Interférences

MP 2016-2017
Parc des loges
Exercices : interferences
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Mesure de l'épaisseur d'une lame
On réalise des interférence à l'aide de fentes d'Young avec une source ponctuelle et monochromatique, de
longueur d'onde λ0 .
x
F1
M
S
a=2
eran
F2
f
f
1. Tracer le trajet des deux rayons lumineux qui interfèrent en M. En déduire le déphasage entre deux
ondes interférant en M.
2. Déterminer l'éclairement E(x) sur l'écran si les deux fentes sont de même largeur de sorte que E1 =
E2 = E0 . Représenter cet éclairement Déterminer l'interfrange i.
3. Même question si la fente F1 est plus large de sorte que E1 = 2E2 .
4. On reprend E1 = E2 . On place une lame de verre d'épaisseur e et d'indice n > 1 devant F1 . Déterminer
qualitativement dans quel sens délent les franges. De combien d'interfranges la frange centrale s'estelle déplacée ? a=1 mm, λ0 =600 nm, f ′ =50 cm, n=1,5 et e=0,01 mm.
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Miroir de Lloyd
Une lame de verre plane est éclairée sous incidence rasante (h ≪ l) par une source ponctuelle S placée
aux distances l=20cm et h=1mm au dessus du plan de celle-ci. Elle se comporte comme un miroir plan
(M) mais introduit un déphasage supplémentaire de π . La source est monochromatique de longueur d'onde
λ0 =546nm. On donne d=10cm.
x
S
Ecran
h
Lame
l
d
1. On observe dans l'écran (E) perpendiculaire au miroir situé en son extrémité des traits brillants de
façon périodique. La frange en x = 0 est sombre. Expliquer le phénomène.
2. Déterminer le champ d'interférences, c'est à dire la zone de l'écran où les interférences sont observées.
sur l'écran, calculer sa largeur L.
3. Exprimer la diérence de marche en M point de l'axe Ox en fonction de x, h, d et l ; puis l'éclairement
E(x). Calculer l'interfrange et en déduire le nombre de franges brillantes et sombres.
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Biprisme de Fresnel
On rappelle les notations classiques permettant de déterminer la déviation d'un rayon lumineux par un
prisme (gure de gauche) :
1
Exercices : interferences
x
A
i
h
i’
r
D
r’
L
Un biprisme de Fresnel est constitué de deux prismes identiques droits accolés d'angle A faible, d'indice
n ≳ 1. Ce biprisme est éclairé par une onde plane monochromatique de longueur d'onde dans le vide λ0 . On
a représenté la déviation de la partie supérieure du faisceau.
1. Retrouver la relation D = i + i′ − (r + r′ ) = i + i′ − A, dans le cas général (gure de gauche). En
déduire que, pour un biprisme de fresnel, la déviation est D = (n − 1)A.
2. Dessiner le champ d'interférences.
3. Déterminer l'éclairement E(x) sur l'écran, situé à une distance L, en utilisant les vecteurs d'onde des
deux faisceaux émergents.
4. Calculer l'interfrange et déterminer le nombre de franges visibles.
4
Etoile double
Une étoile double est constituée de deux étoiles séparées d'une distance b et situées à une distance D≫ b
de la terre. On appelle distance angulaire ε ≪ 1 entre les deux étoiles, l'angle sous lequel elles sont vues
depuis la terre. On désire déterminer ε par une méthode interférométrique.
Chaque étoile émet une onde plane considérée comme monochromatique faisant un angle +− ε/2 avec l'axe
optique (gure de droite).
"=2
x
etoile (1)
x
a=2
a=2
M
"
b
eran
etoile (2)
D
f
D
f
eran
"=2
f
f
Pour l'etoile (1)
Les luminosités des deux étoiles sont les mêmes et l'éclairement émis est noté E0 .
1. A l'aide de la gure de droite, déterminer le déphasage entre deux rayons issus de l'étoile (1). En
déduire l'éclairements E1 (x) dû à l'étoile (1).
2. Déterminer de même l'éclairements E2 (x) dû à l'étoile (2).
)
(
))
(
(
2πxa
πaε
cos
3. En déduire que l'éclairement résultant est : E = 4E0 1 + cos
λ0
λ0 f
4. Relier le contraste à la distance angulaire ε. Montrer qu'en faisant varier a, on peut accéder à la valeur
de ε.
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Parc des loges
Largeur d'une source
On considère le montage de l'exercice 1, utilisant deux fentes d'Young séparées de a. La source est
maintenant étendue et de largeur e (centrée sur l'axe optique).
Déterminer l'éclairement sur l'écran E(x) et calculer le contraste. Quelle est la conséquence pratique de
ce calcul ? Quel type d'interféromètre préférera-t-on utiliser ?
