AQUISAV - Evaluation

Aquisav - DOCUMENTATION
Métier : CULTURE GÉNÉRALE
Domaine de compétences : SCI- géométrie dans le plan
Code : COM-201001-012057
Intitulé de la compétence : Résoudre des équations trigonométriques
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SOMMAIRE
1)
INTRODUCTION
2)
DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
3)
INSUFFISANCES D LA CALCULATRICE
4)
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
5)
EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
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COURS
I.
INTRODUCTION
Résoudre une équation trigonométrique signifie déterminer la valeur de l’angle ou des angles dont on
connaît le sinus, le cosinus ou la tangente.
La calculatrice est généralement indispensable mais pas toujours suffisante.
On peut alors s’aider du cercle trigonométrique pour finaliser la réponse.
II.
DANS LE TRIANGLE RECTANGLE
Soit un triangle rectangle dont un côté de l’angle droit mesure 3cm et l’hypoténuse 6cm.
D’après les formules appliquées au triangle rectangle, on sait que :
 Le cosinus d’un angle =
 Le sinus d’un angle =
cos
=
=
=
= 0,5
En utilisant une calculatrice et la fonction inverse cosinus, avec la touche 2nd ou shift, selon les
modèles, on obtient :
sin
=
=
= 60°
= 0,5
D’après la calculatrice :
= 30°
On obtient les valeurs souhaitées.
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III.
INSUFFISANCES DE LA CALCULTRICE
Dans un cas plus général, on constate facilement les insuffisances des calculatrices.
Par exemple :
On cherche le sinus de 30°, la calculatrice donne : 0,5
On cherche le sinus de 150°, la calculatrice donne : 0,5 !
Si l’on fait l’opération inverse, la calculatrice donne pour un sinus égal à 0,5 un angle de 30°. Ne
pouvant afficher qu’un seul résultat, la calculatrice donne toujours l’angle le plus petit qui correspond
au sinus connu.
IV.
CERCLE TRIGONOMETRIQUE
Le cercle trigonométrique vient au secours de la calculatrice pour compléter la réponse.
Soit à déterminer un angle α sachant que sinus α = 0,5
D’après le cercle trigonométrique, on constate que :
Un sinus de 0,5 correspond à deux angles possibles : π/6 soit 30° et 5π/6 = 150°
On retrouve les deux valeurs du départ.
Le cercle trigonométrique ne donne pas les solutions exactes pour toutes les valeurs d’angles ou les
valeurs de cosinus, de sinus ou de tangente mais il permet de constater qu’à chaque valeur de sinus,
de cosinus ou de tangente, il correspond deux réponses possibles dans l’intervalle]- π ; + π] si l’on
travaille en radians ou dans l’intervalle]- 180 ; + 180] si l’on travaille en degrés.
Il devient évident que, pour choisir la bonne réponse, il ne suffit pas de connaître le sinus ou le cosinus
d’un angle, mais qu’il faut deux informations pour identifier l’angle avec certitude.
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Sur l’exemple précédent, connaissant le sinus de l’angle, il suffit de savoir que cet angle est inférieur à
90° ou que son cosinus est positif pour donner comme réponse 30°.
Sans précision supplémentaire, on donne toutes les solutions possibles.
V.
EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES
REMARQUE :
On ne peut résoudre des équations trigonométriques avec des valeurs exactes que pour les angles
figurant dans le tableau de valeurs particulières, sinon on donne des valeurs approchées avec la
précision demandée dans l’énoncé.
RAPPEL DU TABLEAU
Angle en radians
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cosinus
1
0
sinus
0
1
1. Equation du type : cos α = a
Grâce au cercle trigonométrique on constate que, dans l’intervalle]-π ; +π], deux angles dont
les valeurs sont opposées ont le même cosinus.
Par exemple :
cos
= cos ( -
cos
= cos ( -
)=
)=-
METHODE DE RESOLUTION
Exemple :
Cos α =
D’après le tableau :
Donc : α =
= cos
ou α = -
Cas général :
Cos α = a
Identifier à l’aide du tableau ou de la calculatrice l’angle β tel que : a = cos β.
