Commande adaptative des machines à courant alternatif

Commande adaptative des machines à courant alternatif
Plan du cours
• Introduction
• Commande adaptative avec modèle de référence
• Adaptation paramétrique par utilisation de sorties auxiliaires
• Commande par mode de glissement
Contrôle et commande des actionneurs électriques - durée 2h - G. Clerc
1
Commande adaptative des machines à courant alternatif
Introduction
Perturbations
Erreurs
d'observation
saturation
Variations paramétriques
Résistances
Mutuelles
Moteur
Commande Robuste
Linéarisation
autour du
point de
fonctionnement
Contrôle adaptatif
Deux approches complémentaires :
Commande robuste :
Le régulateur est conçu pour être le moins sensible possible à son environnement : régulateur H
infinie, µ-synthèseð perte de performances.
Contrôle adaptatif :
Le régulateur s'adapte à son environnement.
2
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Définition (I.D. LANDEAU) :
La commande adaptative est un ensemble de techniques utilisées pour l'ajustement en ligne et en
temps réel des régulateurs de boucle de commande de manière à réaliser ou à maintenir un certain
niveau de performances quand les paramètres du procédé à commander varient dans le temps ou
sont inconnus.
Que peut faire un système adaptatif ?
1. Ajustement automatique des régulateurs : diminue le temps de configuration et améliore les
performances
2. Détermination des paramètres optimaux en fonction du point de fonctionnement (vitesse,
couple résistant ...)
3. Mise en oeuvre de régulateurs plus performants mais aussi plus complexes.
4. Maintien des performances du système de commande lorsque les caractéristiques du procédé
changent.
5. Détection de défauts par la mise en évidence de variations anormales des caractéristiques des
procédés
6. Utilisation conjointe avec les nouveaux procédés de commande (contrôle vectorielle ...) pour
améliorer leurs performances et leur robustesse.
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Principes de base
Paramètres du processsus
Calcul
du régulateur
Régulateur autoajustable
Estimation
Paramètres
du régulateur
uc
Régulateur
u
Processus
y
Calcul
du régulateur
Commande adaptative
avec modèle de
référence
uc
Paramètres
du régulateur
+
Régulateur
y
Processus
+
-
em
Modèle de référence
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ym
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Commande adaptative directe ou indirecte
Dans un schéma de commande adaptative directe, les paramètres du régulateur sont ajustés en
une seule étape.
Dans un schéma de commande adaptative indirecte, l'adaptation des paramètres se fait en deux
étapes :
• Estimation des paramètres du procédé
‚ Calcul des paramètres du régulateur à partir des paramètres estimés
Propriétés
Les lois d'ajustement rendent les commandes adaptatives non linéaires ðcalcul de stabilité,
commande non linéaire
Deux classes de problèmes :
•Auto-ajustement des paramètres : les paramètres sont fixes mais inconnus
‚Adaptation des paramètres : les paramètres changent
La commande adaptative peut être réalisée dans un environnement déterministe ou dans un
environnement stochastique. Dans ce cas , on ajouter au modèle de processus, un modèle de
perturbation.
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5
Commande adaptative des machines à courant alternatif
Commande adaptative avec modèle de référence
Principe
Modéle
ym
Paramètres
du régulateur
uc
Mécanisme
d'ajustement
y
u
Régulateur
Processus
Les performances du système sont transcrites dans le modèle.
Les paramètres du régulateur sont ajustés en fonction de l'erreur entre le modèle et le processus.
Une boucle interne fournit la régulation classique. Une boucle externe fournit le mécanisme
d'ajustement paramétrique de la boucle interne. La boucle interne est supposée plus rapide que la
boucle externe.
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6
Commande adaptative des machines à courant alternatif
Trois méthodes sont utilisées pour effecteur l'analyse et la synthèse des commandes adaptatives à
modèle de référence ou MRAS :
1- Méthode du gradient
2- Utilisation des fonctions de Lyapunov : stabilité des systèmes non linéaires