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Cohérence spatiale
Une source S ponctuelle, monochromatique de longueur d'onde λ, émettant une intensité totale I0 est
placée sur l'axe optique d'un dispositif à trous d'Young (à une distance D' du plan des trous) :
x
S1
(1)
M
S
z
a
(2)
S2
D
1. Rappeler l'expression de la diérence de marche δ ainsi que l'intensité lumineuse I en M en fonction
de δ . Tracer l'allure de I en fonction de δ , de φ et de l'ordre d'interférence p.
2. On considère une deuxième source ponctuelle identique à la première mais située à une distance X1
de l'axe optique. Reprendre la question précédente. Montrer que l'ordre d'interférence varie d'une
quantité ∆p à exprimer en fonction de X1 .
3. Que se passe-t-il si les deux sources sont présentes simultanément ? Pour quelle valeur minimale de
∆p (en valeur absolue), le contraste est-il nul ? Que vaut alors X1 en valeur absolue ?
4. On considère maintenant une source large de largeur b centrée sur l'axe optique. Pour quelle valeur
minimale de b, le contraste est-il nul ( il faut utiliser la question précédente et ne pas faire de calcul) ?
Que se passe-t-il si la largeur de la source est plus grande ? Quelle conclusion tirer de ce raisonnement ?
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Franges d'égale épaisseur
Un interféromètre de Michelson réglé en coin d'air est éclairé par une source étendue monochromatique
de longueur d'onde λ = 546 nm. On projette la gure d'interférence à l'aide d'une lentille convergente de
focale f ′ = 20cm et la distance entre la lentille et l'écran est de D = 1, 30 m. On mesure sur l'écran une
interfrange de 4 mm.
1. Où sont localisées les interférences ? Faîtes un schéma de l'expérience.
2. Déterminer l'angle du coin d'air.
3. Combien voit-on de franges si les miroirs ont un diamètre de 2 cm ?
4. On place une lame d'épaisseur e et d'indice n devant un des deux miroirs. Sur quelle distance, la gure
d'interférence a-t-elle été translatée ?
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Etude d'un jet de gaz
A l'aide d'un interféromètre de Michelson (doc1), représenté ci-dessous, on obtient la gure suivante
(doc2) reétant l'aspect des miroirs lorsque l'on envoie un jet de gaz de briquet par exemple devant le miroir
M1 .
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Exercices : interferences
1. Comment régler le viseur ?
2. Donner un ordre de grandeur de la diérence d'indice de réfraction entre le gaz et l'air si λ=560nm
et D=2cm diamètre du miroir.
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Anneaux
Un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air (d'épaisseur e) est éclairé par une source ponctuelle
de longueur d'onde λ = 632 nm.
On place à la sortie une lentille convergente de distance focale f ′ = 10 cm et un écran dans son plan focal
image.
On repère alors sur l'écran des anneaux brillants dont les rayons sont comptés en partant du centre :
anneau brillant
r (mm)
1 2
3
4 5
5 7,1 8,7 10 12
Déduire des données l'épaisseur e de la lame d'air.
Quel est l'ordre d'interférence au centre ?
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Interféromètre de Michelson en lame d'air
Un interféromètre de Michelson réglé en lame d'air est éclairé par une source étendue.
1. Où sont localisées les interférences ? Faîtes un schéma de l'expérience permettant de les observer et
expliquer l'expression "lame d'air".
2. La source est tout d'abord une lampe spectrale au sodium. Elle émet deux raies de longueurs d'onde
λ1 et λ2 très proches : λ1 = 589, 0 nm et λ2 = 589, 6 nm
a) Déterminer l'éclairement sur l'écran en fonction de la diérence de marche δ .
b) On place un photomultiplicateur au centre des anneaux, sur l'axe optique de la lentille. Celui-ci
mesure l'éclairement en ce point.
Un des miroirs, relié à un moteur, est translaté à la vitesse v constante de sorte que la distance
"optique" entre les deux miroirs (l'épaisseur de la lame d'air) est x = vt. Déterminer l'éclairement
mesuré par le photomultiplicateur en fonction de t et représenter son allure.
c) Combien de franges délent entre deux annulations du contraste ?
3. L'interféromètre est éclairé par une lampe à vapeur de mercure derrière laquelle on a placé un ltre
interférentiel an de sélectionner la raie verte de longueur d'onde λ0 =546,1 nm.
On modélise le prol spectral de cette raie par un rectangle centré sur λ0 d'épaisseur ∆λ.
a) Déterminer et représenter l'éclairement E(δ).
b) Qu'appelle-t-on longueur de cohérence de la source ? L'exprimer ici et interpréter en utilisant
la notion de train d'onde.
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