Corrigé du DL n 2 - Tivomaths

Première S
Octobre 2015
Corrigé du DL n°2
Thème : Sens de variation.
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I.
1. On note f + g la fonction définie sur I par (f + g)(x) = f (x) + g(x).
a) Supposons que f et g soient croissantes sur I.
®
f (a) 6 f (b) (∗)
Soient a, b ∈ I, tels que a < b. On a alors
g(a) 6 g(b) (∗∗)
Par suite,
֒→ en ajoutant g(a) aux deux membres de (∗), on obtient f (a) + g(a) 6 f (b) + g(a) ;
֒→ en ajoutant f (b) aux deux membres de (∗∗), on obtient f (b) + g(a) 6 f (b) + g(b).
Finalement, par transitivité, on a f (a) + g(a) 6 f (b) + g(b), c-à-d(f + g)(a) 6 (f + g)(b).
C’est donc que la fonction f + g est croissante sur I.
Ccl. La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle I est une fonction croissante sur I.
b) Supposons que f et g soient décroissantes sur I.
®
f (a) > f (b) (∗)
Soient a, b ∈ I, tels que a < b. On a alors
g(a) > g(b) (∗∗)
Par suite,
֒→ en ajoutant g(a) aux deux membres de (∗), on obtient f (a) + g(a) > f (b) + g(a) ;
֒→ en ajoutant f (b) aux deux membres de (∗∗), on obtient f (b) + g(a) > f (b) + g(b).
Finalement, par transitivité, on a f (a) + g(a) > f (b) + g(b), c-à-d(f + g)(a) > (f + g)(b).
C’est donc que la fonction f + g est décroissante sur I.
Ccl. La somme de deux fonctions décroissantes sur un intervalle I est une fonction décroissante
sur I.
c) ֒→ Considérons les fonctions linéaires f : x ∈ R 7→ 2x et g : x ∈ R 7→ −x. Selon un théorème vu
en 2nde , on sait que f est croissante sur R et g est décroissante sur R.
De plus, f + g : x ∈ R 7→ 2x + (−x) = x. Donc, f + g est une fonction croissante sur R.
֒→ Considérons à présent les fonctions linéaires f : x ∈ R 7→ 2x et g : x ∈ R 7→ −3x. Selon un
théorème vu en 2nde , on sait que f est croissante sur R et g est décroissante sur R.
De plus, f + g : x ∈ R 7→ 2x + (−3x) = −x. Donc, f + g est une fonction décroissante sur R.
Ccl. Grâce aux deux exemples précédents, on peut conclure qu’il est impossible d’énoncer une
règle générale donnant le sens de variation de la somme d’une fonction croissante et d’une fonction
décroissante sur un intervalle I.
2. On note f g la fonction définie sur I par (f g)(x) = f (x) × g(x).
a) Soient f : x ∈ I = R+∗ 7→ 2x et g : x ∈ I = R+∗ 7→ 3x.
֒→ F : x ∈ R 7→ 2x étant une fonction linéaire de cœfficient directeur positif, F est (strictement)
croissante sur R. Il suit, en particulier, que f est elle-aussi (strictement) croissante sur I = R+∗ .
Remarque. On dit que f est la restriction de F à I = R+∗ . On note cela : f = F I .
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֒→ G : x ∈ R 7→ 3x étant une fonction linéaire de cœfficient directeur positif, G est (strictement)
croissante sur R. Il suit, en particulier, que g est elle-aussi (strictement) croissante sur I = R+∗ .
Remarque. On dit que g est la restriction de G à R+∗ . On note cela : g = G I .
֒→ Par définition, f g : x ∈ I 7→ 2x × 3x = 6x2 . La fonction f g est donc de la forme λu où λ = 6
et u est la fonction carrée.
Puisque la fonction carrée est (strictement) croissante sur I = R+∗ et puisque 6 > 0, d’après
une propriété du cours, nous savons alors que f g est, elle-aussi (strictement) croissante sur
I = R+∗ .
Nous venons ainsi de rencontrer deux fonctions croissantes sur un intervalle I dont le produit f g
est, lui-aussi, une fonction croissante sur I.
1
b) Soient à présent f : x ∈ I = R+∗ 7→ x2 , g : x ∈ I = R+∗ 7→ − .
x
֒→ On sait que la fonction carrée est (strictement) croissante sur R+∗ . Par suite, f est (strictement)
croissante sur I = R+∗ .
1
֒→ On sait que la fonction inverse u : x ∈ R∗ 7→ est (strictement) décroissante sur R+∗ . D’après
x
1
une propriété du cours, on sait alors que la fonction −u : x ∈ R∗ 7→ − est (strictement)
x
croissante sur R+∗ . Autrement dit, g est (strictement) croissante sur R+∗ .
Å
1ã
= −x. La fonction f g apparaı̂t alors comme la
֒→ Par définition, f g : x ∈ I 7→ x2 × −
x
restriction à I d’une fonction linéaire (strictement) décroissante sur R. Par suite, f g est, elleaussi, (strictement) décroissante sur I.
Nous venons ainsi de rencontrer deux fonctions croissantes sur un intervalle I dont le produit f g
est une fonction décroissante sur I.
c) Ccl. Grâce aux deux exemples précédents, on peut conclure qu’il est impossible d’énoncer une règle
générale donnant le sens de variation du produit de deux fonctions croissantes sur un intervalle I.
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