DL 5 10-11 corrigé

DL DE PHYSIQUE CHIMIE N°5
CORRIGE
A- TABLE A INDUCTION ccp pc 05
A) Courants de Foucault. Effet de peau
1. Il s’agit de la loi de Lenz : le sens du courant induit est tel que par ses effets, il s’oppose aux causes qui lui donnent
naissance.
r
Supposons par exemple i1 croissant; le champ B qui lui est associé est donc croissant également. Dans l’induit, le flux
augmente donc et par conséquent, il apparaît un courant induit qui crée un champ qui d’après la loi de Lenz va limiter
l’augmentation du flux, il va donc être dans le sens des z décroissants, le courant induit, relativement au sens + choisi, va donc
être négatif. Si i1 décroît, on trouve de même que le courant induit est positif. Si le courant inducteur est sinusoïdal, le courant
induit a ainsi la même fréquence.
2.1. La formule classique de Varignon nous donne, le point O étant fixe :
r
r
v(M) = Ω(z) ∧ OM
r
r
r
r
r
r
r
r
2.2. La densité de courant est : j = nev( M ) = neΩ( z) ∧ OM = neΩ( z) u z ∧ ( xu x + yu y ) = neΩ( z)( xu y − yu x ) .
On déduit les composantes : jx = −neΩ(z) y et jy = neΩ(z) x
2.3. D’après les expressions précédentes, les 4 dérivées partielles demandées sont nulles.
r
r
3.1. Loi d’Ohm locale : j = γE
3.2. D’après l’énoncé, les équations de Maxwell s’écrivent comme dans le vide en remplaçant µ 0 par µ :
r
r
r
r ρ
r
r
r
∂B
∂E
divE = ; rotE = − ; divB = 0; rotB = µ ( j + ε 0
)
ε0
∂t
∂t
Respectivement : équations de Maxwell-Gauss (MG), de Maxwell Faraday (MF), du flux magnétique de Maxwell (Mφ), de
Maxwell Ampère (MA).
3.3. On applique l’opérateur divergence membre à membre à (MA). La divergence du rotationnel étant nulle, on obtient :
r
r ∂ρ
r
∂E
= 0 équation locale de conservation de la charge.
0 = µ (div j + ε 0 div ) , soit, avec (MG) : div j +
∂t
∂t
r ∂ρ
3.4. Appliquons la loi d’ohm locale, puis (MG) dans l’équation précédente : γdivE +
= 0 , soit :
∂t
 γ
∂ρ ρ
+ = 0 avec τ = 
∂t τ
 ε0




−1
.
La solution de cette équation est, avec la condition initiale donnée : ρ = ρ0e − t / τ avec numériquement une constante de temps
τ = 2,8.10 −17 s . ρ(t) décroît donc extrêmement rapidement vers zéro : on peut considérer la densité volumique de charge ρ
comme nulle et le conducteur comme localement neutre.
r
L’équation simplifiée de Maxwell Gauss est donc : divE = 0 .
r
r
r
∂E
3.5. On compare la densité de courant de conduction j à la densité de courant de déplacement jd = ε 0
en régime
∂t
sinusoïdal forcé. En ordre de grandeur, le rapport de leurs amplitudes est :
MP Devoir libre n°5
1
Corrigé
 ∂E 
12
j / jd = γE /  ε 0
 = γE / (ε 0 ωE ) = 1/(ωτ ) = 0,23.10 . On peut donc négliger les courants de déplacement devant les courants
 ∂t 
r
r
de conduction. L’expression simplifiée de (MA) est alors : rotB = µ j .
r
r
r
r
r
r
∂B
; divB = 0; rotB = µ j , soit, en utilisant la notation complexe :
3.6. divE = 0; rotE = −
∂t
r
r
r
r
r
r
divE = 0; rotE = −iωB; divB = 0; rotB = µ j
r
r
r
Prenons le rotationnel membre à membre de (MF) : graddivE − ∆E = −iωrotB , soit, en tenant compte de la loi d’ohm locale et
r
r
r
r
de l’équation de (MA) : − ∆ j / γ = −iωµ j : ∆ j = iωγµ j .
r
r
r
r
r
r
4. Le laplacien vectoriel de la densité de courant s’écrit : ∆ j = ∆jx u x + ∆jy u y + ∆jz u z = ∆jx u x + ∆jy u y car ∆jz = 0
De plus, d’après 2.3., le laplacien de la composante jx se limite à : ∆jx =
∂ 2 jx
∂z 2
; de même ∆j y =
∂ 2 jy
∂z 2
.
En projetant sur Ox et Oy l’équation de (MA) simplifiée et en simplifiant par ejωt, on obtient :
∂2 Jx
∂z 2
= iωµ γ J x et
∂2 Jy
∂z 2
= iωµ γ J y .
La fonction f s’exprime donc : f(ξ)=i ωµ γ ξ .
6. Les deux équations ont la même forme et correspondent à l’équation caractéristique : ξ2- iωµ γ ξ=0, dont les racines sont :
ξ=±
1+ i
2
ωµ γ .
Les amplitudes complexes Jx et Jy s’écrivent donc :
 1+ i

