Ch3 Arithmétique

Ch 3
Sommaire
ARITHMÉTIQUE
0- Objectifs
1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
2- Nombres premiers
3- Applications
0- Objectifs
● Déterminer si un entier est ou n’est pas multiple ou diviseur d’un autre
entier
● Utiliser la division euclidienne
● Notion de nombre premier
● Recourir à une décomposition en facteurs premiers dans des cas simples
● Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible
1- Diviseurs et multiples d'un nombre entier
Définition :
Pour tout nombre entier a, un nombre entier N est un multiple de a si ce
nombre N est égal au produit de a par un nombre entier.
On peut dire aussi que a est un diviseur de N.
Exemples :
* Les multiples positifs de 6 sont : 0, 6, 12, 18, 24,…
* Les diviseurs positifs de 6 sont : 1, 2, 3 et 6 car 6 = 1×6 = 2×3
* 256 est un multiple de 8 car 256 = 8×32
* 13 est un diviseur de 91 car 91=13×7
Remarque :
En additionnant les diviseurs positifs de 6 (autre que 6), on a 1+2+3 = 6
On dit que 6 est un nombre parfait.
Utilisation de la division euclidienne :
* 325 ÷R 13 donne un reste égal à 0 donc 13 est un diviseur de 325
325 = 13×25
* 325 ÷R 7 donne un reste égal à 3 donc 7 n'est pas un diviseur de 325
325 = 7×46+3
Utilisation des critères de divisibilité :
* 325 est un multiple de 5 car son chiffre des unités est 5
* 325 n'est pas un multiple de 3, ni de 9, car 3+2+5 = 10 qui n'est pas un
multiple de 3, ni de 9.
* 325 n'est pas un multiple de 2 car son chiffre des unités est impair.
2- Nombres premiers
Définition :
Lorsqu'un nombre entier positif n'a que deux diviseurs positifs (1 et luimême), on dit que c'est un nombre premier.
Exemples :
* 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 sont des nombres premiers.
* 9 n'est pas un nombre premier car il a plus de 2 diviseurs : 1, 3 et 9. En
effet, 9 = 1×9 = 3×3.
Remarque :
9 = 3² On dit que 9 est un carré parfait. Mais ce n'est pas un nombre parfait
car ses diviseurs sont 1, 3 et 9 et on a 1+3 = 4 qui est différent de 9 (voir cidessus).
Propriété :
Tout nombre entier qui n'est pas premier peut se décomposer en un produit
de nombres premiers.
Exemples :
* 18 = 2×3×3
* 40 = 2×2×2×5
Utilisation de la liste des nombres premiers :
On regarde successivement la division par les nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
* décomposer 325
→ 2 n'est pas un diviseur de 325
car 5 n'est pas un multiple de 2
→ 3 n'est pas un diviseur de 325
car 3+2+5 = 10 qui n'est pas divisible par 3
→ 5 est un diviseur de 325
car 5 est son chiffre des unités
325 ÷ 5 = 65 donc 325 = 5×65
→ 5 est un diviseur de 65
car 5 est son chiffre des unités
65 ÷ 5 = 13 donc 65 = 5×13
→ 13 est un nombre premier
donc 325 = 5×5×13
Présentation :
325 = 5×65 = 5×5×13
* décomposer 759
→ 2 n'est pas un diviseur de 759
car 59n'est pas un multiple de 2
→ 3 est un diviseur de 759
car 7+5+9= 21 qui est divisible par 3
759 ÷ 3 = 253 donc 759 = 3×253
→ 3 n'est pas un diviseur de 253
car 2+5+3 = 10 qui n'est pas divisible par 3
→ 7 n'est pas un diviseur de 253
car 253 ÷ 7 ≈ 36,14… n'est pas un entier
→ 11 est un diviseur de 253
car 253 ÷ 11 = 23 donc 253
→ 23 est un nombre premier
donc 759 = 3×11×23
Présentation :
325 = 5×65 = 5×5×13
= 11×23
3- Applications
Exemple 1 : simplifier une fraction pour la rendre irréductible
336
* Rendre irréductible la fraction
160
336 = 2×168 = 2×2×84 = 2×2×2×42 = 2×2×2×2×21 = 2×2×2×2×3×7
160 = 2×80 = 2×2×40 = 2×2×2×20 = 2×2×2×2×10 = 2×2×2×2×2×5
336 2 ×2 ×2 × 2 × 3 ×7 3 × 7 21
donc
=
=
=
160 2 ×2 × 2 × 2 × 2 ×5 2 ×5 10
Exemple 2 : engrenages
* Un correcteur comprend un engrenage de 2 roues de 15 dents
et 35 dents. Quel nombre entier de tours doit effectuer au
minimum la petite roue pour que la grande roue ait tournée aussi
d'un nombre entier de tours ?
On a un engrenage donc les deux roues tournent du même nombre de dents.
Pour un nombre entier de tours, la petite roue tourne d'un multiple de 15
dents et la grande roue tourne d'un multiple de 35 dents : on cherche donc un
multiple commun de 15 et de 35 pour que les 2 roues aient tourné chacune
d'un nombre entier de tour.
Or, 15 = 3×5 et 35 = 5×7
donc 3×5×7 = 105 est un multiple commun de 15 et de 35, et c'est le plus
petit.
On a : 105 = 15×7 = 35×3
Ainsi, la petite roue (15 dents) doit effectuer au minimum 7 tours pour que la
grande roue (35 dents) effectue 3 tours.