Arithmétique 2 - Activité 1- Introduction des nombres premiers

Arithmétique 2 - Activité 1- Introduction des nombres premiers
Définition :
Un entier naturel est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs positifs
distincts : 1
et lui même.
Vocabulaire :
•
Un nombre qui n'est pas premier est appelé nombre composé.
•
Etudier la primalité d'un nombre c'est déterminer s'il est premier ou composé.
Activité 1 :
•
1 est-il un nombre premier ? Justifier.
•
2 est-il un nombre premier ? Justifier.
•
3 est-il un nombre premier ? Justifier.
•
4 est-il un nombre premier ? Justifier.
•
0 est-il un nombre premier ? Justifier.
Activité 2 : Sur les 20 premiers entiers, déterminer s'ils sont premiers ou non en
détaillant pour chacun votre explication.
Activité 3 :
Soit n un entier naturel tel que n>1
1) Quel est le plus petit multiple de n ? Ce multiple est-il premier ?
2) Parmi tous les multiples de n, combien peuvent-être premiers ? Expliquer.
Activité 4
1) Identifier sur la grille tous les nombres premiers inférieurs à 100.
Activité 5
Ecrire un algorithme à qui on entre un nombre N et qui affiche en sortie « Premier » ou
« Composé ».
Proposer toute amélioration possible pour accélérer cet algorithme.
Partie Prof
Activité 1
•
1 n'est pas premier : il n'a qu'un seul diviseur positif (lui même).
•
2 est premier car d(2)={1;2} et 2≠1
•
3 est premier car d(3)={1;3} et 3≠1
•
4 n'est pas premier car d(4)={1;2;4}
•
0 n'est pas premier car d(0)= ℕ (tous les nombres divisent 0).
Activité 2 : question ouverte
Confronter les méthodes. Doit amorcer :
•
L'étude du nombre de diviseurs positifs (2=>premier)
•
Le principe du crible : rayer les mutliples.
Activité 3 : amorcer le principe du crible.
1) C'est 0 car 0=0×n . 0 n'est pas premier.
2) Les multiples de n sont les k ×n avec k ∈ ℕ .
Pour k >1 , kn n'est pas premier car n divise kn et 1<n <kn , donc la définition de
la primalité n'est pas remplie (kn a trois diviseurs distincts).
Conclusion : le seul multiple de n qui peut être premier est n lui même.
Activité 4
Initialisation : on barre 0 puis 1.
2 est premier, donc on barre ses mutliple.
Répétition :
Après l'étude d'un nombre, la première case non barrée suivante contient nécessairement
un nombre premier.
Supposons en effet que cette case contienne un nombre composé : il aurait un diviseur
différent de 1 inférieur à lui même, et donc étudié auparavant. Cette case aurait donc été
barrée comme multiple de ce diviseur.
Jusque quand ? sentir qu'au delà de 10, tout est fait.
Conclusion : après avoir criblé tous les nombres jusque 100, il ne reste que des nombres
premiers, et tous les nombres premiers.
Activité 5
Algorithmes : voir aussi scratch.
Entrée : N
Initialisation : 2→ d
Traitement
Tant que
N
N
−E
>0 ou d<N faire :
d
d
( )
d+1→ d
Fin tant que
Sortie
Si d=N , alors afficher « Premier » sinon afficher « Composé »
Amélioration 1 :
Ne faire que tant que d⩽√ N
Amélioration 2 :
Après 2, on peut sauter tous les nombres pairs.
Preuve de la condition avec
√N
Elle est vraie. Si p divise n, alors il existe q ∈ ℕ tel que n= pq .
Quitte à renommer p en q, on peut considérer que :
p ⩽q ,
et donc
p 2 ⩽pq
c'est à dire
p 2 ⩽n .
On a donc aussi
et enfin
car p >0
√ p 2 ⩽√ n
(car la fonction racine carré est croissante sur ℝ+ )
p ⩽ √n
car p >0 .