1 Sujet A Soit une économie à deux biens, (1) et (2), et deux agents

Sujet A
Soit une économie à deux biens, (1) et (2), et deux agents, A et B.
Situation initiale : l’agent A a pour dotations initiales le panier (0 , 8). L’agent B a pour
dotations initiales le panier (8 , 4).
1. On suppose que les courbes d’indifférence des agents ont la forme habituelle.
L’agent A est-il prêt à faire des échanges ? Pourquoi ? (2 points)
Si les courbes d’indifférence ont la forme habituelle, alors elles sont asymptotes
aux axes : les biens sont « désirables » au sens où l’agent préfère un panier Q
contenant une quantité strictement positive de bien (1) et une quantité
strictement positive de bien (2) à un panier Q’ ne contenant pas de l’un des deux
biens, et ce, quelle que soit la quantité de l’autre bien que ce panier contient et les
quantités de bien (1) et (2) que le panier Q contient.
Comme le panier Q0 de dotations initiales de A ne contient pas de bien (1), cet
agent est en conséquence prêt à céder du bien (2) – plus précisément une quantité
strictement inférieure à 8 de bien (2) – en échange de n’importe quelle quantité
strictement positive de bien (1).
2. On suppose que les préférences de l’agent A peuvent être représentées par la
fonction u(∙) définie par : u(q1 , q2) = 𝑞13 𝑞2 .
a. Après avoir rappelé la définition du taux marginal de substitution, déterminer
le taux marginal de substitution de A en un panier quelconque. (2 points)
Taux marginal de substitution entre le bien (1) et le bien (2) : c’est
approximativement la quantité de bien (2) que le consommateur doit
échanger contre une unité de bien (1) pour garder la même satisfaction.
Détermination du TMS :
′ (𝑞 ,𝑞 )
𝑢𝑞
1 2
TMS (q1 , q2) = 𝑢′ 1 (𝑞
𝑞2
1 ,𝑞2
=
)
3𝑞12 𝑞2
𝑞13
=
3𝑞2
𝑞1
b. En déduire son taux marginal de substitution en son panier de dotations
initiales, puis les taux d’échange du bien (1) en bien (2) que A est susceptible
d’accepter ? Expliquer. (3 point)
Quand q1 tend vers 0 (par valeur positive… c’est une quantité),
+∞ dès lors que q2 est un réel strictement positif. On a donc :
TMS (q1 , q2) →
+ ∞.
3𝑞2
𝑞1
tend vers
𝑞1 →0
𝑞2 →8
Dans le cadre des hypothèses habituelles sur les préférences, et notamment la
non saturation des besoins, on appelle taux marginal de substitution entre le
bien (1) et le bien (2) la quantité maximale de bien (2) que l’agent est prêt à
céder pour obtenir une unité supplémentaire de bien (1). C’est son prix de
réserve du bien (1) en bien (2).
C’est donc plus précisément le prix du bien (1) en bien (2) au-delà duquel il
renonce à acquérir une quelconque quantité de bien (1).
Comme ce prix de réserve tend vers +∞ à son panier de dotations initiales, A
est susceptible d’accepter n’importe quel prix positif du bien (1) en bien (2)
pour acquérir du bien (1). Ce qu’on avait compris dans notre réponse à la
1
question (1) – puisqu’on a dit que A était susceptible d’échanger une quantité
strictement inférieure à 8 de bien (2) contre n’importe quelle quantité y
compris « très petite » (infinitésimale) de bien (1).
c. Déterminer ses fonctions d’offre et de demande concurrentielles de bien (1) et
de bien (2) pour des prix p1 et p2 quelconques. (4 points)
La fonction d’utilité étant de type Cobb-Douglas, les courbes d’indifférences
sont continues, décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. Les quantités
q1 et q2 demandées par le consommateur sont donc les solutions du système :
𝑝
TMS(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑝1
2.
S:{
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 𝑅
Où R est le revenu que l’agent tire de la vente de ses dotations initiales.