3- Utilisation de la théorie de la passivité et utilisation de l'erreur augmentée.
Nous développerons essentiellement les commandes directes .
Méthode du gradiant
Les paramètres du régulateur sont ajustés de manière à minimiser l'erreur entre le processus et
le modèle de référence. Soit e cette erreur et θ les paramètres du régulateur.
1
Soit J un critère d'erreur. Par exemple J(θ) = 2e2 (on pourrait aussi choisir J(θ)=|e|).
La loi de variation de θ (règle du MIT) est donnée par :
∂e
e
1
dθ
∂J
∂e
dθ
∂θ
ÄSi J(θ) = 2e2 alors
=−γ
=−γe
ou
= −γ
∂e ∂e
dt
∂θ
∂θ
dt
α + ( )T
∂θ ∂θ
(meilleur stabilité) avec α>0 pour éviter une possible division par 0
ÄSi J(θ)=|e| alors d θ = − γ ∂ e sign( e)
dt
∂θ
7
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Synthèse par les théories sur la stabilité : Méthode Lyapunov
x2
°
Stabilité au sens de Lyapunov
x
L'équilibre est stable si on peut trouver une
fonction de l'espace d'état telle que ses
isovaleurs entourent l'équilibre et que les
x=0
dérivées des variables d'état pointent
toujours vers l'intérieur.
V(x)=Cste
dx
Soit
= f ( x , t ) et f ( o, t ) = 0 pour tout t .
dt
Le point d'équilibre est supposé à l'origine.
Théorème
x1
Soit une fonction V de Rn+1 dans R telle que :
1. V(0,t)=0 pour tout t de R
2. V est différentiable en x et en t
3. V est définie positive c'est à dire
V(x,t) ≥ g(||x||) > 0 pour g de R dans R continue croissante avec lim x→∞ g ( x ) = ∞
Une
condition
suffisante
de
stabilité
asymptotique
est
donnée
dV
∂V
= f T ( x , t ) gradV +
< 0 pour x ≠ 0
dt
∂T
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par
8
:
Commande adaptative des machines à courant alternatif
Utilisation de la notion d ’hyperstabilité
Considérons le système mono-entrée / mono-sortie :
+
0
Système linéaire
u
B
-
y
+
-
dx
dt
C
x
A
y
nl
Il est décrit par les équations suivantes :
dx
y
= Ax + Bu
dt
Pnl
u
nl
Partie non linéaire
= Cx
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
A, B et C ont des coefficients réels. La fonction de transfert du bloc linéaire est donnée par :
F(s)= C(s[I]-A)-1B
Le système décrit par la figure précédante est stable si :
• la fonction de transfert F représentant la partie linéaire est une fonction réelle strictement
positive,
• la partie non linéaire satisfait à l’inégalité :
Il existe une constante δ indépendante de t telle que
t
2
y
u
d
τ
≥
−
δ
pour tout t positif avec ynl
nl
nl
∫
0
sortie de la partie non linéaire et unl entrée de la partie non linéaire.
Ce théorème peut être étendu aux systèmes multi-entrées multi-sorties. Celui-ci est
asymptotiquement hyperstable si :
• la matrice de transfert de la partie linéaire est réelle strictement positive,
• il existe une constante δ indépendante de t telle que
t
∫ ynl
T
unl dτ ≥ −δ 2 pour tout t positif où unl
0
et ynl désignent respectivement l’entrée et la sortie de la partie non linéaire (vecteurs de même
dimension).
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Principe de la méthode
Le modèle est donné par les équations suivantes :
dX m
= Am X m + BmW et Ym = C. X m.
dt
dX
= A X + BU et Y = C. X .
dt
Am est une matrice stable. Xm et X sont deux vecteurs de dimension n. U et W sont deux
scalaires. Y et Ym sont deux vecteurs de dimension q.
Notons eX = Xm-X l’erreur sur l’état et eY = Ym-Y, celle sur la sortie.
Le système est décrit par :
On détermine une loi d’adaptation non linéaire rendant le système
de X
= f (e X , t )
dt
asymptotiquement hyperstable.
La commande U est la somme d’une composante linéaire uL et d’une composante non linéaire uNL
compensant l’influence des variations de paramètres.
u L = K X X m + Ke eY + KwW
u NL = ∆K X ( v , t ) X m + ∆Ke ( v , t ) eY + ∆K w ( v , t )W
avec v = D.e Y = D.C.eX = H.e x et D est une matrice de gain de dimension 1 x q.
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Les correcteurs Kx, Ke, Kw (matrices à coefficients constants) sont calculés à partir du système
nominal.
En l’absence de variation de paramètres (et pour uNL = 0), l’erreur d’état est donnée par :
de X
= ( A − BK e C )e + ( Am − A − BK x ) X m + ( Bm − BK w )W
dt
En choisissant :
• Ke tel que A - BKeC soit une matrice de Hurwitz (ses valeurs propres sont à partie réelle
