Anneaux méta-noethériens

Séminaire Dubreil.
Algèbre et théorie
des nombres
PAULO R IBENBOIM
Anneaux méta-noethériens
Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 27, no 2 (1973-1974), exp. no 16,
p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SD_1973-1974__27_2_A6_0>
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16-01
Séminaire DUBREIL
(Algèbre)
1973/74,
27e année,
16, 9
n°
13 mai 1974
p.
MÉTA-NOETHÉRIENS
ANNEAUX
par Paulo RIBENBOIM
noethériens, et introduisons plusieure
invariants numériques pour mesurer, en quelque sorte, de combien un anneau s’écarte
d’être noethérien. Ces types et hauteurs noethériennes sont étudiés par rapport à
plusieurs opérations algébriques, y inclus la formation d’anneaux de polynômes.
Parmi les anneaux de valuation, ceux de type ou hauteur noethérienne finie sont préNous étudions des anneaux
cisément
appropriées,
thériennes coïncident. D’autre part,
le
deux
spectre,
pièces,
(ordinaire)
des valuations discrètes d’hauteur
ceux
Avec des conditions de chaîne
sur
non
peut
on
des
casser
en
les différents
finie.
types
et hauteurs
imposant certaines conditions
anneaux
équif ormes
dont l’une est noethérienne et l’autre
de
le
a
noe-
de maximalité
type noethérien fini en
type noethérien plus petit
que ce lui de l’anneau donné. C’est la base d’une méthode de démonstration par induction
sur
Pour des
le
type noethérien.
de
anneaux
polyn8mes,
nous
montrons que la hauteur noethérienne est
celle de l’anneau des coefficients. Un dernier résultat est
plus égale à
lioration pour les
anneaux
de
fini d’un d’un théorème
type noethérien
une
connu
au
améde
SE IDENBERG.
Toute la théorie repose de façon essentielle
[4~] :
de HEINZER et OHM
calisé
un
R
anneau
est noethérien
est noethérien et tout idéal de
R
théorème difficile et récent
sur un
R
a
si,
et seulement
seulement
un
si, tout lo-
nombre fini d’idéaux
premiers associés.
Un article
Soit
le même
ici les
omettrons
1. Idéaux
sur
sujet devant paraître dans
R
un
anneau
commutatif
avec
unité
soit
idéal premier minimal contenant
Min(n)
~~
E
de
est associé à
R
Ass(n) =
1
a
~ 1 ~ 0) ,
lorsqu’il
1° Si
En outre y
R
de
existe
x E R
tel que
R .
p
-
R , complément
Les faits suivants sont bien
est noethérien
Ass(03B1)
idéal de
l’ensemble des idéaux premiers associés à a, soit
multiplicative
Ass~a~ ,
un
soit a
l’ensemble des idéaux premiers minimaux contenant
la partie
nous
premiers associés.
premier p
Soit
journal mathématique,
démonstrations.
L’idéal
un
un
est
un
et p
E
Notons
S(a) =
SR(a)
de l’ensemble union de tous les
connus :
Ass(a) ,
ensemble fini.
a ,
il existe
x
E
R
tel
x) .
2° Si
~~
Si
sont des idéaux de
a ~ b
est
T
3° Si
est
idéal,
autre
un
une
particulier, si T
jection entre Ass (o)
si
de l’ensemble
R
est
b
un
idéal de
R ,
un
idéal premier disjoint de
Q’ )
S~~,(o x
Si
a’
a ~
3
& ~
(FA)
b* ~
On
Pour tout
les
a
de
un
idéal de
R, alors
est
est le
des
images canoniques. En particulier, si
bi-
complément
T
b ~ alors
T
une
Q
=
q
=Ø,
est
alors
R ,
anneaux
R’
respectivement,
~~ ;
~ ~
alors
Ass~, (o~ )) ~
alors
propriétés
Pour tout idéal
(SFA)
b , alors
R~ ; ~ ~
==
Nous considérons les
alors
o :3
sont des idéaux des
03B1’
R/b , o ==
l’application p ~ SR(03B1)-1 p
et
o) . Si Si (a)
As SR(03B1)-1R(SR(03B1)-1
union de tous les idéaux premiers h =
désignent
03B1 ,
2
=
alors
==
où
4° Si
a’
a ?