Ceci donne, pour p1 et p2 quelconques:
3𝑞2
𝑝1
=
{
𝑝2
𝑞1
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 8𝑝2
La première équation nous permet d’exprimer 𝑝1 𝑞1 en fonction de 𝑝2 𝑞2 :
3𝑝2 𝑞2 = 𝑝1 𝑞1
{
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 8𝑝2
On substitue alors, dans la seconde équation, 𝑝1 𝑞1 par 3𝑝2 𝑞2 , ce qui donne :
3𝑝 𝑞 = 𝑝1 𝑞1
{ 2 2
.
4𝑝2 𝑞2 = 8𝑝2
D’où :
𝑝2
𝑝2
𝑞1 = 3 𝑞2 = 6
𝑝1
𝑝1
8𝑝2
𝑞2 =
=2
{
4𝑝2
Les fonctions de demande concurrentielle de bien (1) et de bien (2) de A sont
donc respectivement :
𝑝
𝑑1𝐴 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 6 𝑝2 et 𝑑2𝐴 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 2.
1
Ses fonctions d’offre de bien (1) et de bien (2) étant quant à elles :
𝑜1𝐴 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 0 et 𝑜2𝐴 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 8.
3. On suppose que la demande globale concurrentielle de bien (1) est :
𝑝
𝑑1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 8 𝑝2 + 4.
1
Après avoir rappelé la définition du concept de demande nette, déterminer la
demande nette globale de bien (1). (2 points)
On appelle demande nette de bien (i) la demande excédentaire de bien (i),
autrement dit la différence entre la demande de bien (i) et l’offre de bien (i).
La demande nette globale de bien (1) est donc égale à la différence entre la
demande globale de bien (1) et l’offre globale de bien (1). Comme A ne détient pas
de bien (1), seul B en offre. Et il offre la totalité de ses dotations initiales, à savoir
8 biens (1). La demande nette globale de bien (1) est donc :
𝑝2
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 𝑑1 (𝑝1 , 𝑝2 ) − 𝑜1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 8 + 4 − 8
𝑝1
D’où :
𝑝2
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 8 − 4
𝑝1
2
4. Déterminer les prix d’équilibre général de concurrence parfaite de cette
économie. Expliquer. (2 points)
Les prix d’équilibre général de concurrence parfaite sont ceux qui annulent les
demandes nettes de chaque bien.
On sait qu’une conséquence de la loi de Walras est que, dans une économie à n
biens, si les demandes nettes de n – 1 biens sont nulles, alors la demande nette du
nème bien l’est aussi. Il s’ensuit que, dans une économie à deux biens, si la demande
nette d’un bien est nulle, alors la demande nette de l’autre bien l’est aussi.
Les prix d’équilibre général de notre économie sont donc ceux qui annulent la
demande nette de bien (1) (ou de bien (2), mais on ne la connait pas). Ce sont
donc les prix vérifiant l’équation :
[1]
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 0
𝑝2
𝑝2
𝑝1
Or [1] ⇒ 8 𝑝 − 4 = 0 ⇒ 8 𝑝 = 4 ⇒ 𝑝 = 2.
1
1
2
Le rapport de prix d’équilibre général de concurrence parfaite de cette économie
est donc :
∗
𝑝
(𝑝1 ) = 2.
2
5. Représenter, dans un diagramme d’Edgeworth, l’allocation initiale, puis
l’allocation concurrentielle des ressources de cette économie. Expliquer. (5
points)
Les ressources de cette économie sont les quantités disponibles de biens (1) et
(2). Et comme cette économie est sans production, la quantité de bien (1)
disponible dans l’économie, ̅̅̅,
𝑞1 est la somme des dotations initiales en bien (1)
des deux agents :
𝑞1 = 0 + 8 = 8.
̅̅̅
Même chose pour ̅̅̅,
𝑞2 la quantité de bien (2) disponible dans l’économie. C’est la
somme des dotations initiales en bien (2) des deux agents :
𝑞2 = 4 + 4 = 8.
