Semaine du

Dossier n°7. Optimalité et justice
EXERCICE 1 – DIAGRAMME D’EDGEWORTH ET ECHANGE BILATERAL : CAS STANDARD
On considère une économie à deux biens et deux consommateurs ayant la même relation de
préférence, représentée par la fonction d’utilité U (q1 , q2) = q1q2.
1. On suppose que les ressources disponibles de l’économie comprennent 3 unités de bien (1)
et 6 unités de bien (2). Définissez la courbe des contrats, déterminez son équation et
représentez-la dans un diagramme d’Edgeworth.
La courbe des contrats relie les états réalisables (allocations des ressources) tel(le)s qu’il
est impossible d’améliorer la satisfaction d’un agent sans détériorer celle d’un autre,
autrement dit les optima de Pareto (OP).
Pour déterminer la courbe des contrats, on n’a besoin que des fonctions d’utilité et des
conditions initiales.
Les états réalisables de l’économie sont les allocations des ressources :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)}
vérifiant :
q1A + q1B = 3
[1] et q2A + q2B = 6
[2].
puisque les ressources de l’économie comprennent 3 unités de bien 1 et 6 unités de bien 2.
Certains de ces états réalisables sont des optimums de Pareto (OP). Les OP sont tels qu’il
n’y a plus de possibilité d’échanges mutuellement avantageux, donc (étant donnée la forme
des courbes d’indifférence) tels que les TMS de tous les agents de l’éco sont égaux entre eux,
à savoir en désignant par A et par B les consommateurs :
𝑞
𝑞
TMSA(q1A , q2A) = 2𝐴 = TMSB(q1B , q2B) = 2𝐵
𝑞1𝐴
𝑞1𝐵
On a donc :
q2Aq1B = q1Aq2B
[3]
De ces trois équations ([1], [2] et [3]), on déduit celle de la courbe des contrats. Pour ce faire,
si on se situe dans le système d’axes (0, q1A, q2A), on remplace, dans [3], q1B et q2B selon les
équations [1] et [2], i.e. respectivement par 3 – q1A et 6 – q2A.
On obtient ainsi :
q2A(3 – q1A) = q1A(6 – q2A) [3’]
ou encore :
3q2A – q1Aq2A = 4q1A – q1Aq2A
ce qui donne :
3q2A = 6q1A
A savoir :
q2A = 2q1A [3’’]
avec 0 ≤ q1A ≤ 3 et 0 ≤ q2A ≤ 6.
On peut vérifier que cette fonction est croissante et qu’elle passe par (q1A , q2A) = (0 , 0) et par
(q1A , q2A) = (3, 6) (toujours).
1
On distribue maintenant les ressources de l’économie sous forme de dotations initiales. A
obtient le panier (3 , 3)
2. Quel est le panier attribué à B ?
Les états réalisables de l’économie sont les allocations des ressources {(q1A , q2A) , (q1B ,
q2B)} vérifiant :
q1A + q1B = 3
[1] et q2A + q2B = 6
[2].
Si q1A = q2A = 3, alors :
q1B = 3 – 3 = 0 et q2B = 6 – 3 = 3.
3. Les deux agents ont-ils intérêt à échanger ? Si tel est le cas, quels sont les taux d’échange
possibles ?
Ces deux agents ont les mêmes préférences, mais des dotations initiales différentes ; ils ont
donc intérêt à échanger.
Pour B, on peut ajouter (mais c’est superflu), qu’ayant des préférences pouvant être
représentées par une fonction d'utilité de type Cobb-Douglas, il trouve les deux biens
désirables. N’ayant pas de bien 1, il est donc prêt à faire des échanges à n’importe quel prix
relatif pour s’en procurer ne serait-ce qu’une infime quantité.
4. Représentez graphiquement les paniers de biens que les agents peuvent obtenir après
échange.
Boîte d’Edgeworth, allocation initiale des ressources, courbes d’indifférences passant par ces
paniers, et donc lentille, courbe des contrats. Les paniers de biens que les agents peuvent
obtenir après échange sont ceux qui sont à l’intersection de la lentille et de la courbe des
contrats.
On suppose enfin que les prix sont déterminés en concurrence parfaite.
5. Calculez les prix et l’allocation d’équilibre de cette économie.
∗
∗
∗
∗
Notons l’allocation concurrentielle {(𝑞1𝐴
, 𝑞2𝐴
) , (𝑞1𝐵
, 𝑞2𝐵
)}.