On en déduit que, dans l’intervalle]-π ; + π] : α = β ou α = -β
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2. Equation du type : cos α = cos β
Dans l’intervalle]- π ; + π] la solution est immédiate :
Si cos α = cos β, alors α = β ou α = -β
3. Equation du type : cos (ax + b) = c
Résolution :
Identifier α tel que : c = cos α
Poser les deux équations :
ax + b = α ou ax +b = - α .
Résoudre chaque équation pour trouver les solutions en vérifiant que les résultats
appartiennent à l’intervalle précisé dans l’énoncé.
Exemple :
Résoudre dans l’intervalle]- π ; + π] l’équation :
Cos (2x - ) =
On sait que
Donc : 2x -
= cos
=
,
ou 2x -
=-
Résolution de chaque équation :
2x -
=
soit 2x =
+
x=
2x -
=-
soit 2x = -
+
x=
Les résultats obtenus appartiennent à l’intervalle défini dans l’énoncé donc ils sont solutions de
l’équation.
4. Equations du type : sin α = a
Pour résoudre les équations sinus, il faut utiliser la propriété : sin α = sin ( π - α )
Méthode de résolution :
Exemple : Résoudre sin α =
A l’aide du tableau ou de la calculatrice on a :
Donc α =
ou α = π -
= sin
=
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Cas général :
sin α = a
A l’aide du tableau ou de la calculatrice on identifie l’angle β tel que : a = sin β.
On en déduit que, dans l’intervalle]- π ; + π], α = β ou α = π – β
5. Equations du type : sin α = sin β
Dans l’intervalle]- π ; + π] les solutions sont : α = β ou α = π - β
6. Equations du type : sin (ax + b) = c
Identifier α tel que c = sin α
Poser les deux équations et les résoudre :
ax + b = α ou ax + b = π - α
Exemple : Résoudre dans l’intervalle]- π ; + π] l’équation : sin (3x +
D’après le tableau, on sait que :
D’où les équations : 3x +
=
)=
= sin
ou 3x +
=π-
Résolution des équations :
3x +
=
soit 3x = -
x=3x +
= π-
soit 3x =
x=
Les résultats appartiennent à l’intervalle défini dans l’énoncé donc ils sont solutions de
l’équation.
7. Equations du type : tan α = a
Sur le cercle trigonométrique on constate que : tan α = tan (α + π) = tan (α - π)
Pour résoudre les équations contenant la fonction tangente, on utilisera l’une ou l’autre des
égalités afin que les résultats obtenus appartiennent à l’intervalle de l’énoncé.
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Cas général :
Angle rad
tangente
0
0
π/6
/3
π/4
1
π/3
π/2
impossible
Exemple :
Résoudre dans l’intervalle]- π ; + π] l’équation : tan α =
On sait que
D’où α =
= tan
ou α =
,
+π=
Le deuxième résultat,
cette équation.
ou α =
-π=-
, n’appartient pas à l’intervalle ]- π ; + π ] donc il n’est pas solution de
Les solutions sont : et .
Cas général :
Résoudre dans l’intervalle]- π ; + π] l’équation : tan α = a
A l’aide du tableau ou de la calculatrice, on détermine l’angle β tel que : a = tan β
D’où : α = β ou α = β + π ou α = β - π
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8. Equations du type : tan α = tan β
Dans l’intervalle]-π ; + π], les solutions sont : α = β ou α = β + π ou α = β - π
Mais on ne garde que les solutions appartenant à l’intervalle donné.
9. Equations du type : tan (ax + b) = c
Identifier l’angle α tel que : c = tan α
Poser et résoudre les équations :
ax + b = α ou ax + b = α + π ou ax + b = α - π
Ne garder que les résultats appartenant à l’intervalle proposé.
Exemple :
Résoudre dans l’intervalle]- π ; + π] l’équation : tan (2x +
On sait que :
= tan
D’où 2x +
ou 2x +
=
=
+ π ou 2x +
=
)=
-π
Résolution des équations :
2x +
=
soit 2x =
-
=
=
+ π soit 2x =
+π-
=
– π soit 2x =
-π-
x=
2x +
=
x=
2x +
=-
x=Les trois résultats appartiennent à l’intervalle donné donc ils sont solutions de l’équation.
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