Contrôle 2

Sujet A – éléments de corrigé
Question (3 points)
Pourquoi, dans le modèle de concurrence parfaite, les rendements
d’échelle ne peuvent-ils être croissants ? (15 lignes maximum)
On dit que les rendements d’échelles sont croissants si quand on
multiplie toutes les quantités d’input par un réel λ strictement
supérieur à 1, alors la quantité d’output que ces inputs permettent de
produire est multipliée par un réel strictement supérieur à λ.
Lorsque les rendements d’échelle sont croissants, aucun panier
d’inputs (q1*, q2*) ne maximise le profit du producteur et l’offre de ce
dernier est infinie.
En effet quel que soit le panier d’input (q1*, q2*), les rendements étant
croissants, la quantité d’output produite (et en conséquences les
recettes du producteur) augmente plus que proportionnellement que la
quantité d’inputs utilisées (et en conséquence que le coût de
production). En produisant une unité de plus, le producteur accroît
donc son profit de sorte que (q1*, q2*) ne maximise pas le profit. La
production de chaque unité supplémentaire rapportant ainsi plus
qu’elle ne coûte, plus le producteur produit, plus son profit augmente et
aucun panier (q1*, q2*) ne maximise le profit du producteur : son offre
d’output et ses demandes d’inputs sont donc infinies, ce qui est
impossible.
Exercice
Soit une économie formée de deux ménages, A et B, dont les
préférences peuvent être représentées respectivement par les
fonctions d’utilité :
UA(q1, q2) = (q1 q2)1/4 et UB(q1, q2) = q11/2q21/4
et dont les dotations initiales sont respectivement :
Q°A = (4 , 0) et Q°B = (0 , 9)
1) La situation initiale est-elle un optimum de Pareto ? Expliquer
en détail pourquoi. (2 points)
Un optimum de Pareto est une allocation des ressources telle
qu’aucune autre ne lui est préférée selon le critère de Pareto (à savoir
par chacun des agents et au sens strict par au moins l’un d’entre eux).
Comme les biens sont désirables, A et B préfèrent à leur panier de
dotations initiales (qui ne contient que du bien 1 pour A et que du bien
2 pour B) n’importe quel panier contenant du bien 1 et du bien 2,
qu’elles qu’en soient les quantités (strictement positives).
Ils préfèrent donc tous les deux l’allocation {(3 , 1) , (1 , 8)}, par
exemple, à l’allocations initiale des ressources, qui n’est donc pas un
optimum de Pareto.
2) En additionnant les contraintes budgétaires des agents,
montrer que la loi de Walras est vérifiée dans cette économie. Vous
expliquerez tout dans le détail. (3 points)
On appelle demande nette d’un bien la demande excédentaire de ce
bien, autrement dit la quantité qui en est demandée moins la quantité
qui en est offerte.
La loi de Walras stipule que la somme des valeurs des demandes nettes
est nulle. En notant ei, la demande nette de bien i, et pi, le prix du bien i,
i = 1, 2, la loi de Walras s’écrit :
p1e1 + p2e2 = 0 [1].
La contrainte budgétaire de A est :
p1q1A + p2q2A = 12p1
où qiA désigne sa demande de bien i, 12 étant son offre de bien 1 (son
offre de bien 2 est nulle puisqu’il n’en possède pas).
La contrainte budgétaire de B est :
p1q1B + p2q2B = 6p2
où qiB désigne sa demande de bien i, 6 étant son offre de bien 2 (son
offre de bien 1 est nulle puisqu’il n’en possède pas).
En additionnant terme à terme ces deux contraintes budgétaires, on
obtient :
p1(q1A + q1B) + p2(q2A + q2B) = 12p1 + 6p2
ce qui donne :
p1(q1A + q1B – 12) + p2(q2A + q2B – 6) = 0 [2].

