groupe des permutations d`un ensemble fini

Groupe des permutations d'un ensemble fini, applications
GROUPE DES PERMUTATIONS D'UN ENSEMBLE FINI
APPLICATIONS
1) Permutations d'un ensemble fini, groupe symétrique
Soit E un ensemble fini, de cardinal n, n ∈ N * .
définition (permutation, groupe symétrique d'ordre n)
Une bijection de E sur E est appelée permutation de E. On note S(E) l'ensemble des permutations de
E. Si E = N n , S(E) est appelé groupe symétrique d'ordre n.
théorème
( S ( E ), o) est un groupe d'ordre n! Pour n ≥ 3 , ce groupe n'est pas commutatif.
démonstration
1) ( S ( E ), o) est un groupe :
S ( E ) ≠ O/ car id E appartient à cet ensemble. la composée de deux bijections est une bijection. id E
est l'élément neutre du groupe. La loi de composition des applications est associative. il est évident
que si σ ∈ S (E ) , alors σ −1 ∈ S ( E ) .
2) Le nombre de bijections d'un ensemble fini de cardinal n sur lui-même est n! donc ( S ( E ), o) est
un groupe d'ordre n!
3) Si n ≥ 3 : E = {a1 ,..., an } . Alors τ1, 2 τ 2,3 ≠ τ 2,3 τ1, 2 où τ1, 2 est la permutation qui échange a1 et
a 2 et τ 2,3 est la permutation qui échange a2 et a3 .
proposition
Soit f une bijection de E dans F (où E et F sont deux ensembles).
Alors Φ : S ( E ) → S ( F )
est un isomorphisme de groupes.
−1
s
f s f
démonstration
• ∀s, s '∈ E , Φ( s s ' ) = f ( s s ' ) f −1 = ( f s f −1 ) ( f s ' f −1 ) = Φ( s ) Φ( s ' ) donc Φ est un
morphisme de groupes de S(E) dans S(F).
• Soit s '∈ F . Soit s = f −1 s ' f . Φ ( s) = s ' donc Φ est surjective.
• Soit s ∈ Ker (Φ ) . Alors
Φ ( s ) = id F
donc f s f −1 = id F
donc s f −1 = f
donc s = id E
Φ est donc injective
Donc Φ est un isomorphisme de groupes donc S(E) et S(F) sont isomorphes.
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conséquence : Si G = {a1 ,..., an }, f : G → N n
ai
i
f est une bijection donc S(G) et Sn sont isomorphes.
théorème de Cayley
Tout groupe fini d'ordre n est isomorphe à un sous groupe de Sn.
démonstration
Soit G un groupe d'ordre n, noté multiplicativement et d'élément neutre e.
Soit a ∈ G .
Soit t a : G → G
x ax
t a est bijective car l'équation d'inconnue x ax = b admet une seule solution qui est a −1b .
L'application Φ : G → S (G ) est un morphisme de groupes de G dans S(G).
a ta
( Φ(ab) = Φ (a) Φ(b) )
Φ(a ) = id G ⇔ t a = id G ⇔ a = e donc Ker (Φ) = {id G } donc Φ est un morphisme injectif.
Il existe donc un morphisme injectif de G dans Sn. G est donc isomorphe à un sous groupe de Sn.
2) Cycles, transpositions
définition (orbite d'un élément)
Soit s ∈ S (E ) . La relation R définie sur E par : ∀x, y ∈ E , xRy ⇔ ∃k ∈ Z , y = s k ( x ) est une relation
d'équivalence. La classe d'équivalence d'un élément a de E est appelée orbite de a suivant s.
définition (cycle, transposition)
Une permutation σ est un cycle s'il existe un entier r ≥ 2 et des entiers i1 , i2 ,...ir appartenant à N n
tels que σ(i1 ) = i2 ,...σ(ir −1 ) = ir , σ(ir ) = i1 et σ(i ) = i si i ∉ {i1 ,..., ir }. On note alors σ = (i1 i2 ... ir ) . r
est appelé longueur du cycle σ . {i1 , ... , ir } est appelé support du cycle σ . Un cycle de longueur 2
est appelé transposition.
théorème
Toute permutation non identique s d'un ensemble fini E se décompose de manière unique à l'ordre
des facteurs près en produit de cycles dont les supports sont 2 à 2 disjoints.
démonstration
Soit s une permutation non identique de E. Il existe donc x ∈ E tel que s ( x) ≠ x .L'orbite de x
suivant s a au moins deux éléments. Soit ( S i ) i∈I la famille des orbites suivant s non réduites à un
élément.