∗
∗
∗
∗
Puisqu’on peut exprimer 𝑞1𝐵 et 𝑞2𝐵 en fonction de 𝑞1𝐴 et 𝑞2𝐴
, on néglige B pour l’instant :
∗
∗
∗
∗
l’allocation concurrentielle est : {(𝑞1𝐴 , 𝑞2𝐴 ) , (3 − 𝑞1𝐴 , 6 − 𝑞2𝐴)}.
L’allocation concurrentielle étant un OP, elle vérifie l’équation de la courbe des contrats :
∗
∗
𝑞2𝐴
= 2𝑞1𝐴
[3’’].
Par ailleurs, elle est telle que le prix relatif permettant de passer des dotations initiales à
cette allocation est égal au TMS des agents pour l’allocation finale, donc par exemple au TMS
∗
∗
de A. Puisque A passe de (3 , 3) à (𝑞1𝐴
, 𝑞2𝐴
) en cédant du bien 1 pour obtenir du bien 2
∗
∗
(puisque B ne peut céder du bien 1), il donne 3 – 𝑞1𝐴
unités de bien 1 pour obtenir 𝑞2𝐴
–3
unités de bien 2. Le prix relatif (implicite) de cet échange est donc :
𝑝
∗
𝑞 ∗ −3
2𝐴
(𝑝1 ) = 3−𝑞
∗ .
2
1𝐴
L’allocation concurrentielle permettant à A de maximiser sa satisfaction, elle vérifie :
𝑝
∗
∗
∗
TMSA(𝑞1𝐴
, 𝑞2𝐴
) = (𝑝1 ) .
Comme
𝑞
∗
∗
TMSA(𝑞1𝐴
, 𝑞2𝐴
) = 𝑞2𝐴
1𝐴
et
𝑝 ∗
comme (𝑝1 )
2
2
=
∗
𝑞2𝐴
−3
∗ ,
3−𝑞1𝐴
la seconde équation que doit vérifier le
panier de A au point de l’allocation concurrentielle est donc :
∗
𝑞2𝐴
𝑞1𝐴
𝑞∗ −3
2𝐴
= 3−𝑞
∗
[4].
1𝐴
En résolvant le système de deux équations [3’’] et [4] :
2
∗
∗
𝑞2𝐴
= 2𝑞1𝐴
∗
∗
𝑞 −3 ,
{𝑞2𝐴
= 2𝐴 ∗
∗
𝑞1𝐴
3−𝑞1𝐴
∗
on obtient (en remplaçant, dans la seconde équation, 𝑞2𝐴
par son expression dans la
première équation) :
∗
∗
𝑞2𝐴
= 2𝑞1𝐴
∗
∗
2𝑞1𝐴 −3
{2𝑞1𝐴
= 3−𝑞
∗
𝑞
1𝐴
1𝐴
Ou encore :
∗
∗
𝑞2𝐴
= 2𝑞1𝐴
2𝑞 ∗ −3
{
2 = 1𝐴∗
3−𝑞1𝐴
Ce qui donne (produit en croix dans la seconde équation) :
∗
∗
𝑞2𝐴
= 2𝑞1𝐴
{
∗
∗
6 − 2𝑞1𝐴
= 2𝑞1𝐴
−3
A savoir :
∗
𝑞 ∗ = 2𝑞1𝐴
{ 2𝐴 ∗
4𝑞1𝐴 = 9
D’où :
9
∗
𝑞2𝐴
=
2
{
9
∗
𝑞1𝐴 =
4
Puis, en remplaçant dans [1] et [2], on obtient :
3
3
∗
∗
𝑞1𝐵
= 4 et 𝑞2𝐵
= 2.
L’allocation d’équilibre concurrentiel de cette économie est donc :
9 9
3 3
{(4 , 2) , (4 , 2)}.
9 9
3 3
On a alors égalité des TMS des agents : TMSA(4 , 2) = 2 = TMSB(4 , 2).
Le rapport des prix d’équilibre de concurrence parfaite est donc :
∗
𝑝
(𝑝1 ) = 2.
2
Autre méthode :
On détermine les demandes de bien (1) et de bien (2) de A et de B (programmes du
consommateur):
3
2
q1A = +
3𝑝2
,
2𝑝1
q2A =
3𝑝1
2𝑝2
3
2
+ ,
q1B =
3𝑝2
,
2𝑝1
A l’équilibre de concurrence parfaite, on a :
q2A + q2B = 6.