négative)
•
( )
= ( B B)
Kx = B T B
−1
B( Am − A)
−1
T
BBm
• Kw
L’erreur eX converge asymptotiquement vers 0. Mais les paramètres peuvent varier. Le système
corrigé s’écarte alors du modèle. On rajoute le terme uNL pour compenser l’influence de cette
dérive sur les paramètres.
Dans ce cas, l’erreur sur l’état vérifie :
de X
= ( A − BK e C )e + B∆u
dt
−1
−1
T
T
avec ∆u = B B B( Am − A) − K X − ∆K X X m − ∆K e eY + B B BBm − K w − ∆K w W
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[(
)
]
[(
)
]
Commande adaptative des machines à courant alternatif
D’après le théorème qui précède, le système précédemment défini
asymptotiquement hyperstable si :
−1
• la matrice de transfert H ( s[ I ] − A + BKe C ) B est réelle strictement positive,
• la partie non linéaire vérifie :
est
t
T
∆
u
vdτ ≥ −δ 2
(
)
∫
0
L’inégalité précédente est satisfaite en adoptant une loi d’adaptation proportionnelle intégrale du
type :
t
∆K x = ∫ L1v(Q1 X m ) dτ + L2 v (Q2 X m ) + ∆K X (v (0),0)
T
T
0
∆K e = ∫ M 1v(R1e y )T dτ + M 2v(R2eY )T + ∆Ke (v(0),0)
t
0
t
∆K e = ∫ N1v (S1W ) dτ + N 2v ( S2W ) + ∆K w (v (0),0)
T
T
0
avec Li, Mi, Ni des réels positifs non nuls, Si des réels, Qi des matrices réelles de dimension nxn,
Ri des matrices de dimension qxq.
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Application
Xm
Ω
Modèle de référence
ref
+
K Ω
Ω ref
KΩ
+
+
K ee + K
x
X
*
iqs
+
-
+
+
∆u
1
∆u =∆ K Ω
Ω ref
1
+
∆u 2
∆u = ∆ K xX
2
X
Commande
Vectorielle
e
-
MAS
Kx
Loi de commande
adaptative
v
H
Ke
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
 Tem 
 Te 
Le vecteur d’état du système est : X =   et celui du modèle est X m = 
.
Ω
Ω
 r
 rm 
dX m
Celui-ci vérifie l’équation différentielle :
= Am X m + B m U .
dt
de
On considère l’erreur sur l’état e=X m - X. On a
= Am e + Pnl ( X , X m , e ) .
dt
La consigne de courant iqs* est donnée par la loi : iqs * = K Ω Ω ref − K x X + Ke e + ∆u
avec ∆u = ∆u1 + ∆u2 = ∆K x (v, t ) X + ∆KΩ (v, t )Ω ref .
Les entrées du système non-linéaire sont les grandeurs v et Ωref. La sortie est ∆u. Les éléments
de la partie linéaire (ensemble convertisseur/machine + commande vectorielle + contre-réaction
linéaire) sont choisis de manière à répondre aux conditions d’hyperstabilité. La commande ∆u
est alors calculée pour satisfaire l’inégalité
t
T
2
(
∆
u
)
vd
τ
≥
−
δ
∫
0
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Il convient de chercher les gains telle que l’inégalité de Popov soit vérifiée. [Fu 91] propose une
loi de commande de la forme :
H=[p1,p2]
t
∆K x = ∫ F1v (GX ) dτ + F2v (GX )
T
T
0
∆K Ω = ∫ M 1v(NΩ ref
t
) dτ + M v(NΩ )
T
T
2
ref
0
F1, F 2, M1, M2 sont des constantes positives, N=1 et G2x2 est une matrice diagonale positive.
Kx et KΩ sont des constantes déterminées à partir des paramètres nominaux de la machine et des
performances désirées.
Cette commande donne de bons résultats mais elle est complexe à mettre en oeuvre. Elle ne peut
être utilisée que sur des machines dont les paramètres varient lentement.
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Exemple
Te*
Commande
Ψ* Vectorielle
r Indirecte
i*d
i*a
Transformation i*b
i*q
3/2
i*
c
M.L.I.
Vectorielle
T+1
T+2
T+3
T -1
T -2
T -3
Convertisseur
DC/AC
MAS
ωe
ω
sl +
ω
+
p
m
θr
Ωr*
Codeur
P osition
filtrée
F(s)
Commande adaptative
e
Te*=K Ω +K Ω*r +K 3 e
1 ref
2 filtrée
Ω
+ + rm
M o dè le de ré fé re nc e
s
Ω
ref
K
Js+K
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
On propose, ici, une commande adaptative avec modèle de référence dans le cadre de la
commande vectorielle indirecte d’une machine asynchrone alimentée en courant avec orientation
du flux rotorique sur l’axe d du repère dq0 lié au champ tournant.
Les entrées de commande sont le flux et le couple. La variable de sortie régulée est la vitesse.
La consigne de vitesse est envoyée simultanément sur un modèle de référence du premier ordre et
sur la commande adaptative. Ses paramètres sont adaptés à partir de l’erreur de vitesse.
Le filtre passe-bas F(s) du second ordre permet l’atténuation du bruit de mesure sur le capteur de
position.
L’adaptation des gains Ki suit les lois de commande suivantes :
t

