que
lim
k→+∞Zπ
0
f(x) sin(nkx)dx =π
2.
(iii) Conclure en utilisant le th´eor`eme de Riemann-Lebesgue.
D´efinition 2 Soit Xun espace vectoriel sur K. On dit qu’une application p:X−→ [0,+∞[est une
semi-norme sur Xsi
1. p(x+y)≤p(x) + p(y),∀x, y ∈X.
2. p(αx) = |α|p(x),∀α∈Ket x∈X.
Si P= (pi)i∈Iest une famille de semi-normes sur X, on appelle topologie engendr´ee par Pla topologie
la plus faible qui rend continue chaque application pi,i∈I. On dit que cette famille est s´eparante si
∀x6= 0, il existe p∈ P tel que p(x)6= 0.
Exercice 7 Soit Xl’espace des fonctions f: [0,1] −→ Cet pour x∈[0,1], on pose
px(f) := |f(x)|, f ∈X.
(a) Montrer que (px)x∈[0,1] d´efinit une famille s´eparante de semi-normes sur Xet rappeler la d´efinition
de la topologie d´efinie par cette famille de semi-normes.
(b) Montrer que si (fn)n≥1est une suite de fonctions de X, alors (fn)n≥1converge vers fpour la
topologie d´efinie par la famille de semi-normes si et seulement si (fn)n≥1converge simplement vers
f.
(c) Montrer que cette topologie n’est pas normable.
(d) On consid`ere Al’ensemble des ´el´ements de Xqui sont nuls sauf sur un ensemble fini.
(i) Montrer que A=X.
(ii) Soit (fn)n≥1une suite d’´el´ements de Aqui converge vers f. Montrer que fest nulle sauf sur
un ensemble fini ou d´enombrable.
(iii) Conclure qu’un point de l’adh´erence d’une partie Ade Xn’est pas toujours la limite d’une
suite d’´el´ements de A.
Exercice 8 Soit Ω un ouvert de C.
(a) Montrer qu’il existe une suite de compacts (Kn)n≥1de Ω v´erifiant les trois propri´et´e suivantes :
(i) tout compact Kde Ω est inclus dans un Kn;
(ii) pour tout n≥1, le compact Knest inclus dans l’int´erieur du compact Kn+1 ;
(iii) on a
Ω = [
n≥1
Kn.
(Indication : on pourra consid´erer
Kn:= {z∈Ω : |z| ≤ net d(z, cΩ) ≥1/n}.)
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Une telle suite (Kn)n≥1est appel´ee suite exhaustive de compacts associ´ee `a Ω.
(b) Pour h∈C(Ω) et n≥1, on pose
pn(h) := sup
z∈Kn
|h(z)|,
et on d´efinit d:C(Ω) ×C(Ω) −→ R+par
d(f, g) :=
∞
X
n=1
1
2n
pn(f−g)
1 + pn(f−g),(f, g)∈C(Ω) ×C(Ω).
Montrer que (C(Ω), d) est un espace m´etrique et que la convergence d’une suite dans cet espace
m´etrique traduit la convergence uniforme sur tout compact.
(c) Montrer que (C(Ω), d) est un espace m´etrique complet.
(d) Montrer que la topologie de C(Ω) n’est pas normable.
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