Ce qui donne :
3𝑝1
2𝑝2
3
3
+ 2 + 2 = 6.
D’où :
𝑝
∗
(𝑝1 ) = 2.
2
C’est le rapport de prix d’équilibre de concurrence parfaite.
3
3
2
q2B = .
L’allocation d’équilibre est alors :
3
3
{(2 + 2×2 ,
3×2
3
3 3
+ ),(
, )}.
2
2
2×2 2
A savoir :
9 9
3 3
{( , ) , ( , )}
4 2
4 2
EXERCICE 2. DIAGRAMME D’EDGEWORTH : OPTIMALITE ET REDISTRIBUTION
On considère une économie qui comporte les mêmes ressources et les mêmes agents, ayant les
mêmes préférences, que dans l’exercice 1, mais avec une distribution différente des ressources
disponibles entre les agents.
1. Les ressources sont distribuées de manière exactement égale entre les deux agents : chaque
agent possède le même panier de biens. L’allocation considérée est-elle un optimum de
Pareto ? S’il existe des possibilités d’échange mutuellement avantageux, expliquez pourquoi.
Les deux agents sont identiques : ils ont les mêmes préférences et les mêmes dotations
3
initiales – chacun ayant le panier (2 , 3). Il n’existe donc aucune possibilité d’échange
mutuellement avantageux (leurs TMS à leur panier de dotations initiales sont égaux, de sorte
que, pour chaque rapport de prix différent de leur TMS à leur panier de dotations initiales, ils
veulent tous les deux céder du même bien pour acquérir le même bien). L’allocation initiale
est donc un optimum de Pareto.
2. Existe-t-il des échanges mutuellement avantageux pour cette répartition des ressources si
les préférences de l’agent A sont maintenant représentées par la fonction d’utilité : UA (q1A ,
q2A) = q1A1/3 q2A2/3, celles de B ne variant pas.
Oui. Les agents ont en effet le même panier de dotations initiales, mais pas les mêmes
préférences. Il existe donc des échanges mutuellement avantageux (on peut vérifier ceci en
montrant que leurs TMS à leur panier de dotations initiales sont différents).
3. On suppose enfin que toutes les ressources disponibles de l’économie sont détenues par
l’agent A. L’allocation considérée est-elle un optimum de Pareto ?
L’allocation considérée est un optimum de Pareto. En effet, l’agent B ne disposant de rien, il
n’y a aucun échange mutuellement avantageux possible. Si A n’aimait pas l’un des biens, il
pourrait le donner à B sans diminuer sa satisfaction, mais ce n’est pas le cas.
QUESTION 1 – Commentez les résultats obtenus dans les exercices 1 et 2.
9 9
3 3
3
3
Les trois allocations des ressources {(4 , 2) , (4 , 2)}, {(2 , 3) , (2 , 3)} et {(3,6), (0,0)} sont des
optima de Pareto (elles sont toutes sur la courbe des contrats).
Le critère d’optimalité parétienne n’est donc visiblement pas un critère de justice
distributive : il peut coexister avec une multiplicité de répartitions. C’est le critère
d’efficacité de la théorie néoclassique puisqu’on y définit l’efficacité par l’optimalité au sens
de Pareto.
3
3
Par ailleurs, l’allocation égalitaire {(2 , 3) , (2 , 3)} n’est pas nécessairement optimale au sens
de Pareto : elle l’est lorsque les préférences des agents sont identiques, pas, lorsqu’elles ne
le sont pas.
4
TEXTE : Amartya Sen, 1987, Ethique et économie, PUF, p. 31-37.
« Un état social est défini comme optimal au sens de Pareto si et seulement s’il est impossible
d’accroître l’utilité d’une personne sans réduire celle d’une autre personne. Il s’agit là d’une
réussite très limitée qui ne garantit pas nécessairement, par elle-même, d’excellents résultats.
Un état peut être optimal au sens de Pareto même si certains individus sont extrêmement
pauvres et d’autres immensément riches, dès lors qu’on ne peut pas améliorer le sort des
indigents sans toucher au luxe des riches (…). L’optimum de Pareto n’accorde aucune attention
aux questions de répartition de l’utilité.