 K1 (t ) = K10 + K11Ω ref + K12 ∫ Ω ref dt
Les coefficients Kij sont calculés en utilisant
0

la méthode précédente.
t

 K 2 (t ) = K 20 + K 21Ω rfiltrée + K 22 ∫ Ω r filtrée dt
0

t

 K3 (t ) = K30 + K31e + K 32 e.dt
∫0

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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Adaptation paramétrique par utilisation de sorties auxiliaires
Souvent, l’adaptation d’un coefficient variable se fait par l’intermédiaire d’une boucle de
régulation portant sur une sortie auxiliaire accessible par la mesure et sensible à ces variations.
Cette grandeur est calculée d’une part en fonction des consignes (flux, glissement...) et d’autre
part en fonction de la mesure des courants, des tensions et de la vitesse de rotation. L’erreur
fonction estimée / fonction mesurée permet l’adaptation du paramètre.
Consignes
Calcul
Vitesse de
rotation mécanique
-
Courants
Tensions
Vitesse de
rotation mécanique
Paramètre
nominal
F2
F1
+
F0
1
sT
+
+
Paramètre
corrigé
Mesure
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
GARCES en 1980 propose une adaptation de la constante de temps rotorique Tr dans le cadre
d’une commande vectorielle indirecte d’une machine asynchrone alimentée en courant.
Dans un repère dq quelconque (ω 1 =
dθ s
désigne la vitesse de ce repère par rapport au stator et
dt
dθ sl
désigne sa vitesse par rapport au rotor), il introduit une fonction liée à la puissance
dt
réactive (Q=vdsiqs-vqsids) obtenue par des mesures :
ω2 =
 
diqs  

di 
ids  + σLsω1 ids 2 + iqs 2
F0 =   v ds − σLs ds iqs −  v qs − σ Ls
dt 
dt  
 

(
Qui peut aussi s ’écrire
Lm
F0 =
Lr



)
Eq6
 dψ dr
dψ qr 



iqs −
ids  − ω1 (ψ dr ids +ψ qr iqs )