Pour i donné , il n'existe qu'un seul cycle de support S i qui coïncide avec s sur S i : c'est la
permutation que l'on notera σ i qui coïncide avec s sur S i et avec id sur E − S i .
Les σ i sont deux à deux permutables :
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Soient i, j ∈ I , i ≠ j . montrons que σ i σ j = σ j σ i :
Soit x ∈ E − ( S i ∪ S j ) . Alors σ i ( x) = σ j ( x) = x donc σ i σ j ( x) = σ j σ i ( x) .
Soit x ∈ S i . Alors σ j ( x) = x donc σ i σ j ( x) = σ i ( x) et comme σ i ( x) ∈ S i , σ j σ i ( x) = σ i ( x) et on
a σ i σ j ( x) = σ j σ i ( x)
Soit x ∈ S j . Alors σ i ( x) = x donc σ j σ i ( x) = σ j ( x) et comme σ j ( x) ∈ S j , σ i σ j ( x) = σ j ( x) on
a σ i σ j ( x) = σ j σ i ( x) .
théorème
Toute permutation d'un ensemble fini de cardinal n ≥ 2 se décompose en produit de transpositions.
démonstration
Supposons E de cardinal n ≥ 2 . Rappelons que id E = ττ , quelle que soit la transposition τ . Une
permutation se décompose en produit de cylces dont les supports sont deux à deux disjoints. Un
⎛ a1 .......a p −1 a p ⎞
⎟.
cycle est de la forme σ = ⎜
⎜ a .......a a ⎟
2
1
p
⎠
⎝
σ = τ a1 ,a2 τ a2 ,a3 ...... τ a p −1 ,a p .
conséquence
Pour n ≥ 2 , le groupe symétrique d'ordre n est engendré par la famille de transpositions
(τ i , τ i +1 )1≤i≤ n−1 .
démonstration
Il suffit de montrer que toute permutation est un produit de transpositions τ i ,i +1 .
Soient p, q tels que 1 ≤ p < q ≤ n . Faisons la démonstration par récurrence sur q − p .
Notons P(q-p) la propriété suivante : " τ p,q se décompose à l'aide des transpositions (τ i , τ i +1 )1≤i≤n−1 ".
•
Si q − p = 1 , τ p ,q = τ p , p +1 et le résultat est immédiat ; P(1) est donc vraie
• Soit k vérifiant 1 ≤ k ≤ n − 2 . Supposons P(k) vraie
Si q − p = k + 1 , τ p ,q = τ q −1, p τ p ,q −1 τ q −1,q . On applique alors l'hypothèse de récurrence aux
transpositions τ q −1, p , τ p ,q −1 et τ q −1,q . Donc P(k+1) est vraie
•
Donc P(k) est vraie pour tout k vérifiant 1 ≤ k ≤ n − 1 .
3) Signature d'une permutation, groupe alterné
E désigne toujours un ensemble fini de cardinal n.
définition (signature d'une permutation)
Soit s ∈ S (E ) . On appelle signature de s noté ε(s ) le nombre (−1) n−m , où m est le nombre d'orbites
suivant s.
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théorème
Soient s ∈ S (E ) et τ une transposition. Alors ε( sτ) = −ε( s ) .
démonstration
Soit s ∈ S (E ) . On considère la transposition τ a,b ( a ≠ b sinon ce n'est pas une transposition).
Soit s ' = s τ a ,b .