̅̅̅
Si l’on note (q1A , q2A) le panier de biens que possède A et (q1B , q2B) le panier de
biens que possède B, alors une allocation des ressources de cette économie est :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} avec q1A + q1B = 8 et q2A + q2B = 8.
Le diagramme d’Edgeworth représente l’ensemble des allocations des ressources
(ou états réalisables) d’une économie d’échange pur (sans production) lorsque
celle-ci est composée de deux agents (ici A et B) et de deux biens (ici (1) et (2)).
C’est un rectangle, une « boîte », dont la base représente la quantité de bien (1)
disponible dans l’économie (à savoir 8) et dont la hauteur représente la quantité
de bien (2) disponible dans l’économie (à savoir 12).
Chaque point du rectangle représente dès lors une allocation des ressources
(encore appelée « état réalisable ») de l’économie. L’abscisse et l’ordonnée d’un
point quelconque donnent respectivement les quantités de bien (1) et de bien (2)
détenues par A lorsque l’on regarde le rectangle à l’endroit, et détenues par B
lorsqu’on le regarde à l’envers (puisque la quantité de bien (1) détenue par B est
égale à 8 moins la quantité de bien (1) détenue par A, et la quantité de bien (2)
détenue par B est égale à 8 moins la quantité de bien (2) détenue par A).
Dans notre exemple, l’allocation initiale des ressources est :
3
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} = {(0 , 8) , (8 , 4)}
A l’équilibre général de concurrence parfaite, l’agent A a :
𝑝
∗
6
𝑞1𝐴 = 6 (𝑝2 ) = 2 = 3 et 𝑞2𝐴 = 2 (voir réponse à la question 2.c.) ;
1
L’agent B a donc le reste, à savoir :
q1B = 8 – q1A = 8 – 3 = 5 et q2B = 8 – q2A= 8 – 2 = 6.
L’allocation concurrentielle des ressources de cette économie est donc :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} = {(3 , 2) , (5 , 6)}.
4
Sujet B
Soit une économie à deux biens, (1) et (2), et deux agents, A et B.
Situation initiale : l’agent A a pour dotations initiales le panier (2 , 10). L’agent B a
pour dotations initiales le panier (5 , 0).
1. On suppose que les courbes d’indifférence des agents ont la forme habituelle.
L’agent B est-il prêt à faire des échanges ? Pourquoi ? (2 points)
Si les courbes d’indifférence ont la forme habituelle, alors elles sont asymptotes
aux axes : les biens sont « désirables » au sens où l’agent préfère un panier Q
contenant une quantité strictement positive de bien (1) et une quantité
strictement positive de bien (2) à un panier Q’ ne contenant pas de l’un des deux
biens, et ce, quelle que soit la quantité de l’autre bien que ce panier contient et les
quantités de bien (1) et (2) que le panier Q contient.
Comme le panier Q0 de dotations initiales de B ne contient pas de bien (2), cet
agent est en conséquence prêt à céder du bien (1) – plus précisément une quantité
strictement inférieure à 5 de bien (1) – en échange de n’importe quelle quantité
strictement positive de bien (2).
2. On suppose que les préférences de l’agent B peuvent être représentées par la
fonction u(∙) définie par : u(q1 , q2) = 𝑞1 𝑞24 .
a. Après avoir rappelé la définition du taux marginal de substitution, déterminer
le taux marginal de substitution de B en un panier quelconque. (2 points)
Taux marginal de substitution entre le bien (1) et le bien (2) : c’est
approximativement la quantité de bien (2) que le consommateur doit
échanger contre une unité de bien (1) pour garder la même satisfaction.
Détermination du TMS :
′ (𝑞 ,𝑞 )
𝑢𝑞
1 2
TMS (q1 , q2) = 𝑢′ 1 (𝑞
𝑞2
1 ,𝑞2
𝑞4
= 2 =
) 4𝑞 𝑞3
1 2
𝑞2
4𝑞1
b. En déduire son taux marginal de substitution en son panier de dotations
initiales, puis les taux d’échange du bien (2) en bien (1) que B est susceptible
d’accepter ? Expliquer. (3 points)
TMS (5 , 0) = 0/4(5) = 0.