1+ i

 1+ i

1+ i

J x (z) = A exp −
ωµ γ z  + B exp
ωµ γ z  et J y (z) = C exp −
ωµ γ z  + D exp
ωµ γ z 
2
2


 2



 2

Où A, B, C et D sont des constantes d’intégration.
2
est homogène à une longueur; c’est une
ωµ γ
longueur caractéristique de la variation de l’amplitude des densités de courant jx et jy avec z; elle est habituellement appelée
« épaisseur de peau » ou « profondeur de pénétration ».
L’argument des exponentielles devant être sans dimension, la grandeur δ =
Elle s’écrit aussi : δ =
2
=
2πfµ 0µ r γ
503,3
1
1
.
, soit numériquement : δ ≈
.
πµ 0 fµ r γ
fµ r γ
7. a) En utilisant l’indice « a » pour amagnétique et « m » pour magnétique, on calcule :
δa=3,18mm et δm=7,61.10-2mm.
7.b) Notons L l’épaisseur de la plaque. On calcule les rapports : L/δa=3,1 et L/δm=131.
Ces rapports intervenant par une exponentielle, on peut considérer la plaque comme illimitée en z (i.e. exp(L/δ)≫1),
l’approximation étant meilleure pour le matériau magnétique.
7.c) L’amplitude de la densité de courant ne pouvant pas diverger (tendre vers l’infini quand z tend vers L), les constantes
d’intégration B et D sont nulles. On obtient les expressions simplifiées :
z
z


J x (z) = A exp − (1 + i)  et J y (z) = C exp − (1 + i) 
δ
δ





z


jx (z, t ) = ℜe(J x (z) exp(iωt ) ) = ℜeA exp − (1 + i) + iωt  : jx (z, t ) = Ae −z / δ cos(ωt − z / δ) ;
δ