• 1er cas : a et b appartiennent à la même orbite
orbs (a) = a, s (a),..., s p −1 (a ) , orbs (a) désignant l'orbite de a suivant s. Il existe un entier q,
{
}
1 ≤ q ≤ p − 1 tel que b = s q (a ) .
Déterminons l'orbite de a suivant s' :
a
s ' (a) = s τ(a) = s (b) = s q +1 (a)
………
s ' p −q −1 (a) = s p −1 (a )
s ' p −q (a ) = s p (a ) = a
donc orbs ' (a ) = {a, s q +1 (a ),..., s p −1 (a)}
Déterminons l'orbite de b suivant s':
b
s ' (b) = s τ(b) = s(a)
s '2 (b) = s 2 (a)
………
s 'q −1 (b) = s q (a) = b
donc orbs ' (b) = {b, s (a ), s 2 (a),..., s q −1 (a)}
Si x ∈ E − orbs (a ) , τ( x) = x donc s ' ( x) = s ( x) et orbs ' ( x) = orbs ( x) . Donc si m est le nombre
d'orbites suivant s, m+1 est le nombre d'orbites suivant s'. Par conséquent,
ε( s ' ) = (−1) n−( m+1) = (−1) n−m−1 = −(−1) n−m = −ε( s ) .
• 2ème cas : a et b n'appartiennent pas à la même orbite suivant s
orbs (a) = a, s (a),..., s p −1 (a )
{
orb (b) = {b, s (b),..., s
s
q −1
}
(b)}
Montrons que orbs ' (a ) = orbs ' (b)
a
s ' (a) = s(b)
s '2 (a) = s 2 (b)
………
s ' q −1 (a) = s q −1 (b)
s 'q (a ) = s q (b) = b
s 'q +1 (a) = s (a )
s 'q + 2 (a) = s 2 (a)
………
s ' q + p −1 (a) = s p −1 (a)
s ' q + p (a ) = s p (a ) = a
Donc orbs ' (a) = orbs ' (b)
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Si x ∈ E − (orbs (a ) ∪ orbs (b) ) , orbs ' ( x) = orbs ( x) . Si m est le nombre d'orbites suivant s, le nombre
d'orbites suivant s' est m-1. Donc ε( s ' ) = (−1) n−( m−1) = (−1) n−m+1 = −(−1) n−m = −ε( s ) .
Corollaire 1
Soit s ∈ S (E ) . Si s est le produit de r transpositions, alors ε( s ) = (−1) r .
démonstration
Notons P(r) la propriété suivante : "si s ∈ S (E ) est le produit de r transpositions, alors ε( s ) = (−1) r ".
• r = 1 : si s est une transposition, alors ε( s ) = −1 ( n = 2, m = 1 ) donc P(1) est vraie.
• soit r ∈ N * . Supposons P(r) vraie.
Soit s ∈ S (E ) , s étant le produit de r+1 transpositions. s s'écrit :
r +1
⎛ r
⎞
s = ∏ τ k = ⎜⎜ ∏ τ k ⎟⎟τ r +1 .
k =1
⎝ k =1 ⎠
D'après le théorème :
r
ε( s ) = −ε∏ τ k
k =1
ε( s ) = −(−1) r (hypothèse de récurrence)
ε( s ) = (−1) r +1
Donc P(r+1) est vraie
• Donc P(r) est vraie pour tout r ≥ 1 .
Corollaire 2
ε : (S ( E ), ) → ({− 1,1},×)
s
ε( s )
est un morphisme de groupes.
démonstration
• ∀s ∈ S ( E ), ε( s ) ∈ {− 1,1}
• soient s et s' deux éléments de S(E).
p
s se décompose en produit de transpositions : s = ∏ τ k , ε( s ) = (−1) p .
k =1
q
s' se décompose en produit de transpositions : s ' = ∏ τ' k , ε( s ' ) = (−1) q .
k =1
⎛
⎞⎛
⎞
Alors ss ' = ⎜⎜ ∏ τ k ⎟⎟⎜⎜ ∏ τ' k ⎟⎟ .
⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠
Donc ε( ss ' ) = (−1) p + q = (−1) p (−1) q = ε( s ) × ε( s ' ) .
p
q
définition (groupe alterné, permutations paires et impaires)
Le noyau du morphisme ε est appelé groupe alterné de E et noté U(E). Ses éléments, qui sont des
permutations de signature 1 sont appelées permutations paires. Les éléments de S ( E ) − U ( E ) sont
appelées permutations impaires.
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ANNEXE 1 : Rappels sur les cardinaux et le nombre de bijections d'un ensemble fini dans luimême
ensemble fini
Un ensemble E est fini s'il existe un entier naturel n tel que N n soit équipotent à E. (c'est-à-dire
qu'il existe une bijection de N n sur E).
definition des opérations dans N
Soient a, b ∈ N . On associe à a et b deux ensembles A et B arbitrairement choisis (avec A ∩ B = O/
dans le cas de la somme) tels que card ( A) = a et card ( B) = b .
On définit : a + b = card ( A ∪ B ) on appelle cette loi interne addition.
ab = card ( A × B) on appelle cette loi interne multiplication.
De cette définition, il résulte que si ( Ai ) i∈I est une famille finie d'ensembles finis deux à deux
disjoints, on a card (∪ Ai ) = ∑ card ( Ai ) . On peut faire la démonstration en prenant i = N n ,
i∈I
i∈I
n ∈ N , n ≥ 2 , par récurrence sur n.
*
lemme
Soient E et E' deux ensembles disjoints, F un ensemble quelconque. Les ensembles F E ∪ E ' et
F E × F E ' sont équipotents.
démonstration
Soit φ : F E ∪ E ' → F E × F E '
f
( f E , f E' )
φ est bijective : une application de E ∪ E ' dans F est entièrement déterminée par les images des
éléments de E et des éléments de E' (donc par les restrictions de f à E et E').
injectivité : φ( f ) = φ( g ) ⇒ f E = g E et f E ' = g E ' ⇒ f = g .
surjectivité : soit ( g , h) ∈ F E × F E ' .
Soit f : E ∪ E ' → F
⎧ g ( x) si x ∈ E
x ⎨
⎩h( x) si x ∈ E '
f ∈ F E ∪ E ' et φ( f ) = g .
proposition
L'ensemble des applications d'un ensemble fini de cardinal n dans un ensemble fini de cardinal p est
fini et a pour cardinal p n .
démonstration
Soit F un ensemble fini de cardinal p. Faisons la démonstration par récurrence sur n. Notons P(n) la
propriété suivante :
si E est un ensemble fini de cardinal n, alors F E est fini et card ( F E ) = p n .
• P(0) est vraie : il existe une seule application de O/ dans F. Rappelons qu'une application de E
dans F est une correspondance (Γ, E , F ) telle que ∀x ∈ E , ∃! y ∈ F , ( x, y ) ∈ Γ . si F est un
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•
•
•
ensemble, toute application de O/ dans F a nécessairement O/ pour graphe. La correspondance
est donc (O/ , O/ , F ) . Réciproquement, cette correspondance vérifie : ∀x ∈ O/ , ∃! y ∈ F , ( x, y ) ∈ O/ .
P(1) est vraie.
Soit n ∈ N * . Supposons P(n) vraie. Soit E un ensemble fini, de cardinal n + 1 . Soit x ∈ E . On
peut noter E = E '∪ E" , où E ' = E − {x} et E" = {x} . D'après le lemme, F E et F E ' × F E " sont
équipotents donc card ( F E ) = card ( F E ' × F E " ) = card ( F E ' ) × card ( F E " ) = p n × p = p n+1 en
utilisant successivement la formule sur les cardinaux et P(n) et P(1). Donc P(n+1) est vraie.
Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n.
corollaire
L'ensemble des parties d'un ensemble E à n éléments est fini et a pour cardinal 2 n .
démonstration
Soit E un ensemble fini à n éléments.