Dans le cadre des hypothèses habituelles sur les préférences, et notamment la
non saturation des besoins, on appelle taux marginal de substitution entre le
bien (1) et le bien (2) la quantité maximale de bien (2) que l’agent est prêt à
céder pour obtenir une unité supplémentaire de bien (1). C’est son prix de
réserve du bien (1) en bien (2).
C’est donc plus précisément le prix du bien (1) en bien (2) au-delà duquel il
renonce à acquérir une quelconque quantité de bien (1).
Comme ce prix de réserve est égal à 0 à son panier de dotations initiales, B
n’est pas prêt à acquérir du bien (1) (ce que, de toutes façons il ne peut faire
car il n’a rien à offrir en échange), et ce, quel que soit le prix du bien (1) en
bien (2). En revanche, il est prêt à acquérir du bien (2) en échange de bien (1)
à n’importe quel prix du bien (2) en bien (1). Ce que l’on avait compris dans
notre réponse à la question (1) – puisqu’on a dit que B était susceptible
d’échanger une quantité strictement inférieure à 5 de bien (1) contre
n’importe quelle quantité y compris « très petite » (infinitésimale) de bien (2).
5
c. Déterminer ses fonctions d’offre et de demande concurrentielles de bien (1) et
de bien (2) pour des prix p1 et p2 quelconques. (4 points)
La fonction d’utilité étant de type Cobb-Douglas, les courbes d’indifférences
sont continues, décroissantes, convexes et asymptotes aux axes. Les quantités
q1 et q2 demandées par le consommateur sont donc les solutions du système :
𝑝
TMS(𝑞1 , 𝑞2 ) = 𝑝1
2.
S:{
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 𝑅
où R est le revenu que l’agent tire de la vente de ses dotations initiales.
Ceci donne, pour p1 et p2 quelconques:
𝑞2
𝑝1
=
{
𝑝2
4𝑞1
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 5𝑝1
La première équation nous permet d’exprimer 𝑝1 𝑞1 en fonction de 𝑝2 𝑞2 :
𝑝2 𝑞2 = 4𝑝1 𝑞1
{
𝑝1 𝑞1 + 𝑝2 𝑞2 = 5𝑝1
On substitue alors, dans la seconde équation, 𝑝2 𝑞2 par 4𝑝1 𝑞1 , ce qui donne :
𝑝 𝑞 = 4𝑝1 𝑞1
{ 2 2
5𝑝1 𝑞1 = 5𝑝1
D’où :
𝑝1
𝑝1
𝑞2 = 4 𝑞1 = 4
𝑝2
𝑝2
{
𝑞1 = 1
Les fonctions de demande concurrentielle de bien (1) et de bien (2) de B sont
donc respectivement :
𝑝
𝑑1𝐵 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 1 et 𝑑2𝐵 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 4 1.
𝑝2
Ses fonctions d’offre de bien (1) et de bien (2) étant quant à elles :
𝑜1𝐵 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 5 et 𝑜2𝐵 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 0.
3. On suppose que la demande globale concurrentielle de bien (1) est :
𝑝
𝑑1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 5 𝑝2 + 2.
1
Après avoir rappelé la définition du concept de demande nette, déterminer la
demande nette globale de bien (1). (2 points)
On appelle demande nette de bien (i) la demande excédentaire de bien (i),
autrement dit la différence entre la demande de bien (i) et l’offre de bien (i).
La demande nette globale de bien (1) est donc égale à la différence entre la
demande globale de bien (1) et l’offre globale de bien (1). Comme A détient 2
biens (1) et B, 5, l’offre globale de bien (1) est 7. La demande nette globale de bien
(1) est donc :
𝑝2
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 𝑑1 (𝑝1 , 𝑝2 ) − 𝑜1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 5 + 2 − 7
𝑝1
D’où :
𝑝2
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 5 − 5
𝑝1
6
4. Déterminer les prix d’équilibre général de concurrence parfaite de cette
économie. Expliquer. (2 points)
Les prix d’équilibre général de concurrence parfaite sont ceux qui annulent les
demandes nettes de chaque bien.