R
partie multiplicative
En
dans
R, et
0
de
R
est fini.
1 ’ ensemble
de R ,
idéal 03B1
implications :
suivantes :
R , l’anneau
a
noethérien ===~ R
satisfait
(SFA)
est noethérien.
===~
satisfait
R
(FA).
Les
propriétés (FA), (SFA)
anneau
2.
de
Types
Soient
de a
à
telle que
fractions,
ou
par
sont
à
un
R . Une chaîne noethérienne de longueur
s
préservées
par passage à
produit cartésien
un anne au
quotient,
fini d’ anneaux.
et hauteurs noethériennes.
Q ~ b
des idéaux de l’anneau
b
une
est
chaîne d’idéaux
chaque "morceau"
(S(Q1)-l R/(S(03B1i)-1 03B1i+1)
soit
un anneau
noethérien
(i =
0 , 1 ,
...
Q à b.
riennes de
1) .
s -
,
grand type noethérien de R
Le
Une chaîne noethérienne
C
de
à
a
est
noethérien de R
Le
est
de
R
petit type noethérien
de
premier
~,T~R~ Le
est
minimal,
un
Si tout idéal
premier
La
Si
de
R
de
On
est
un
corps,
R
nh(R)
corps,
pnh(R)
R
premier p
est
= 1.
=
R
1 .
a
TTT(R) ,
nh(R) ,
ï(R) ,
nh(R) ~ T(R) ,
p.T (R) ,
pnh(R) $
En
R
est
outre,
on
pose
r(R)==l .
~;T~R)
1 .
=
idéal de
b
R ,
R~ .
un anneau
est
est minimal
vT(R) S T(R) ,
Si
pose
’
hauteur noethérienne de
petite
R
un
corps,
idéal maximal de
~ ~ o ~ ’ n
La hauteur noethérienne de
est
on
idéal maximal de
La hauteur noethérienne de l’idéal
R
un
1 .
corps,
;
est
est
R
petit type noethérien premier
Si
premiè re lorsque
est
R
~ ~ ~ , ~~
est
R
T* (R) ==
idéal
Si R
de
Si
un
03C4(R) = sup ~b{03C4p,b} .
type noethérien premier
Si tout idéal
Le
est dite
b
est
premiers. Si 03B1 = p
premier, p ~ b , soit T .
longueurs des chaînes noethériennes premières de p à b . Le type
sont des idéaux
l’infimum des
l’infimum des longueurs des chaînes noethé-
Soit ï’ .
a.b
intègre,
alors
est
idéal premier de
R) .
1 .
de
R,.~~
0 , est
T, ’ o .
PROPOSITION 1. - Si
alors
T ,
s .
a~~
-201420142014
En
03B1 ~
b
sont de s idéaux (le
particulier, si
"201420142014201420142014201420142014
Le théorème de Heinzer et Ohm
PROPOSITION 2. - Soit 03BB
peut aussi être égal
équivalentes
E
à
a == t? y
2014
alors
2014201420142014
peut être exprime
{ nh ,
ou
R ,
nb , 03C4 , T ,
Pour chaque
03C4’a,b
T ,
==
-
~,b
, T;
--
comme
suit :
r’ ) ,
et si
X
E
si p
donc
s ;
R
est
(R) .
intègre ,
les conditions suivantes
X
sont
noethérien,
1°
R
est
2°
R
satisfait
(FA) et x(R) == 1 .
Supposons que tout idéal premier non nul de R soit maximal.
(comme dans la proposition précédente), les conditions suivantes sont
PROPOSITION 3. Pour tout
X
équivalentes :
noethérien,
1°
R
est
2°
R
satisfait
Un
(FA) et X(R)
~o .
anneau
R
est dit méta-noethérien
co .
