Corrigé du DL n 2 - Tivomaths

Premi` ere S Octobre 2015
Corrig´e du DL n 2
Th` eme : Sens de variation.
Soient fet gdeux fonctions d´efinies sur un intervalle I.
1. On note f+gla fonction d´efinie sur Ipar (f+g)(x) = f(x) + g(x).
a) Supposons que fet gsoient croissantes sur I.
Soient a,b∈I, tels que a < b. On a alors ®f(a)6f(b) (∗)
g(a)6g(b) (∗∗)
Par suite,
֒→en ajoutant g(a)aux deux membres de (∗), on obtient f(a) + g(a)6f(b) + g(a);
֒→en ajoutant f(b)aux deux membres de (∗∗), on obtient f(b) + g(a)6f(b) + g(b).
Finalement, par transitivit´e, on a f(a) + g(a)6f(b) + g(b), c-`a-d(f+g)(a)6(f+g)(b).
C’est donc que la fonction f+gest croissante sur I.
Ccl. La somme de deux fonctions croissantes sur un intervalle Iest une fonction croissante sur I.
b) Supposons que fet gsoient d´ecroissantes sur I.
Soient a,b∈I, tels que a < b. On a alors ®f(a)>f(b) (∗)
g(a)>g(b) (∗∗)
Par suite,
֒→en ajoutant g(a)aux deux membres de (∗), on obtient f(a) + g(a)>f(b) + g(a);
֒→en ajoutant f(b)aux deux membres de (∗∗), on obtient f(b) + g(a)>f(b) + g(b).
Finalement, par transitivit´e, on a f(a) + g(a)>f(b) + g(b), c-`a-d(f+g)(a)>(f+g)(b).
C’est donc que la fonction f+gest d´ecroissante sur I.
Ccl. La somme de deux fonctions d´ecroissantes sur un intervalle Iest une fonction d´ecroissante
sur I.
c) ֒→Consid´erons les fonctions lin´eaires f:x∈R7→ 2xet g:x∈R7→ −x. Selon un th´eor`eme vu
en 2nde , on sait que fest croissante sur Ret gest d´ecroissante sur R.
De plus, f+g:x∈R7→ 2x+ (−x) = x. Donc, f+gest une fonction croissante sur R.
֒→Consid´erons `a pr´esent les fonctions lin´eaires f:x∈R7→ 2xet g:x∈R7→ −3x. Selon un
th´eor`eme vu en 2nde , on sait que fest croissante sur Ret gest d´ecroissante sur R.
De plus, f+g:x∈R7→ 2x+ (−3x) = −x. Donc, f+gest une fonction d´ecroissante sur R.
Ccl. Grˆace aux deux exemples pr´ec´edents, on peut conclure qu’il est impossible d’´enoncer une
r`egle g´en´erale donnant le sens de variation de la somme d’une fonction croissante et d’une fonction
d´ecroissante sur un intervalle I.
2. On note f g la fonction d´efinie sur Ipar (fg)(x) = f(x)×g(x).
a) Soient f:x∈I=R+∗7→ 2xet g:x∈I=R+∗7→ 3x.
֒→F:x∈R7→ 2x´etant une fonction lin´eaire de cœfficient directeur positif, Fest (strictement)
croissante sur R. Il suit, en particulier, que fest elle-aussi (strictement) croissante sur I=R+∗.
Remarque. On dit que fest la restriction de F`a I=R+∗. On note cela : f=FI.
Corrig´e disponible sur http://tivomaths.free.fr/ - 1/2-L
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E
X 2ε

֒→G:x∈R7→ 3x´etant une fonction lin´eaire de cœfficient directeur positif, Gest (strictement)
croissante sur R. Il suit, en particulier, que gest elle-aussi (strictement) croissante sur I=R+∗.
Remarque. On dit que gest la restriction de G`a R+∗. On note cela : g=GI.
֒→Par d´efinition, f g :x∈I7→ 2x×3x= 6x2. La fonction fg est donc de la forme λu o`u λ= 6
et uest la fonction carr´ee.
Puisque la fonction carr´ee est (strictement) croissante sur I=R+∗et puisque 6>0, d’apr`es
une propri´et´e du cours, nous savons alors que f g est, elle-aussi (strictement) croissante sur
I=R+∗.
Nous venons ainsi de rencontrer deux fonctions croissantes sur un intervalle Idont le produit f g
est, lui-aussi, une fonction croissante sur I.
b) Soient `a pr´esent f:x∈I=R+∗7→ x2,g:x∈I=R+∗7→ − 1
x.
֒→On sait que la fonction carr´ee est (strictement) croissante sur R+∗. Par suite, fest (strictement)
croissante sur I=R+∗.
֒→On sait que la fonction inverse u:x∈R∗7→ 1
xest (strictement) d´ecroissante sur R+∗. D’apr`es
une propri´et´e du cours, on sait alors que la fonction −u:x∈R∗7→ − 1
xest (strictement)
croissante sur R+∗. Autrement dit, gest (strictement) croissante sur R+∗.
֒→Par d´efinition, f g :x∈I7→ x2×Å−1
xã=−x. La fonction fg apparaˆıt alors comme la
restriction `a Id’une fonction lin´eaire (strictement) d´ecroissante sur R. Par suite, f g est, elle-
aussi, (strictement) d´ecroissante sur I.
Nous venons ainsi de rencontrer deux fonctions croissantes sur un intervalle Idont le produit f g
est une fonction d´ecroissante sur I.
c) Ccl. Grˆace aux deux exemples pr´ec´edents, on peut conclure qu’il est impossible d’´enoncer une r`egle
g´en´erale donnant le sens de variation du produit de deux fonctions croissantes sur un intervalle I.
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