TD Optique Physique

Année Universitaire: 2016 /2017
SMP4
Module : Optique Ondulatoire
Exercice corrigée : Interféromètre de Michelson (suite de la série III)
Exercice:
On considère le dispositif interférentiel de Michelson. La
lame séparatrice est supposée d'épaisseur négligeable, ce qui
rend la lame compensatrice inutile. La source (S) est étendue :
chaque point de la source (vu sous un angle i depuis le centre
de la lentille (L') de collimatation) donnera un faisceau
parallèle, faisant le même angle i avec l'axe optique. Les 2
miroirs sont perpendiculaires, et l'on a: IO1=IO2+d
Les interférences sont observées sur un écran (E) situé dans le plan focal d'une lentille de focale m.
La source est monochromatique, de longueur d’onde = 0,5461 m (raie verte du mercure) ; on donne
par ailleurs la distance d= 3276,6 m.
Rq : les réflexions des rayons sur la séparatrice ne sont pas de même nature ; cependant, on
considérera que le traitement de surface est tel que ces réflexions n’introduisent pas de déphasage
supplémentaire entre les rayons « séparés » au niveau de (  ).
1) Déterminer E(x) donnant l’éclairement en un point M de l’écran, avec x=OM. Quelle est la forme
des franges d’interférence ? Comment appelle- t- on ce type de franges ? Pourquoi dit- on que
l’interféromètre de Michelson est réglé en « lame d’air » ?
2) Calculer l’ordre d’interférence p0 au centre O, ainsi que le rayon des 3 premiers anneaux brillants
sur l’écran (E).
3) Sur le trajet OI1, on insère une lame de mica à faces parallèles, parallèlement au miroir (M 1) ; le
mica a un indice n = 1,53 et l’épaisseur D de la lame est inconnue. On observe un « défilement » de
25 franges de même nature sur l’écran (E) : quelle est l’épaisseur de la lame?
4) La source précédente est remplacée par une lampe à vapeur de sodium dont, par filtrage, on n’a
conservé que le doublet jaune, de même intensité I0 : 1= 0,5890 m et 2=0,5896 m. Déterminer
l’éclairement au centre O en faisant apparaître un facteur de visibilité V(d).
5) Montrer que la mesure de la variation de distance d (obtenue par le déplacement du chariot sur
lequel est monté le miroir M1) entre 2 positions où V(d ) = 0, permet de calculer =2- 1 ; calculer
d. Retrouver ce résultat par un calcul direct, en exploitant la notion de système de franges en
coïncidence ou en anti - coïncidence.
Correction :
1). Dans le cours, nous avons vu que pour le calcul des
chemins optiques, on pouvait remplacer le miroir réel (M1) par
un miroir virtuel (M'1) symétrique du précédent par rapport à
la séparatrice (une symétrie plane conserve les distances.
D'après le théorème de Malus, toute différence de marche entre
les rayons (1) et (2) acquise avant le plan passant par les points
H et K sera conservée par la suite . D'autre part, les rayons (1)
et (2) sont confondus jusqu'au point I; on a donc :
M. Bellioua.
1
Par ailleurs, l’angle i restant petit (rappelons que du point de vue de l’optique géométrique,
nous nous efforçons de travailler dans les conditions où l’approximation de Gauss est
valable), on a :
Rq : les déphasages éventuels dus aux réflexions (de même nature) sur les miroirs (M1) et
(M2) sont identiques.
On sait que l’éclairement est donné par la relation (=p):

Les franges sont les lieux des points de même éclairement ; ici, il s’agit de x =cste ,
où x est la distance d’un point M au point O
les franges sont des cercles de centre O
(à condition que la source (S) ait la symétrie de révolution).