R
est f aiblement méta-noethérien s’il satisfait
nh(R)
Les
noethériens sont
anneaux
thérienne
1 ,
ou
lorsqu’il
précisément
les
satisfait la condition
anneaux
faiblement méta-noethériens de
petite
(FA)
et
(FA)
et
~nh(R)
noethériens de hauteur
hauteur noethérienne
noe-
1 .
3. Comportement des types et hauteurs noehériennes.
indiquerons le comportement des types et hauteurs noethériennes,
par rapport à plusieurs opérations algébriques sur les anneaux. Explicitement, nous
considérerons les opérateurs de passage à l’anneau quotient R .~..~. R/c
R , la lacalisation R -4 T" R = R’ , le produit cartésien fini
-~
R. x R~ .
Soit A un symbole ,
Maintenant
nous
=
~R ~ R2)
Si
nous
~~R~ ~~R~ ,
disons que
X
respectivement
a un
bon
X(R* ) ~ X (R) ~ respectivement
comportement par rapport à l’opération considérée.
le comportement est excellent.
Si
R ) = sup(B(R ) , X(R~))
Le tableau suivant résume
nes :
plusieurs propriétés des types et hauteurs noethérien-
j
R
03C4’
Bon
Bon
Bon
ï
Bon
Bon
Excellent
)
Bon
03C003C4!
Bon
~
)
)
!
i
nh
!
nh
!
-
Excellent
Bon
!
,
-
-
Bon
-
-
.
_
!
Excellent
~
Excellent
Excellent
propriété (SFA) ,
satisfont la
R , R
Excellent
i
Bon
outre, si
R2
R ~ R
LLï
En
(R1 , R2) ~ R1
R’
03BB
alors
c’est-à-dire le comportement est excellent.
Nous
types
verrons
des conditions suffisantes pour que le
plus tard
et hauteurs noethériennes soit
Pour les
de
anneaux
valuation,
PROPOSITION 4. - Soit
équivalentes :
03BB(R) = n (où
yành ) .
4o Anneaux
R
un
on
toujours
est
le résultat suivant.
a
de valuation. Les conditions suivantes sont
anneau
quelconque
un
des
plusieurs résultats, qui mettent
thériennes.
a
p,03B1)
longueur
V
Vr111~lV1~11~1
T ,
nh ,
03C4 , 03C003C4 , 03C003C4 ,
en
rapport
savoir
r
p,o
201420142014201420142014
m , et tout
R
idéal
est
premières
minimales
on
considère la
de p
à
et
propriété :
ont la même
).
équiforme lorsqu’ il
a , ïn ~ 0 .
pour tout idéal
les
de travail
étant premier,
Deux chaînes noethériennes
(à
permettront de déduire
différents types et hauteurs noe-
hypothèses
sont des idéaux de
On dit que
~E ~
T’ ,
symboles
si, et seulement si,
n
équiformes.
Nous allons introduire maintenant des
tE
des
bon.
la valuation est discrète de hauteur
X
comportement
R
est fortement
premier p ,
équiforme lorsqu 11 satisfait
hauteur fortement équiforme lorsqu’il
(E
satisfait
~
pour tout idéal maximal
satisfait
équiforme lorsqu’il
et tout idéal
o ~ b 13
a .
R
a
hauteur
pour tout idéal maximal n . Enfin,
satisfait
(E
p,0)
R
a
pour tout idéal premier
p.
Tout
Si
anneau
R
de valuat ion est fortement
est fortement
équiforme.
équiforme ( ou équiforme)
tout
anneau
quotient
R
=
R/c
a
la
propriété.
même
e st fortement
R
si
R’
fractions
neau de
ont
Si
une
équiforme (ou
T-1
=
PROPOSITION 5. - Si
même,
on
quelconques p :D
Si
est
R
le tableau
R
Si
a
équiforme, et si tout
nh(R) . Si R
nï(R)
oo ,
hauteur
équiforme
T(R)
et
(E
alors
alors
w ,
pour des idéaux
) ’n’ï(R) .
premiers
=
-nï(R)
et si
oo ,
nh(R)
hauteur
a
et
(E
satisfait
~TTT(R~ ) .