(…) Les théorèmes de l’économie du bien-être mettent en relation l’optimum de Pareto, et les
résultats de l’équilibre du marché dans les conditions de concurrence parfaite (…). On juge
raisonnable de supposer que le meilleur état doit être au moins optimal au sens de Pareto, et donc
que le meilleur état doit lui aussi pouvoir être atteint grâce au mécanisme de la concurrence. On
a envisagé diverses procédures pour compléter le principe de Pareto par des jugements sur la
répartition (…).
Il est difficile d’appliquer [le second théorème] à l’action des pouvoirs publics, en partie parce que
les informations nécessaires pour calculer la répartition initiale des ressources sont
contraignantes et très difficiles à obtenir (…). Par ailleurs, même si ces informations étaient
disponibles, on ne pourrait appliquer le second théorème que s’il était politiquement possible de
redistribuer les ressources entre les individus en fonction d’un optimum social. (…) Les
questions de faisabilité politique seraient extrêmement importantes dans un domaine aussi
fondamental qu’une modification radicale de la propriété. Bien que le second théorème soit
souvent invoquée par des milieux assez conservateurs pour justifier l’action bénéfique des
mécanismes du marché, il ne peut être réellement utilisé que dans la perspective hypothétique
d’un ‘manuel révolutionnaire’ qui préconiserait une transformation de la propriété des moyens
de production comme préalable au libre fonctionnement du marché ».
QUESTION 2 – Discutez la « faisabilité politique » du second théorème du bien-être.
EXERCICE 3 (FACULTATIF) – DIAGRAMME D’EDGEWORTH ET COURBE DES CONTRATS : CAS NON STANDARD
On considère une économie d’échange composée de deux biens, notés 1 et 2, dont les quantités
disponibles dans l’économie sont de 4 unités pour chaque bien, et deux agents, notés A et B.
On suppose que l’agent A n’aime pas le bien 1. B aime les deux biens et ses courbes
d’indifférence sont continues, décroissantes et convexes mais ne sont pas asymptotes aux axes.
1. Qu’est-ce que le critère de Pareto ?
Le critère de Pareto étant un critère de comparaison de deux états réalisables stipulant qu’un
état réalisable est préféré à un autre s’il lui est préféré au sens large par l’ensemble des
agents et au sens strict par au moins l’un d’entre eux.
2. On considère deux états réalisables de l’économie : l’état E1 dans lequel B a le panier ( 4 , 0 )
et l’état E2 dans lequel B a le panier ( 4 , 1) . Sont-ils comparables selon le critère de Pareto ?
Comme il y a 4 unités de chaque bien dans l’économie, si B a le panier (4 , 0), alors A a le
panier : (4 – 4 , 4 – 0) = (0 , 4). L’état réalisable E1 est donc :
E1 = {(0 , 4) , (4 , 0)}.
5
De même, si B a le panier (4 , 1), alors A a le panier (0 , 3). L’état réalisable E2 est donc :
E2 = {(0 , 3) , (4 , 1)}.
A préfère E1 à E2, puisqu’il y a plus de bien 2 et autant de bien 1, B préfère E2 à E1, puisqu’il y
a plus de bien 2 et autant de bien 1. E1 et E2 ne sont donc pas comparables selon le critère de
Pareto.
3. Même question pour les deux états réalisables E3, dans lequel B a le panier (0 , 4), et E4, dans
lequel B a le panier (1 , 4).
Comme il y a 4 unités de chaque bien dans l’économie, si B a le panier (0 , 4), alors A a le
panier (4 – 0 , 4 – 4) = (4 , 0). L’état réalisable E3 est donc :
E3 = {(4 , 0) , (0 , 4)}.
De même, si B a le panier (1 , 4), alors A a le panier (3 , 0). L’état réalisable E4 est donc :
E4 = {(3 , 0) , (1 , 4)}.
Comme A n’aime pas le bien 1, il est indifférent entre E3 et E4, puisqu’il a autant de bien 2
dans ces deux états. B, quant à lui, préfère E4 à E3, puisqu’il y a plus de bien 1 et autant de
bien 2.
E4 étant préféré à E3 au sens large par A et au sens strict par B, il lui est préféré selon le
critère de Pareto.
4. Représentez cette économie (sans nécessairement dessiner les courbes d’indifférence des
agents) dans un diagramme d’Edgeworth et tracez la courbe des contrats.
Diagramme : carré de côtés égaux à 4.
La courbe des contrats relie tous les optima de Pareto (OP). Or les OP impliquent que A ne dispose pas
de bien 1.
Dessin de la courbe des contrats sur l’axe des ordonnées de A
6