On dit que l’on observe des « franges d’égale inclinaison », car l’éclairement E ne
dépend que de l’angle d’inclinaison i par rapport à l’axe optique. Le « Michelson » est réglé
en « lame d’air », car le miroir réel (M2) et le miroir virtuel (M1’) sont parallèles et
constituent ainsi une lame d’air virtuelle.
2) Au centre, on a :
l’ordre d’interférence diminue lorsque x augmente, donc
lorsqu’on s’éloigne du centre O (contrairement à ce qui se passe avec le dispositif des fentes
d’Young).
D’où, pour le kème anneau brillant, il vient :
Application numérique :
(Les anneaux sont bien espacés, et leur rayon croît proportionnellement à √𝑘 )
3) L’introduction de la lame va rallonger le chemin optique du rayon (1), donc faire varier la
différence de marche 1/2 ; en retranchant le chemin que parcourait le rayon (1) dans l’air à ce
qu’il parcourt maintenant dans le mica, on obtient :
Si 25 franges de même nature ont défilé, c’est que l’ordre d’interférence a varié de 25, d’où :
4) Les 2 radiations du doublet du sodium sont incohérentes entre elles (incohérence
temporelle), on peut se contenter de sommer les éclairements au centre dues à chacune d’elle :
M. Bellioua.
2
et 𝜆20 ≈ 𝜆20 −
(∆𝜆)2
4
5)
Rq : en fait, c’est la détermination de 0 et la mesure de d (valeur suffisamment élevée pour
que la précision soit très correcte) qui permettent d’évaluer .
En fait, il y a brouillage lorsque les systèmes de franges des radiations 1 et 2 sont en anti
coïncidence (lorsque les anneaux brillants de l’une coïncident avec les anneaux sombres de
l’autre, l’écran est uniformément éclairé, il n’y a plus de contraste) ; dans ce cas, les ordres
d’interférence diffèrent d’un demi - entier et l’on peut écrire entre 2 anti- coïncidences
successives:
Série IV : Diffraction
Exercice 1 :
Un étudiant souhaite déterminer la dimension des mailles d'un voilage. Pour cela, il
réalise le montage suivant :
Le laser émet une lumière de longueur d'onde dans le vide
 = 633 nm. Il est placé à une distance d = 20,0 cm du
voilage. La distance entre le voilage et l'écran vaut D =
(2,00 ± 0,01) m. Il observe que la tache centrale obtenue
sur l'écran est composée de points lumineux équidistants
séparés par des zones sombres. La distance séparant deux
points consécutifs est : i = (0,45 ± 0,01) cm.
1. Le voilage se comporte comme un réseau à deux dimensions comportant un grand nombre
de trous. Quel est le phénomène responsable de l'observation de points lumineux
équidistants sur l'écran ?
2. Comment appelle-t-on la distance i séparant deux points lumineux consécutifs sur l'écran ?
M. Bellioua.
3
3. En notant a la distance séparant deux trous consécutif i = D/a. Calculer a et son
incertitude. Le résultat sera donné sous la forme a= … ± a.
Exercice 2 : Diffraction par un réseau.
On considère un réseau à 600 traits/mm de largeur totale l=1cm. Les traits (ou fentes) du
réseau sont parallèles à l’axe Y’OY. Ce réseau est éclairé par un faisceau de lumière blanche
(0.4 m0.8 m), perpendiculaire à son plan et parallèle à l’axe Z’OZ. La figure de
diffraction à l’infini, par le réseau, est ramenée à distance finie à l’aide d’une lentille
convergente L de distance focale f=50cm. L’écran d’observation E, parallèle au plan du
réseau, est placé au plan focal image de la lentille.
1. Quel est le nombre total des fentes du réseau considéré ?
2. Quel est le pas de ce réseau ?
3. Quelle est l’amplitude des ondes diffractées, par chacune des fentes, dans une direction θ
par rapport à l’axe OZ du plan XOZ ? (prendre k=2 facteur de proportionnalité).
4. Quel est le déphasage  entre les ondes diffractées par deux trais voisins ?
5. Quelle est l’expression de l’onde résultante de la superposition des ondes diffractées par
les différents traits du réseau ? (On donnera cette expression en représentation complexe).
6. Montrer que l’intensité I() diffractée par le réseau dans la direction , s’exprime par :
πa
Nπd
πa
θ) sin2 (
sinθ)
sin2 ( θ)
λ
λ
λ
I(θ) = I0
Dans la suite du problème on prendra:
2 =1
πd
πa 2
πa
sin2 ( sinθ)
( θ)
(
θ)
λ
λ
λ
7. Quelle est la valeur maximale de I() ?
8. Pour quelles valeurs de d sin l’intensité I() est-elle maximale pour une longueur d’onde
 donnée ?
9. En déduire la position angulaire k de la raie de diffraction d’ordre k pour une longueur
d’onde  donnée ?
10. Quelle est la position angulaire v1 de la raie de diffraction d’ordre 1 de la radiation
violette (=0.4m) ?
11. Quelle est la position angulaire r1 de la raie de diffraction d’ordre 1 de la radiation rouge
(=0.8m) ?
sin2 (
12. Quelle est la position xk (sur l’écran E) de la raie de diffraction d’ordre k pour une
longueur d’onde  donnée ?
13. Calculer les positions xv1 et xr1 des la raies d’ordre 1 pour les radiations extrêmes sur
l’écran E.
14. Déduire la largeur x1 sur laquelle s’étale l’ordre 1 du spectre visible.
15. Quel est l’ordre maximum observable pour la radiation jaune de longueur d’onde
=0.59m ?
16. Calculer sinθ3 (ordre k=3) pour les radiations suivantes : violet (=0.4m), bleu
(=0.48m) jaune (=0.59m) et le rouge (=0.8m). Déduire.
NB : On rappelle que l’intensité diffractée par une fente de largeur a est donnée par :𝐼 = 𝐼0
πa
λ
πa 2
sin2 ( θ)
( θ)
λ
M. Bellioua.
4