E
Soit φ : P( E ) → {0,1}
A 1A (fonction indicatrice de A)
φ est bijective
injectivité : φ( A) = φ( B) ⇒ 1A = 1B ⇒ A = B
surjectivité : soit f ∈ {0,1} . Soit A = f −1 ({1}) . Alors φ( A) = f .
E
Donc card ( P( E )) = card ({0,1} = 2 n d'après la proposition précédente.
E
proposition
Soient A un ensemble fini, et ( Ai ) i∈I une famille de parties non vides de A, deux à deux disjointes,
de réunion A. Alors I et les Ai sont des ensembles finis et on a card ( A) = ∑ card ( Ai ) .
i∈I
démonstration
• ∀i ∈ I , Ai est un ensemble fini car c'est une partie d'un ensemble fini.
• Soit φ : I → P( A)
i
Ai
φ est injective : si i ≠ j , φ(i ) ≠ φ( j ) car Ai et A j sont disjoints donc distincts. φ est injective et
P(A) est fini donc I est fini.
La formule sur les cardinaux découle de la définition des opérations dans N.
corollaire (principe des bergers)
Soient E et F des ensembles finis et f une application de E dans F surjective. Si les ensembles
f −1 ({y}) , y ∈ F , ont un cardinal commun k, alors card ( E ) = k × card ( F ) .
démonstration
Soit R la relation définie par : ∀x, y ∈ E , xRy ⇔ f ( x) = f ( y ) . R est une relation d'équivalence. Les
classes de R forment donc une partition de E. Si card ( F ) = p , il y a p classes et on peut noter cette
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partition ( Ai )1≤i≤ p
et on a alors : ∀i, card ( Ai ) = k . D'après la proposition précédente,
p
card ( E ) = ∑ card ( Ai ) = p × k = k × card ( F ) .
i =1
proposition
Soient p et n des entiers tels que 0 ≤ p ≤ n . Alors pour tout ensemble E de cardinal p et tout
n!
, noté Anp .
ensemble F de cardinal n, le nombre d'injections de E dans F est
(n − p)!
démonstration
On fixe n et F et on fait la démonstration par récurrence sur p. Notons P(p) la propriété :
n!
pour tout ensemble E de cardinal p, le nombre d'injections de E dans F est
.
(n − p)!
• P(0) est vraie : Soit E un ensemble de cardinal 0, c'est-à-dire E = O/ . Il n'y a qu'une seule
application de O/ dans F et elle est injective.
• Soit p un entier, 0 ≤ p ≤ n − 1 . Supposons P(p) vraie. Soit E un ensemble de cardinal p + 1 . Soit
x ∈ E . Notons E ' = E − {x} . E = E '∪{x} et c'est une réunion disjointe. Soit I l'ensemble des
injections de E dans F et I' l'ensemble des injections de E' dans F.
• Soit Φ : I → I '
f
f E'
Φ est clairement surjective. Soit g un élément de I'. g est une injection de E' dans F. Pour
déterminer f telle que Φ ( f ) = g , il ne reste qu'à déterminer f (x) . f (x) peut prendre n − p
valeurs. Donc ∀g ∈ I ' , card (Φ −1 ({g })) = n − p . D'après le principe des bergers,
n!
card ( I ) = (n − p) × card ( I ' ) . Or card ( I ' ) =
d'après l'hypothèse de récurrence donc
(n − p)!
n!
donc P(p+1) est vraie.
card ( I ) =
(n − ( p + 1))!
• Donc P(p) est vraie pour tout p entier vérifiant 0 ≤ p ≤ n .
proposition
Si E est un ensemble fini, si f est une application de E dans E, alors f est injective si et seulement si f
est bijective
démonstration
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
• Si f est bijective, alors elle est injective.
• Supposons f injective.
∀x, y ∈ E , x ≠ y ⇒ f ( x) ≠ f ( y ) donc f(E) contient au moins n éléments. Or f ( E ) ⊂ E donc f(E)
contient au moins n éléments donc f ( E ) = E donc f est surjective donc bijective.
Il résulte de ceci que si E est un ensemble fini à n éléments, il y a n! bijections de E dans E.
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