Arithmétique 2 - Activité 1- Introduction des nombres premiers

Arithmétique 2 - Activité 1- Introduction des nombres premiers
Définition :
Un entier naturel est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs positifs
distincts : 1 et lui même.
Vocabulaire :
•Un nombre qui n'est pas premier est appelé nombre composé.
•Etudier la primalité d'un nombre c'est déterminer s'il est premier ou composé.
Activité 1 :
•1 est-il un nombre premier ? Justifier.
•2 est-il un nombre premier ? Justifier.
•3 est-il un nombre premier ? Justifier.
•4 est-il un nombre premier ? Justifier.
•0 est-il un nombre premier ? Justifier.
Activité 2 : Sur les 20 premiers entiers, déterminer s'ils sont premiers ou non en
détaillant pour chacun votre explication.
Activité 3 :
Soit n un entier naturel tel que
n>1
1) Quel est le plus petit multiple de n ? Ce multiple est-il premier ?
2) Parmi tous les multiples de n, combien peuvent-être premiers ? Expliquer.
Activité 4
1) Identifier sur la grille tous les nombres premiers inférieurs à 100.
Activité 5
Ecrire un algorithme à qui on entre un nombre N et qui affiche en sortie « Premier » ou
« Composé ».
Proposer toute amélioration possible pour accélérer cet algorithme.

Partie Prof
Activité 1
•1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur positif (lui même).
•2 est premier car d(2)={1;2} et
2≠1
•3 est premier car d(3)={1;3} et
3≠1
•4 n'est pas premier car d(4)={1;2;4}
•0 n'est pas premier car d(0)=
ℕ
(tous les nombres divisent 0).
Activité 2 : question ouverte
Confronter les méthodes. Doit amorcer :
•L'étude du nombre de diviseurs positifs (2=>premier)
•Le principe du crible : rayer les mutliples.
Activité 3 : amorcer le principe du crible.
1) C'est 0 car
0=0×n
. 0 n'est pas premier.
2) Les multiples de n sont les
k×n
avec k
∈
ℕ
.
Pour
k>1
, kn n'est pas premier car n divise
kn
et
1<n<kn
, donc la définition de
la primalité n'est pas remplie (kn a trois diviseurs distincts).
Conclusion : le seul multiple de n qui peut être premier est n lui même.
Activité 4
Initialisation : on barre 0 puis 1.
2 est premier, donc on barre ses mutliple.
Répétition :
Après l'étude d'un nombre, la première case non barrée suivante contient nécessairement
un nombre premier.
Supposons en effet que cette case contienne un nombre composé : il aurait un diviseur
différent de 1 inférieur à lui même, et donc étudié auparavant. Cette case aurait donc été
barrée comme multiple de ce diviseur.
Jusque quand ? sentir qu'au delà de 10, tout est fait.
Conclusion : après avoir criblé tous les nombres jusque 100, il ne reste que des nombres
premiers, et tous les nombres premiers.

Activité 5
Algorithmes : voir aussi scratch.
Entrée : N
Initialisation :
2→d
Traitement
Tant que
N
d−E
(
N
d
)
>0
ou
d<N
faire :
d+1→d
Fin tant que
Sortie
Si
d=N
, alors afficher « Premier » sinon afficher « Composé »
Amélioration 1 :
Ne faire que tant que
d⩽
√
N
Amélioration 2 :
Après 2, on peut sauter tous les nombres pairs.
Preuve de la condition avec
√
N
Elle est vraie. Si p divise n, alors il existe q
∈
ℕ
tel que
n=pq
.
Quitte à renommer p en q, on peut considérer que :
p⩽q
,
et donc
p2⩽pq
car
p>0
c'est à dire
p2⩽n
.
On a donc aussi
√
p2⩽
√
n
(car la fonction racine carré est croissante sur
ℝ+
)
et enfin
p⩽
√
n
car
p>0
.