On sait qu’une conséquence de la loi de Walras est que, dans une économie à n
biens, si les demandes nettes de n – 1 biens sont nulles, alors la demande nette du
nème bien l’est aussi. Il s’ensuit que, dans une économie à deux biens, si la demande
nette d’un bien est nulle, alors la demande nette de l’autre bien l’est aussi.
Les prix d’équilibre général de notre économie sont donc ceux qui annulent la
demande nette de bien (1) (ou de bien (2), mais on ne la connait pas). Ce sont
donc les prix vérifiant l’équation :
[1]
𝑒1 (𝑝1 , 𝑝2 ) = 0
𝑝2
𝑝2
𝑝1
Or [1] ⇒ 5 𝑝 − 5 = 0 ⇒ 5 𝑝 = 5 ⇒ 𝑝 = 1.
1
1
2
Le rapport de prix d’équilibre général de concurrence parfaite de cette économie
est donc :
∗
𝑝
(𝑝1 ) = 1.
2
5. Représenter, dans un diagramme d’Edgeworth, l’allocation initiale, puis
l’allocation concurrentielle des ressources de cette économie. (5 points)
Les ressources de cette économie sont les quantités disponibles de biens (1) et
(2). Et comme cette économie est sans production, la quantité de bien (1)
disponible dans l’économie, ̅̅̅,
𝑞1 est la somme des dotations initiales en bien (1)
des deux agents :
𝑞1 = 2 + 5 = 7.
̅̅̅
Même chose pour ̅̅̅,
𝑞2 la quantité de bien (2) disponible dans l’économie. C’est la
somme des dotations initiales en bien (2) des deux agents :
𝑞2 = 10 + 0 = 10.
̅̅̅
Si l’on note (q1A , q2A) le panier de biens que possède A et (q1B , q2B) le panier de
biens que possède B, alors une allocation des ressources de cette économie est :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} avec q1A + q1B = 7 et q2A + q2B = 10.
Le diagramme d’Edgeworth représente l’ensemble des allocations des ressources
(ou états réalisables) d’une économie d’échange pur (sans production) lorsque
celle-ci est composée de deux agents (ici A et B) et de deux biens (ici (1) et (2)).
C’est un rectangle, une « boîte », dont la base représente la quantité de bien (1)
disponible dans l’économie (à savoir 7) et dont la hauteur représente la quantité
de bien (2) disponible dans l’économie (à savoir 10).
Chaque point du rectangle représente dès lors une allocation des ressources
(encore appelée « état réalisable ») de l’économie. L’abscisse et l’ordonnée d’un
point quelconque donnent respectivement les quantités de bien (1) et de bien (2)
détenues par A lorsque l’on regarde le rectangle à l’endroit, et détenues par B
lorsqu’on le regarde à l’envers (puisque la quantité de bien (1) détenue par B est
égale à 8 moins la quantité de bien (1) détenue par A, et la quantité de bien (2)
détenue par B est égale à 8 moins la quantité de bien (2) détenue par A).
Dans notre exemple, l’allocation initiale des ressources est :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} = {(2 , 10) , (5 , 0)}
7
A l’équilibre général de concurrence parfaite, l’agent B a :
𝑝
∗
𝑞1𝐵 = 1 et 𝑞2𝐵 = 4 (𝑝1 ) = 4 (voir réponse à la question 2.c.) ;
2
L’agent A a donc le reste, à savoir :
q1A = 7 – 1 = 6 et q2A = 10 – 4 = 6.
L’allocation concurrentielle des ressources de cette économie est donc :
{(q1A , q2A) , (q1B , q2B)} = {(6 , 6) , (1 , 4)}.
8