Chapitre 5 : calcul opérationnel ou transformation de Laplace

Math´ematiques appliqu´ees 2016-2017 Cl. Gabriel
Chapitre 5 : calcul op´erationnel ou transformation de Laplace
1 Transform´ee de Laplace
1.1 D´efinition
Definition (Transform´ee de Laplace) :
Soit F(t) une fonction de t, d´efinie pour t > 0. On d´efinit et on note L{F(t)}=f(s) la transform´ee de
Laplace de F(t) comme suit :
L{F(t)}=f(s) = Z∞
0
e−stF(t)dt(1)
o`u sest une variabe quelconque r´eelle ou complexe. Si sest dans C, on notera xet yses parties r´eelle et ima-
ginaire, donc s=x+jy.
La transform´ee de Laplace de F(t) existe si l’int´egrale pr´ec´edente converge pour certaines valeurs de s.
Exemples :
•Si F(t)=1∀t>0
L{1}=f(s) = Z∞
0
e−st.1dt=−1
se−st∞
0
=−1
she−(x+jy)ti∞
0=−1
snlim
t→∞ e−xte−jyt −1o
=1
ssi x > 0
donc on a :
L{1}=1
spour s∈C|Re(s) = x > 0 (2)
•Si F(t) = t∀t>0
L{t}=f(s) = Z∞
0
e−sttdt
En int´egrant par parties,
u=t
v0=e−st u0= 1
v=−1
se−st
on obtient :
Z∞
0
e−sttdt=−1
ste−st∞
0
+1
sZ∞
0
e−stdt
=−1
snlim
t→∞ te−(x+jy)t−0o+1
s−1 se−st∞
0
=−1
s2(0 −1) = 1 s2si x > 0
donc on a :
L{t}=1
s2pour s∈C|Re(s) = x > 0 (3)
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1.2 Conditions suffisantes d’existence de la transform´ee de Laplace
Th´eor`eme 1.1 (Existence de la transform´ee de Laplace) :
Si F(t)est continue par morceaux sur chaque intervalle fini 06t6Net si F(t)est d’ordre exponentiel γ
pour t>N, alors la transform´ee de Laplace f(s)existe ∀stel que Re(s)> γ.
1.2.1 Hypoth`ese 1 : continuit´e par morceaux
Une fonction est dite continue par morceaux sur un intervalle α6t6βsi l’intervalle peut ˆetre subdivis´e
en un nombre fini d’intervalles sur lesquels la fonction est continue et a des limites `a droite et `a gauche finies
(mais non ´egales) en les points de la subdivision. On parle aussi de discontinuit´es de premi`ere esp`ece dans
ce cas.
Exemple :
1.2.2 Hypoth`ese 2 : fonction d’ordre exponentiel
Si ∃des constantes r´eelles M > 0 et γtelles que ∀t > N , |e−γtF(t)|< M ou encore |F(t)|< Meγt on dit
que F(t)est une fonction d’ordre exponentiel γquand t→ ∞ ou plus simplement que F(t) est d’ordre
exponentiel.
Intuitivement, cela veut dire qu’`a partir d’une certaine valeur de t(= N), F(t) ne peut croˆıtre plus vite qu’une
exponentielle Meγt, donc que lim
t→∞ e−γtF(t) = 0.
Exemples :
•F(t) = t2est d’ordre exponentiel 1,2,3,··· puisque :
t2< et< e2t< e3t<··· ∀t > 0
•F(t) = et3n’est pas d’ordre exponentiel puisque |e−γtet3|=et3−γt peut devenir aussi grand qu’on veut
lorsque taugmente (t3croˆıt plus vite que γt quand t→ ∞).
•F(t) = eat est d’ordre exponentiel ∀a∈Rpuisque :
eat < eγt ∀γ > a
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Remarque :
Le th´eor`eme (1.1) donne des conditions suffisantes pour garantir l’existence de la transform´ee de Laplace, mais
ces conditions ne sont pas n´ecessaires. La transform´ee de Laplace peut donc exister ou non si elles ne sont pas
v´erifi´ees.
