Sujet A – éléments de corrigé Question (3 points) Pourquoi, dans le modèle de concurrence parfaite, les rendements d’échelle ne peuvent-ils être croissants ? (15 lignes maximum) On dit que les rendements d’échelles sont croissants si quand on multiplie toutes les quantités d’input par un réel λ strictement supérieur à 1, alors la quantité d’output que ces inputs permettent de produire est multipliée par un réel strictement supérieur à λ. Lorsque les rendements d’échelle sont croissants, aucun panier d’inputs (q1*, q2*) ne maximise le profit du producteur et l’offre de ce dernier est infinie. En effet quel que soit le panier d’input (q1*, q2*), les rendements étant croissants, la quantité d’output produite (et en conséquences les recettes du producteur) augmente plus que proportionnellement que la quantité d’inputs utilisées (et en conséquence que le coût de production). En produisant une unité de plus, le producteur accroît donc son profit de sorte que (q1*, q2*) ne maximise pas le profit. La production de chaque unité supplémentaire rapportant ainsi plus qu’elle ne coûte, plus le producteur produit, plus son profit augmente et aucun panier (q1*, q2*) ne maximise le profit du producteur : son offre d’output et ses demandes d’inputs sont donc infinies, ce qui est impossible. Exercice Soit une économie formée de deux ménages, A et B, dont les préférences peuvent être représentées respectivement par les fonctions d’utilité : UA(q1, q2) = (q1 q2)1/4 et UB(q1, q2) = q11/2q21/4 et dont les dotations initiales sont respectivement : Q°A = (4 , 0) et Q°B = (0 , 9) 1) La situation initiale est-elle un optimum de Pareto ? Expliquer en détail pourquoi. (2 points) Un optimum de Pareto est une allocation des ressources telle qu’aucune autre ne lui est préférée selon le critère de Pareto (à savoir par chacun des agents et au sens strict par au moins l’un d’entre eux). Comme les biens sont désirables, A et B préfèrent à leur panier de dotations initiales (qui ne contient que du bien 1 pour A et que du bien 2 pour B) n’importe quel panier contenant du bien 1 et du bien 2, qu’elles qu’en soient les quantités (strictement positives). Ils préfèrent donc tous les deux l’allocation {(3 , 1) , (1 , 8)}, par exemple, à l’allocations initiale des ressources, qui n’est donc pas un optimum de Pareto. 2) En additionnant les contraintes budgétaires des agents, montrer que la loi de Walras est vérifiée dans cette économie. Vous expliquerez tout dans le détail. (3 points) On appelle demande nette d’un bien la demande excédentaire de ce bien, autrement dit la quantité qui en est demandée moins la quantité qui en est offerte. La loi de Walras stipule que la somme des valeurs des demandes nettes est nulle. En notant ei, la demande nette de bien i, et pi, le prix du bien i, i = 1, 2, la loi de Walras s’écrit : p1e1 + p2e2 = 0 [1]. La contrainte budgétaire de A est : p1q1A + p2q2A = 12p1 où qiA désigne sa demande de bien i, 12 étant son offre de bien 1 (son offre de bien 2 est nulle puisqu’il n’en possède pas). La contrainte budgétaire de B est : p1q1B + p2q2B = 6p2 où qiB désigne sa demande de bien i, 6 étant son offre de bien 2 (son offre de bien 1 est nulle puisqu’il n’en possède pas). En additionnant terme à terme ces deux contraintes budgétaires, on obtient : p1(q1A + q1B) + p2(q2A + q2B) = 12p1 + 6p2 ce qui donne : p1(q1A + q1B – 12) + p2(q2A + q2B – 6) = 0 [2]. Comme q1A + q1B est la demande globale de bien 1, et 12, son offre globale, on a : e1 = q1A + q1B – 12. Et comme q2A + q2B est la demande globale de bien 2, et 6, son offre globale, on a : e2 = q2A + q2B – 6. En remplaçant dans [1], cela donne : p1e1 + p2e2 = 0, autrement dit, la loi de Walras : [1]. 3) Déterminer l’ensemble des états réalisables de cette économie (1,5 points). Les états réalisables de cette économie sont les allocations des ressources possibles de cette l’économie, à savoir les allocations : {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} vérifiant des deux égalités : q1A + q1B = 4 et q2A + q2B = 9. 