Comme q1A + q1B est la demande globale de bien 1, et 12, son offre
globale, on a :
e1 = q1A + q1B – 12.
Et comme q2A + q2B est la demande globale de bien 2, et 6, son offre
globale, on a :
e2 = q2A + q2B – 6.
En remplaçant dans [1], cela donne :
p1e1 + p2e2 = 0,
autrement dit, la loi de Walras : [1].
3) Déterminer l’ensemble des états réalisables de cette économie
(1,5 points).
Les états réalisables de cette économie sont les allocations des
ressources possibles de cette l’économie, à savoir les allocations :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} vérifiant des deux égalités :
q1A + q1B = 4 et q2A + q2B = 9.
4) Déterminer la courbe des contrats de cette économie. Que
représente-t-elle ? Représentez-la dans une boîte d’Edgeworth. Cette
courbe passe-t-elle par l’allocation {(4 , 9), (0 , 0)} ? Le cas échéant,
pourquoi ? (5 points)
La courbe des contrats représente l’ensemble des allocations des
ressources optimales au sens de Pareto.
Comme les fonctions d’utilité sont de type Cobb-Douglas, la courbe des
contrats relie les allocations {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} qui sont optimales
au sens de Pareto vérifient (outre les deux égalités de la question
précédente) l’équation :
TMSA(q1A , q2A) = TMSB(q1B , q2B).
Les allocations des ressources {(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} de la courbe des
contrats vérifient donc le système :
S :   
   .
Or S 
La courbe des contrats relie donc les allocations des ressources {(q1A ,
q2A) , (q1B , q2B)} vérifiant :
Elle représente l’ensemble des optima de Pareto de cette économie.
Elle passe par l’allocation {(4 , 9), (0 , 0)} puisque cette dernière est un
optimum de Pareto. En effet, A a alors tout et B, rien, de sorte qu’on ne
peut améliorer la satisfaction de B sans ôter quelque chose à A qui sera
dès lors moins satisfait puisqu’il préfère plus à moins.
5) Le prix relatif p1/p2 = 1 est-il un prix d’équilibre de concurrence
parfaite de cette économie ? (2 points)
Tout équilibre de concurrence parfaite étant un optimum de Pareto, à
l’équilibre général, le panier dont dispose A, , vérifie :
. (voir question précédente)

Par ailleurs, comme, à l’équilibre général, A maximise sa satisfaction,
p1/p2 = 1 ne peut être un prix d’équilibre de concurrence parfaite que
si :  donc si 
.
En remplaçant, dans cette dernière équation,  par 
, on obtient :
.
Ce qui donne : .
Ceci étant impossible (les ressources en bien 1 de l’économie sont en
quantité 4), on en déduit que p1/p2 = 1 n’est pas un prix d’équilibre de
concurrence parfaite de cette économie.
6) Quelles dotations initiales les agents auraient-ils dû avoir pour
que la situation initiale soit un optimum de Pareto ? un équilibre de
concurrence parfaite ? (1,5 points)
Pour que la situation initiale soit un optimum de Pareto, il faut et il
suffit qu’elle soit sur la courbe des contrats, i.e. qu’elle vérifie le
système de la question 4.
Même chose pour les équilibres de concurrence parfaite en raison des
deux théorèmes du bien-être :
s’il existe un système complet de marché, si les préférences sont
monotones et convexes et si les ensembles de production sont
convexes, alors (premier théorème du bien-être) tout équilibre général
est un optimum de Pareto et (Second théorème du bien-être) on peut
associer à tout optimum de Pareto un vecteur de prix tel que cet
optimum soit un équilibre de concurrence parfaite (à ces prix).
7) A l’équilibre général, l’agent A dispose du panier (2 , 6). En
déduire l’allocation des ressources d’équilibre général, ainsi que le
rapport des prix d’équilibre général. (2 points)
Lorsque l’agent A dispose du panier (2 , 6), l’allocation des ressource
est {(2 , 6) , (4 – 2 , 9 – 6)}, à savoir {(2 , 6) , (2 , 3)}.
Les dotations initiales de A étant (4 , 0), celui-ci détient le panier (2 , 6)
après a cédé deux biens 1 en échange de 6 biens 2, ce qu’il a donc fait
au prix du bien 1 en bien 2 égal à 3. Le rapport de prix d’équilibre
général est : (p1/p2)* = 3.
SUJET B
Question (3 points)
Quel(s) lien(s) existe-t-il entre l’optimum de Pareto et la justice ? (15
lignes maximum)
Exercice
Soit une économie formée de deux ménages, A et B, définis par la
même fonction d’utilité que le consommateur de l’exercice I :
UA(q1, q2) = (q1 q2)1/2 et UB(q1, q2) = q1q21/3
et par les dotations initiales suivantes :
Q°A = (0 , 4) et Q°B = (16 , 0)
1) La situation initiale est-elle un optimum de Pareto ? Expliquer
en détail pourquoi. (2 points)
2) En additionnant les contraintes budgétaires des agents,
montrer que la loi de Walras est vérifiée dans cette économie.
Vous expliquerez tout ce que vous faites. (3 points)
3) Déterminer l’ensemble des états réalisables de cette économie
(1,5 points).
4) Déterminer la courbe des contrats de cette économie (expliquez
tout !). Que représente-t-elle ? Représentez-la dans une boîte
d’Edgeworth. Cette courbe passe-t-elle par l’allocation {(0 , 0),
(16 , 4)} ? Le cas échéant, pourquoi ? (5 points)
5) Le prix relatif p1/p2 = 1 est-il un prix d’équilibre de concurrence
parfaite de cette économie ? (2 points)
6) Quelles dotations initiales les agents auraient-ils dû avoir pour
que la situation initiale soit un optimum de Pareto ? un
équilibre de concurrence parfaite ? (1,5 points)
7) A l’équilibre général, l’agent B dispose du panier (12 , 2). En
déduire l’allocation des ressources d’équilibre général, ainsi
que le rapport des prix d’équilibre général. (2 points)