Représentation géométrique des nombres complexes.
Un plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct ( O , , ).
→
u→
v
L’image ponctuelle M du nombre complexe z = x + iy est le point M ( x , y ). z est l’affixe de M.
L’image vectorielle du nombre complexe z = x + iy est le vecteur = x+ y. z est l’affixe de .
→
W→
W→
u→
v→
W
L’axe des abscisses représente l’ensemble des réels, l’axe des ordonnées représente l’ensemble des
imaginaires purs.
En particulier, i a pour image le point de coordonnées ( 0 , 1 ).
Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Soit M le point du plan complexe, image de z = x + iy.
Le module du complexe non nul z = x + iy , noté z, est le réel positif z= 22 yx +.
z est la distance entre l’origine O du repère et le point M ( z ). ( On note parfois z sous la forme r )
L’argument de z, noté arg z , est une mesure de l’angle orienté
= ( ,) en radians.
→
u→
OM
On a : x = z cos
, et y = z sin
.
L’écriture z = z ( cos
+ i sin
) est l’expression trigonométrique de z.
Egalité de deux complexes.
Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si leurs images respectives M et M’ sont
confondues.
Deux nombres complexes non nuls z et z’ sont égaux si et seulement si z='z et arg z= arg z’
[2
]
Somme de deux nombres complexes.
Soit M et M’ les points d’affixes z et z’ .
Soit S le point tel que = + , alors S a pour affixe z + z’.
→
OS →
OM →
OM'
Soit le vecteur d’affixe z et le vecteur d’affixe z’, alors + a pour affixe z + z’.
→
W→
W' →
W→
W'