1.3 Transform´ees de Laplace des fonctions ´el´ementaires
•On a d´ej`a montr´e que :
L{1}=1
spour s∈C|Re(s) = x > 0
L{t}=1
s2pour s∈C|Re(s) = x > 0
On va g´en´eraliser et montrer que :
Si F(t) = tn∀t>0,L{tn}=n!
sn+1 pour s∈C|Re(s) = x > 0∀n∈N
En effet :
L{tn}=f(s) = Z∞
0
e−sttndt
Par parties : u=tn
v0=e−st u0=ntn−1
v=−1
se−st
on obtient :
Z∞
0
e−sttndt=−1
stne−st∞
0+n
sZ∞
0
tn−1e−stdt
= 0 + n
sLtn−1pour s∈C|Re(s) = x > 0
=n(n−1)
s2Ltn−2
=···
=n!
snL{1}par r´ecurrence sur n
=n!
sn+1
donc :
L{tn}=n!
sn+1 pour s∈C|Re(s) = x > 0∀n∈N(4)
•Si F(t) = eat ∀t>0∀a=x0+jy0∈C,
Leat=f(s) = Z∞
0
e−steatdt
=Z∞
0
e−(s−a)tdt
=−1
s−ahe−(s−a)ti∞
0
=−1
s−ahe−(x−x0)te−j(y−y0)ti∞
0
=−1
s−a{0−1}si x−x0>0⇐⇒ x>x0
=1
s−a
donc :
Leat=1
s−apour s∈C|Re(s)>Re(a) (5)
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•Si F(t) = sin at ∀t>0∀a=x0+jy0∈C,
L{sin at}=f(s) = Z∞
0
e−st sin atdt
= lim
P→∞ ZP
0
e−st sin atdt
= lim
P→∞ e−st(−ssin at −acos at)
s2+a2P
0
= lim
P→∞ a
s2+a2−e−sP s2+a2(ssin aP +acos aP 
=a
s2+a2si Re(s)>0 (6)
Remarque : on a utilis´e la primitive suivante :
Zeαt sin βtdt=eαt(αsin βt −βcos βt)
α2+β2
qui s’obtient par une double int´egration par parties.
•Si F(t) = cos at ∀t>0∀a=x0+jy0∈C,
L{cos at}=f(s) = Z∞
0
e−st cos atdt
= lim
P→∞ ZP
0
e−st cos atdt
= lim
P→∞ e−st(−scos at +asin at)
s2+a2P
0
= lim
P→∞ s
s2+a2−e−sP s2+a2(scos aP −asin aP 
=s
s2+a2si Re(s)>0 (7)
Remarque : on a utilis´e la primitive suivante :
Zeαt cos βtdt=eαt(αcos βt +βsin βt)
α2+β2
qui s’obtient par une double int´egration par parties.
1.3.1 R´esum´e des transform´ees de Laplace des fonctions ´el´ementaires
F(t)f(s) = L{F(t)}
11
s
t1
s2
tnn!
sn+1 n= 0,1,2,···
eat 1
s−a
sin at a
s2+a2
cos at s
s2+a2
sinh at a
s2−a2
cosh at s
s2−a2
Remarque : les deux derni`eres lignes de ce tableau seront prouv´ees ult´erieurement mais peuvent d´ej`a ˆetre
comprises `a l’aide des transformations suivantes :
sinh at =eat −e−at
2=e−j2at −e+j2at 2=e−j(ajt)−ej(ajt) 2=−ej(ajt)−e−j(ajt) 2== −jsin(jat)
cosh at =eat +e−at
2=e−j2at +e+j2at 2=e−j(ajt)+ej(ajt) 2= cos(jat)
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donc :
L{sinh at}=−jL{sin(jat)}=−jja
s2+ (ja)2=a s2−a2
L{cosh at}=L{cos(jat)}=s
s2+ (ja)2=s s2−a2
1.3.2 Exercices : transform´ees de Laplace des fonctions ´el´ementaires
Exercice 1
Trouver la transform´ee de Laplace des fonctions suivantes et sp´ecifier les valeurs de spour lesquelles elle existe :
•2e4t
•3e−2t
•5t−3
•2t2−e−t
•3 cos 5t
•10 sin 6t
•6 sin 2t−5 cos 2t
•t2+ 12
•(sin t−cos t)2
•3 cosh 5t−4 sinh 5t
Exercice 2
Calculer :
• Ln5e2t−32o
• L4 cos22t
• Lcosh24t
Exercice 3
Trouver L{F(t)}si :
•F(t) = 0 pour 0 <t<2
4 pour t > 2
•F(t) = 2tpour 0 6t65
1 pour t > 5
Exercice 4
Montrer que :
L{tn}=n!
sn+1 ∀n= 1,2,3,···
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