4) Déterminer la courbe des contrats de cette économie. Que représente-t-elle ? Représentez-la dans une boîte d’Edgeworth. Cette courbe passe-t-elle par l’allocation {(4 , 9), (0 , 0)} ? Le cas échéant, pourquoi ? (5 points) La courbe des contrats représente l’ensemble des allocations des ressources optimales au sens de Pareto. Comme les fonctions d’utilité sont de type Cobb-Douglas, la courbe des contrats relie les allocations {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} qui sont optimales au sens de Pareto vérifient (outre les deux égalités de la question précédente) l’équation : TMSA(q1A , q2A) = TMSB(q1B , q2B). Les allocations des ressources {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} de la courbe des contrats vérifient donc le système : S:{ Or S ⇒ { . ⇒{ ⇒{ ⇒{ ⇒{ ⇒{ La courbe des contrats relie donc les allocations des ressources {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} vérifiant : { Elle représente l’ensemble des optima de Pareto de cette économie. Elle passe par l’allocation {(4 , 9), (0 , 0)} puisque cette dernière est un optimum de Pareto. En effet, A a alors tout et B, rien, de sorte qu’on ne peut améliorer la satisfaction de B sans ôter quelque chose à A qui sera dès lors moins satisfait puisqu’il préfère plus à moins. 5) Le prix relatif p1/p2 = 1 est-il un prix d’équilibre de concurrence parfaite de cette économie ? (2 points) Tout équilibre de concurrence parfaite étant un optimum de Pareto, à l’équilibre général, le panier dont dispose A, , vérifie : . (voir question précédente) Par ailleurs, comme, à l’équilibre général, A maximise sa satisfaction, p1/p2 = 1 ne peut être un prix d’équilibre de concurrence parfaite que si : donc si . En remplaçant, dans cette dernière équation, par , on obtient : . SUJET B Question (3 points) Quel(s) lien(s) existe-t-il entre l’optimum de Pareto et la justice ? (15 lignes maximum) Ce qui donne : . Ceci étant impossible (les ressources en bien 1 de l’économie sont en quantité 4), on en déduit que p1/p2 = 1 n’est pas un prix d’équilibre de concurrence parfaite de cette économie. 6) Quelles dotations initiales les agents auraient-ils dû avoir pour que la situation initiale soit un optimum de Pareto ? un équilibre de concurrence parfaite ? (1,5 points) Pour que la situation initiale soit un optimum de Pareto, il faut et il suffit qu’elle soit sur la courbe des contrats, i.e. qu’elle vérifie le système de la question 4. Même chose pour les équilibres de concurrence parfaite en raison des deux théorèmes du bien-être : s’il existe un système complet de marché, si les préférences sont monotones et convexes et si les ensembles de production sont convexes, alors (premier théorème du bien-être) tout équilibre général est un optimum de Pareto et (Second théorème du bien-être) on peut associer à tout optimum de Pareto un vecteur de prix tel que cet optimum soit un équilibre de concurrence parfaite (à ces prix). 7) A l’équilibre général, l’agent A dispose du panier (2 , 6). En déduire l’allocation des ressources d’équilibre général, ainsi que le rapport des prix d’équilibre général. (2 points) Lorsque l’agent A dispose du panier (2 , 6), l’allocation des ressource est {(2 , 6) , (4 – 2 , 9 – 6)}, à savoir {(2 , 6) , (2 , 3)}. Les dotations initiales de A étant (4 , 0), celui-ci détient le panier (2 , 6) après a cédé deux biens 1 en échange de 6 biens 2, ce qu’il a donc fait au prix du bien 1 en bien 2 égal à 3. Le rapport de prix d’équilibre général est : (p1/p2)* = 3. Exercice Soit une économie formée de deux ménages, A et B, définis par la même fonction d’utilité que le consommateur de l’exercice I : UA(q1, q2) = (q1 q2)1/2 et UB(q1, q2) = q1q21/3 et par les dotations initiales suivantes : Q°A = (0 , 4) et Q°B = (16 , 0) 1) La situation initiale est-elle un optimum de Pareto ? Expliquer en détail pourquoi. (2 points) 2) En additionnant les contraintes budgétaires des agents, montrer que la loi de Walras est vérifiée dans cette économie. Vous expliquerez tout ce que vous faites. (3 points) 3) Déterminer l’ensemble des états réalisables de cette économie (1,5 points). 4) Déterminer la courbe des contrats de cette économie (expliquez tout !). Que représente-t-elle ? Représentez-la dans une boîte d’Edgeworth. Cette courbe passe-t-elle par l’allocation {(0 , 0), (16 , 4)} ? Le cas échéant, pourquoi ? (5 points) 5) Le prix relatif p1/p2 = 1 est-il un prix d’équilibre de concurrence parfaite de cette économie ? (2 points) 6) Quelles dotations initiales les agents auraient-ils dû avoir pour que la situation initiale soit un optimum de Pareto ? un équilibre de concurrence parfaite ? (1,5 points) 7) A l’équilibre général, l’agent B dispose du panier (12 , 2). En déduire l’allocation des ressources d’équilibre général, ainsi que le rapport des prix d’équilibre général. (2 points)