Représentation géométrique des nombres complexes. Forme

Représentation géométrique des nombres complexes.
Un plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct ( O , , ).
→
u→ v
L’image ponctuelle M du nombre complexe z = x + iy est le point M ( x , y ). z est l’affixe de M.
L’image vectorielle du nombre complexe z = x + iy est le vecteur = x+ y. z est l’affixe de .
→
W→ W→ u→ v→ W
L’axe des abscisses représente l’ensemble des réels, l’axe des ordonnées représente l’ensemble des
imaginaires purs.
En particulier, i a pour image le point de coordonnées ( 0 , 1 ).
Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Soit M le point du plan complexe, image de z = x + iy.
Le module du complexe non nul z = x + iy , noté z, est le réel positif z= 22 yx +.
z est la distance entre l’origine O du repère et le point M ( z ). ( On note parfois z sous la forme r )
L’argument de z, noté arg z , est une mesure de l’angle orienté
θ
= ( ,) en radians.
→
u→ OM
On a : x = z cos
θ
, et y = z sin
θ
.
L’écriture z = z ( cos
θ
+ i sin
θ
) est l’expression trigonométrique de z.
Egalité de deux complexes.
Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si leurs images respectives M et M’ sont
confondues.
Deux nombres complexes non nuls z et z’ sont égaux si et seulement si z='z et arg z= arg z’
[2
π
]
Somme de deux nombres complexes.
Soit M et M’ les points d’affixes z et z’ .
Soit S le point tel que = + , alors S a pour affixe z + z’.
→
OS → OM → OM'
Soit le vecteur d’affixe z et le vecteur d’affixe z’, alors + a pour affixe z + z’.
→
W→ W' → W→ W'

Produit d’un nombre complexe par un réel.
Soit M le point d’affixe z, soit k un nombre réel.
On appelle P le point défini par = k. Alors P a pour affixe kz.
→
OP → OM
Soit le vecteur d’affixe z et k un nombre réel. Alors k a pour affixe kz.
→
W→ W
Différence de deux nombres complexes.
Soit M et M’ les points d’affixes z et z’ . MM' a pour affixe z’ – z.
→
Propriétés du conjugué.
Les points images de deux complexes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Propriétés du module.
z 2 = zz 'zz =z×'z n
nzz = zzzz −==−=
zz 11 = '' z
z
z
z= Inégalité triangulaire : '' zzzz +≤+
Propriétés de l’argument.
Si
θ
est un argument de z et k un entier relatif, alors
θ
+ 2 k
π
est aussi un argument de z.
Tout argument de ( - z ) s’écrit
θ
+
π
+ 2 k
π
avec k entier relatif.
Tout argument de z s’écrit -
θ
+ 2 k
π
avec k entier relatif.
arg z z’ = arg z + arg z’ arg z n = n arg z arg z= - arg z
arg z
1= - arg z pour z
0≠arg 'z
z= arg z - arg z’ pour z’ 0
≠
Dire que z est un réel équivaut à dire que z = 0 ou arg z = k
π
avec k entier relatif.
Dire que z est un imaginaire pur équivaut à dire que z0
≠
et arg z = 2
π
+ k
π
avec k entier relatif.