De même, on obtient : j y (z, t ) = Ce − z / δ cos( ωt − z / δ) .
Le système présentant l’invariance par rotation autour de Oz, on a nécessairement A=C.
MP Devoir libre n°5
2
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r
r
La norme de j s’écrit : j( z) = j =
j2x + j2y = A 2 e − z / δ cos(ωt − z / δ) , soit, en notation J0 son amplitude en z=0 :
j(z) = J 0 e − z / δ cos(ωt − z / δ)
B) Transfert d’énergie électrique par mutuelle induction
1.1. D’après les hypothèses faites, la section de cuivre Sc est égale à la moitié de la section du fil : Sc=πr02/2 avec r0=2mm. En
notant N=20 le nombre de spires, et l =2πr la longueur d’une spire du modèle proposé, les spires étant en série, la résistance de
l’inducteur s’écrit :
R1 = N
l
2πr
= N 2 . A.N. R1=1,8.10-2Ω.
Ω
Sc
πr0 / 2
1.2. Lorsqu’on est « loin de la plaque », l’inductance mutuelle est nég
négligeable
ligeable et l’impédance de l’inducteur est :
E
2
2 2
où E=24V tension efficace d’alimentation et I=5,1A courant efficace.
Z1 = R 1 + L1ω =
I
Soit : L1 =
E2
− R 12 ω .
I2
A.N. : L1=3,0.10-5H.
2.1. La longueur de cette spire unique modélisée étant 2πr,
2 la résistance de l’induit s’écrit : R 2 =
2πr
π
=
, l’indice « m »
γ mS γ m δ m
rappelant que le métal est magnétique.
A.N. : R2=8,3.10-3Ω.
2.2. On calcule L2 à l’aide de la formule avec un rayon
r
de conduction ρ tel que la section de conduction s’écrive S=πρ
S= 2 :
ρ=
2 rδ m
.
π
A.N. : L2=2,39.10-7H
2
 R 
2.3. On calcule, à la fréquence utilisée :  2  = 0,049 = 4,9% : on peut négliger (R2)2 devant (L2 ω)2 avec une erreur
 L 2ω 
inférieure à 5%.
3.a) Le schéma électrique équivalent du système étant le suivant, les équations temporelles vérifiées par les courants
sont :
Soit, en complexe : V1 = (R 1 + iL1ω)I1 + iMωI 2 et 0 = (R 2 + iL 2 ω)I 2 + iMωI1 .
La deuxième équation nous donne le rapport des amplitudes complexes des courants : I 2 / I1 =
3.b) En remplaçant I2 dans la première équation, on obtient : V1 = (R1 + iL1ω)I1 +
d’entrée complexe : Z e = V1 / I1 = R 1 + iL1ω +
4. D’après le 2.3., I 2 / I1 ≈
MP Devoir libre n°5
−iMω
.
R 2 + iL 2 ω
M 2 ω2
I1 . On déduit l’impédance
R 2 + iL 2 ω
M 2 ω2
.
R 2 + iL 2 ω
M
= 8,38 .
L2
3
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2
2

M2  
M 2 ω 
M2 
M 2 ω 
Z e =  R 1 + R 2 2  +  L1ω −
= 2,17Ω
,
soit
un
module
Z e = R 1 + R 2 2 + i L1ω −