dt

 dt

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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Cette dernière expression peut être simplifiée en fonction de la commande.
Lorsque le flux rotorique est orienté sur l’axe q d’un repère lié au flux rotorique, on a :
ψ qr = cste, ψ dr = 0 et ω 1 = ω 2 + pΩ
et, donc, la fonction F0 devient :
( )
L
1 * * 2
*
Eq7
F2 = − ω 1 ψ qr = − m ψ *qr i qs
ω 1*
Lr
Lr
En régime permanent et compte tenu de l’orientation de flux, on montre que :
lim t→+∞ ∆F0 =
( )
2
ω *1 ω *2
( )
ψ *qr
Lr
2
∆ Tr
(T
r
+ Tr*
)
1 + (ω 2 Tr )
2
où x* représente une consigne
∆F donne donc une image de la variation de constante de temps rotorique et peut être utilisée
pour réaliser une adaptation de ce paramètre.
D’une part, F0 est calculée dans un repère lié au flux rotorique en fonction des consignes ω *2 , ψ *r
données par la commande vectorielle et de la vitesse de rotation Ω à partir de l’équation Eq7, on
obtient alors F2.
D’autre part, F0 est évaluée dans un repère lié au stator en fonction de uas, ias,ubs, ibs et Ω à partir
de l’équation Eq6 . On le note F1.
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Commande par mode de glissement
La commande par mode de glissement est une méthode de réglage dans laquelle la structure est
commutée de manière à ce que le vecteur d’état X suive une trajectoire S(X)=0 dans l’espace
d’état.
Les commandes par mode de glissement sont robustes. Elles s’adaptent aux changements des
paramètres du procédé. Mais elles sollicitent fortement l’organe de commande. Les fréquences de
commutation sont d'environ 10 à 20 kHz pour des puissances de quelques kW.
Le réglage peut se faire par une commande de type relais umin/umax ou par changement de la
contre-réaction d’état
Commutation de type relais
umax
umin
Procédé
S(X)
u=umax si S(X)>0 et u=umin si S(X)<0
Commutation de la contre-réaction d’état
u
y
Procédé
y
-kT1
-kT2
S(X)
u=-k1T.X si S(X)>0 ou u=-k2T.X si S(X)<0
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Calcul des lois de commande
La représentation d’état du système est donnée par :
 dX c
= Ac . X c + Bc .U + Bcp p

où p désigne les perturbations injectées sur le système.
 dt
Y = C T X
 c
c
c
Considérons le cas d’une loi de commutation du type proportionnel :
S ( X c ) = −k cT X c + k w w
avec Xc vecteur d’état et w consigne
La loi de commande impose :
u=umin si S(Xc)<0 et u=umax si S(Xc)>0
u oscille continûment entre ces deux valeurs avec une fréquence de commutation qui tend vers
l’infini. Dans ce cas, le vecteur d’état reste sur la trajectoire : S(Xc )=0
dX c
)<0
Il y a contrôle par mode de glissement si : S ( X c ) S (
dt
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
x
S(X)>0
1
u = u min
eq
u
u
=u
min
=u
max
S( X) <0
Trajectoire avec loi
proportionnelle
S(X)>0
x
2
S(X)<0
ueq = u max
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Pour éliminer l’erreur statique, un intégrateur peut être rajouté dans la loi de commande.
w
p
C
u
y
Procédé
X
c
T
kc
-
+
ki
Xi
+
kw
-
1
Ti s
+
w
.
S(X )
c
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Un nouveau système sous forme d’état et de dimension augmentée est alors défini avec
X 
X =  c  avec Xi grandeur associée à l’intégrateur.
 Xi 
Il est modélisé par :
dX
= A. X + B.U + B2 p . p + B2 w . w
dt
0
 Ac
0
Bc 
Bcp 