L’idéal
on
alors
03 ,
sur
premier p
de
q , idéaux
R
=
T"~
a
hau-
R .
Si
Si R
et si
R
oo ,
spectre.
est
R
alors
finie,
R~
R,
premiers quelconques,
la condition des chaînes
premiers de R satisfait
a spectre noethérien.
R
de
dans
hauteur fortement
03C4(R’) 03C4(R)
alors
le
a
indiqués
et si tout idéal maximal de
partie multiplicative
~ ,
R
hauteur noethérienne
T
) pour p ~
dit que
R/c . Si
~nh(R) .: pnh(R) .
Si la famille des idéaux
cendantes,
a
=
alors
T(R)
5. Conditions maximales
R
R,
équiforme,
une
les résultats
peut compléter
idéal premier de ?
PROPOSITION 9. - Soit
équiforme,
on
idéal de
un
c
noethériennfinie,
alors
équiforme
semble être essentielle à la démonstration.
hypothèses d’équiformité,
du §3 :
PROPOSITION 8. - Soit
est
un anneau
nh(R) .
Sous des
teur
propriété.
satisfait la condition
R
q , et si
PROPOSITION 7. =
1 ’ an-
démontre la proposition suivante.
PROPOSITION 6. -
pnh(R)
la même
a
équiforme),
hauteur fortement
a
propriété.
L’hypothèse d’équiformité
De
R
quatre propriétés d’équiformité définies ci-dessus,
des
la même
alors
R
si
un
premier noethérien lorsque l’anneau
as-
est
R
P
noethérien.
PROPOSITION 10. - Soient
un
R
premier noethérien maximal
proposition permet
noethérien,
pourvu
qu’il
de
anneau
R ,
r(R/q) ==
seul idéal maximal, alors
Cette
un
en
équiforme,
alors
n -
et
T~R~ q~
T~R~ n -
n .
1 . Si
en
Si
a~
0
R
plus
est
a
un
1 .
de faire des raisonnements par induction
sur
le
type
existe suffisamment d’idéaux premiers noethériens. Ceci
exprimé
est
PROPRIÉTÉ
premier
q
suivantes d’un
propriétés
par les
Si p
est
un
0
et
tel
idéal premier
est
q
R :
anneau
non
R, il existe
nul de
idéal
un
idéal premier noethérien maximal de
un
R .
PROPRIÉTÉ
RELATIVE
l’idéal 03B1 ,
ment
parmi
ximal
ceux
est
il existe
T(R)
R
n , alors :
R
a
spectre noethérien,
2° Si
R
1°
PROPOSITION 12. - Soit
tel que p ~
q ~
a , et ma-
un anneau
hauteur est
sa
fortement
(RNNP).
équiforme
satisfaisant
et
Si, pour tout idéal maximal m , l’espace vectoriel R
rn
dimension finie sur
alors toute chaîne strictement décroissante
tel que
a
T(R)
R
contenant propre-
satisfaisant la condition
équiforme,
seul idéal maximal m , alors
a un
R
R
est noethérien.
un anneau
=
de
premier q
lesquels
pour
PROPOSITION 11. - Soit
Si
idéal
un
idéal premier de
un
oo .
d’idéaux premiers de
Les
(FA),
propriétés
Si
R
satisfait
m2
est f inie ,
R
PROPOSITION 1,3, - Soit
a .
M
R
et
(SFA)
un anneau
(RMNP) et (FA) ,
sont
tel
en
rapport
comme
suit :
pour tout idéal
que
alors il satisfait
(SFA).
6. Anne aux de polynômes.
Notons d’abord les faits suivants.
1° Soit ~
a .
~
Si
idéal premier de
un
/R
R
P 9
2°
est
sont des idéaux de
Q
noethérien,
3°
Soit ~
noethérien,
est
a
alors
R
P
un
R~X~] et V
/R
R
== ~ , soit Q
alors
’~
R , ~
T
a[X]
idéal de
R ,
est aussi noethérien.
un
idéal premier, si
est aussi noethérien.
a
P
idéal premier
n
de
RJ[X ~ , ~
ri
R
=
p ~
et considérons les
chaînes
(l) p :3 p :3 ... -D ~ ~ (~ ,
(2) ~ ~
...