L 2 
L 2 
L 2  
L2


C) Influence de la nature du matériau formant la plaque
1. Comme les pertes par effet Joule s’écrivent P1=R1I12, on déduit la valeur efficace du courant maximal admissible :
P1
= 52,7 A pour des pertes maximales de 50W.
R1
I1 =
La tension efficace vaut alors : V1=ZeI1=114V.
L’intensité correspondante dans la plaque vaut : I 2 = I1 I 2 / I1 ≈ 442A .
Enfin, la puissance de chauffe correspondante est P2=R2I22=1621W.
2. L’intensité efficace dans l’inducteur est toujours la même car la puissance est toujours limitée à 50W.
Pour l’intensité efficace dans la plaque, I2, on se sert du nouveau rapport entre les courants efficaces : I 2 = I1 I 2 / I1 ≈ 870A .
La nouvelle puissance de chauffe correspondante est P2=R2I22=757W : elle est réduite d’un peu plus de la moitié.
3. Cette fois, c’est la valeur efficace de la tension d’alimentation qui est imposée. La nouvelle valeur du courant efficace
dans l’inducteur se calcule avec la valeur donnée de Ze : I1=V1/Ze=196A, ce qui correspond à des pertes par effet Joule
dans l’inducteur : P1= R1I12=691W : nettement supérieures à 50W : il y a risque d’échauffement excessif de l’inducteur.
Pour éviter tout accident de ce type, on doit inclure un coupe-circuit de sécurité dans le circuit inducteur, commandé par
un thermocouple situé proche de la surface de la plaque à induction.
B- Etude d’un téléobjectif enstim 09
1. L'objet est situé à une distance de l'objectif très supérieure à sa focale. On peut donc considérer
qu'il est à l'infini. Son image se forme alors dans le plan focal image de l'objectif. La distance D
entre la lentille et la pellicule doit donc être égale à f.
2.
3. On applique Thalès : h1 =
f'
h = 8,1mm .
d
4. Compte tenu du calcul précédent, la taille de l’image augmente si la focale augmente d'où l'intérêt d'une
focale élevée pour photographier les détails d'un objet.
5. Numériquement, h2 =
MP Devoir libre n°5
f0 '
h = 32mm L’encombrement est égal à la focale soit 20 cm.
d
4
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6.
L'angle de champ est plus réduit dans le cas de l'appareil photo numérique. Un même
téléobjectif sera donc plus «puissant» s'il est monté sur un boîtier numérique plutôt
que sur un boîtier argentique.
7.
Le rayon pénétrant dans la lentille n’est pas dévié à l’interface air —>verre car l'angle d'incidence est nul.
A l'interface verre —> air, on passe d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins
réfringent ; l'angle d'incidence est donc inférieur à l'angle de réfraction.
8. Le rayon émergent est rabattu vers l'axe optique : la lentille est convergente.
9. Le foyer image d'un système optique est l'image par ce système d'un point à l'infini
sur l'axe optique.
Le rayon incident de la figure 1 est issu d'un point à l'infini sur l'axe optique. Le
rayon émergent qui en résulte coupe l'axe optique en F'.
10. L'indice de la lentille est plus élevé pour la radiation bleue que pour la radiation
rouge : nB > nR . Les angles d'incidence sur le dioptre verre —> air étant
identiques, on trouve en appliquant la loi de Descartes pour la réfraction n(λ)sini=sinr(λ) que
l'angle de réfraction est plus élevé pour la radiation bleue que pour la rouge : rb > rr .
11. Les foyers images de la lentille ne sont pas les mêmes pour les différentes radiations. La lentille
présente un défaut chromatique. Les photos seraient irisées.
L1
L2
12. A∞ 
→ F1′ 
→ F ′ .La relation de conjugaison de Descartes appliquée à L2 s'écrit :
1
1
1
−
=
.
O2 F ′ O2 F1′ f ′ 2
MP Devoir libre n°5
5
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On a donc O2 F ′ =
O2 F ′ =
(
)
O2O1 + O1 F1′ ⋅ f ′ 2
O2 F1′⋅ f ′ 2
=
soit :
O2 F1′ + f ′ 2 O2O1 + O1 F1′ + f ′ 2
( −e + f1′) ⋅ f ′ 2
O2 F1′⋅ f ′ 2 ( −e + f1′) ⋅ f ′ 2
=
ou O1 F ′ = e +
−e + f ′ + f ′ 2
O2 F1′ + f ′ 2 −e + f ′ + f ′ 2
Le foyer image F' de l'appareil est confondu avec P.
L’encombrement vaut alors O1 P = O1O2 + O2 F ′ = e +
D’où, O1 P = 31 −
( −e + f1′) ⋅ f ′ 2
−e + f ′ + f ′ 2
( −31 + 501 ) ⋅ 25 = 31 + 19 × 25 ≈ 111mm
−31 + 50 − 25
6
soit 11 cm
13. h3=γ2h1 avec γ 2 grandissement de L2 et h1 taille de l’image de la tour Eiffel par la première
lentille : d’après la question 3. : h1 =
γ2 =
f '1
h.
d
O2 P
O2 P
f '2
=
=
'
O2 F1′ −e + f1 − e + f '1 +f ' 2
On a donc h 3 =
f '1
f '2
.
.h
d − e + f '1 + f '2
Application numérique : h3=34mm.
En tenant compte des réponses proposées, h3 vaut 34 mm.
14. Le téléobjectif ainsi constitué possède un grandissement comparable à celui du
téléobjectif réalisé avec une lentille unique de focale 200 mm. Il possède cependant l'avantage
d'avoir un encombrement réduit : 11 cm contre 20 cm.
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6
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