1
T
T
1
, B =


avec A =  1 T
,
,
,
et
désigne
B
=
B
=
C
=
C
0
2w
2p
0
 0 
c
0
− C c
T


 
 
i
 Ti 
 Ti

la constante d’intégration.
[
]
La fonction de commutation s’écrit :
S ( X ) = − k T X + k w w avec X vecteur d’état augmenté, k=[kc -ki]et w consigne.
En écrivant S(X)=0 et
dS
= 0 et en reportant dans les équations d’état du système augmenté
dt
(A, B, C), il vient :
dw
dt
kTB
kTB
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ueq = −
1
k T ( A. X + B2 p p + B2 w w) +
1
kw
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Il y a mode de glissement lorsque umin<ueq<umax .
La trajectoire peut être définie par morceaux et faire appel à des fonctions polynômiales non
linéaires (voir l’exemple)
Dans le cas d’une loi de commutation de type proportionnel avec intégrateur, le système corrigé
par mode de glissement a pour matrice d’état Agl (il suffit de reporter ueq dans l’équation d’état) :
1


Agl = 1 − T Bk T  A
 k B

Cette matrice possède une valeur propre nulle. Elle est singulière.
Pour déterminer le correcteur kc, la méthode consiste à rechercher la forme canonique de
commandabilité de cette matrice, à effectuer un placement de pôle (voir chapitre 14.3.3) et à
revenir dans la base initiale. Un des pôles devra être choisi nul, la matrice Agl étant singulière.
Le gain kw peut être évalué de manière à annuler l’erreur statique en l’absence d’intégrateur. En
présence d’intégrateur, il est évalué cas par cas.
Contrôle et commande des actionneurs électriques - durée 2h - G. Clerc
27
Commande adaptative des machines à courant alternatif
Enfin, il faut définir un domaine restreint pour lequel le glissement persiste jusqu’au point de
fonctionnement en régime stationnaire (l’origine en général). Pour qu’il y ait persistance, il faut
que sur les limites du domaine de glissement, il y ait :
dueq

u
=
u
⇒
<0
 eq
max
dt

u = u ⇒ dueq > 0
min
 eq
dt
de manière à ce que les trajectoires soient rentrantes et ne s’échappent pas du domaine.
Contrôle et commande des actionneurs électriques - durée 2h - G. Clerc
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
Exemple
Il s ’agit du contrôle de position d ’une machine asynchrone alimentée en courant.
 X1 
Deux variables d’état ont été retenues soit X =   avec :
X2 
• l’erreur de position X 1 = ∆θ
dθ
• la vitesse X 2 = Ω =
dt
Dans un repère lié au champ tournant, une commande vectorielle est réalisée. Dans ce contexte,
ids* fixe le flux et iqs * le couple. ci permet d’éliminer l’erreur statique due aux frottements secs et
à la charge. Il vaut 0 si i=1 ou 2 et c si i vaut 3
La commande est donnée par :


 a +b a −b

 ci .signe( Si ( X )) + 
+
signe(S i ( X ).X 1 )  X 1 + 
2
 2



u = K

d +e d −e


 

+
signe( Si ( X ). X 2 )  X 2
2

 2

Contrôle et commande des actionneurs électriques - durée 2h - G. Clerc
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Commande adaptative des machines à courant alternatif
S1 ( X ) = α X 2 2 + X 1 − θ 0
avec S définie par morceau : 
 S2 ( X ) = X 2 − Ω 0
S ( X ) = β X + X
1
2
 3
où Ω0 désigne la vitesse initiale et θ0 représente la position initiale.
La trajectoire S2 doit être en deçà de la vitesse maximale et S 1 et S3 doivent être à l’intérieur de la
zone d’accélération et de décélération limite quelle que soit la variation des paramètres (inertie,
frottement, paramètres électriques).
La trajectoire de glissement est
représentée sur la figure cicontre. Elle se décompose en
une phase d’accélération, une à
vitesse constante et une phase
de décélération lorsque l’erreur
de position tend vers 0.
dθ
dt
∆θ
vitesse
erreur de position
décélération
s3 (X)=0
s2 (X)=0
vitesse constante
accélération
s (X)=0
1
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signe(S(X))
+1
c
i
-1
θref
a
+
+
θ -
I*
q
+
b
K
+
Commande
vectorielle
I*
d
Ω
M AS
Ω
d
e
Ω
-1
Intégrateur
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Fin du chapître
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