~
( l) est une chaîne noethérienne première, alors (2) l’est aussi. Si 03B2
si (2) est une chaîne noethérienne première, alors (1) l’est aussi. Dans
Si
et
( 1)
est
une
également
chaîne noethérienne
pour
(2).
première
minimale
si,
et seulement
si,
=
ce
p[X]
cas,
c’est vrai
Rappelons qu’un idéal premier p
est de la forme p
TR n R ,
=
appelé
de Hilbert...Jacobson
anneau
utile d’introduire les
03B303C0 3C4(R) = sup{03C4 ~ta
Etant donné que
TI ,
tions
la
a
type
;
est
est
un
idéal maximal de
un
Un
anneau
est
tout idéal de Goldman est maximal. Il est
lorsque
R,
R :
anneau
idéal
q
de
image homomorphe
premier p ~ q} ,
si 03BB
alors
T , ~,T ,
Pour
est
une
des fonc-
l’inégalité opposée,
on
proposition suivante.
Rappelons que
anneau de Seidenberg lorsqu’il satisfait le propriété
sont des idéaux premiers successifs de R, si D est un
est
R
suivante :
q
idéal premier de
est
R
est
et hauteur de Goldman d’un
une
idéal de Goldman lorsqu’il
R
idéal de Goldman de
p
R
appelé
de
Il est
tel que D
un anneau
fiée pour
fortement de
paire quelconque
une
que tout
connu
montrons le résultat
propriété (FA),
ce
qui
n
~~X~ f
et
R = q
Seidenberg lorsque
de
d’idéaux p ~ q
noethérien est
anneau
un
alors Q
propriété
la
=
ci-dessus est
R.
anneau
de
~7~.
Seidenberg
Nous
ci.-après.
PROPOSITION 15. - Si
En
un
alors
concerne
est
R
est
R
un
anneau
l’inégalité
nh(R)
que T(R)
Seidenberg.
tel
un anneau
de
s
nous
satisfait la
R
et
montrons
un nouveau
ré-
sultat.
PROPOSITION 16. - Si
a
hauteur fortement
R
est
équiforme
un
et
anneau
nh(p)
fortement de
~
(pour
Seidenberg,
tout idéal
ou
bien si
premier p
de
R[X]
R),
alors
L’étude des
et
présentera
anneaux
équiformes,
certainement
de
Seidenberg
et
analogues, n’est
pas
commencée,
d’importantes difficultés.
BIBLIOGRAPHIE
[1]
ARNOLD
(J. T.). -
On the dimension
Thesis, Florida State University
[2]
ARNOLD
(J. T.)
therian,
and BREWER
J. Math. Kyoto
-
theory of overrings of
in Tallahassee, 1967.
an
(J. W.). - Commutative rings which
Univ., t. 11, 1971, p. 45-49.
integral domain,
are
locally
noe-
[3]
HEINZER (W.).
p. 573-578.
[4]
HEINZER (W.) and OHM (J.). - Locally noetherian commutative rings, Trans. Amer.
math. Soc., t. 158, 1971, p. 273-284.
A note
on
rings with noetherian spectrum, Duke math. J., t. 38,
16-09
[5]
HEINZER (W.) and OHM (J.). - On the noetherian-like rings of E. G. Evans,
Proc. Amer. math. Soc., t. 34, 1972, p. 73-74.
[6]
JAFFARD
(P.). -
Théorie de la dimension des
Gauthier-Villars, 1960
[7] KAPLANSKY (I.). [8] RIBENBOIM (P.). -
(Mémorial
de polynômes. - Paris,
mathématiques, 146).
anneaux
des Sciences
rings. - Boston, Allyn and Bacon, 1970.
Théorie des valuations. - Montréal, Presses de l’Université
de Montréal, 1964 (Séminaire de Mathématiques supérieures, 9).
Commutative
(Texte
Paulo RIBENBOIM
Department of Hathematics
Queen’s University
KINGSTON, Ont. (Canada)
reçu le 4
juin
1974)