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Université Paris VI Module de Physique L103 Notes de cours d'électrocinétique Eric Michel Année 2009-2010 [email protected] 1 • • 1) Introduction o Objectifs et notions abordées 2) Courant électrique = transport de charges : o caractérisation d’un courant électrique : expérience d’Oersted (1820) o courant = transport de charges : expérience de Rowland (1876) • 3) Conducteurs, isolants, notion de porteurs de charge: o propriétés conductrices et structure « conducteurs/ isolants », notion de porteurs libres, conducteur à l’équilibre. Différents exemples de porteurs (électrons dans des métaux, ions dans des solutions électrolytiques, dans les gaz ionisés, "trous" dans le cas de certains semi-conducteurs,… ) o notion de circuit électrique, chaîne de conducteurs: Conducteurs à l'équilibre Conducteurs hors équilibre, générateur de courant • 4) Mesures et caractérisation quantitative du Courant électrique o Notion d’intensité et de densité de courant o Courants dans les conducteurs Ohmiques : loi d’Ohm locale, notion de mobilité, conductivité, résistivité, résistance,… ; limitations, pertinence, • 5) Courants continus, régime stationnaire : o Circuit compose de dipôles électriques o Mise en équation : Lois de Kirchhoff (loi des nœuds : « pas d’accumulation de charges » ; loi des mailles) o Dipôles en série, en parallèle o Aspects énergétiques • 6) Régimes variables, approximation quasi stationnaire o notion de régime quasi stationnaire o De nouveaux dipôles : condensateurs et bobines, principe o Régimes transitoires : Charge et décharge d’un condensateur, établissement et interruption du courant à travers une bobine oscillations libres, amorties, mise en forme mathématique, solutions, applications aux circuits RLC. o Régimes sinusoïdaux : oscillations forcées, mise en équation et résolution : circuit RLC, notation complexe (impédance complexe), représentation de Fresnel. aspects énergétiques, résonance. 2 Quelques grandeurs utiles ( à compléter ) USI: De base: mètre (m), kilogramme (kg), seconde (s), ampère (A), mole (mol), kelvin (K), candela (cd) Autres: 1 siemens (S) = 1/ 1ohm, conductance d'un conducteur de résistance 1 ohm et: e=-1.602 10-19C charge de l’electron NA=6.022 1023 mol-1 Nombre d'Avogadro ε0=1/(36 π 109)= 8.85 10-12 F/m permittivité du vide k=R/NA=1.380662 10-23 J/K (8.61735.10-5 eV/K) constante de Boltzmann u=uma=10-3/NA=1.6605655 10-27 kg, unite de masse atomique 3 1) INTRODUCTION 1.1) Objectifs et notions abordées : "Comprendre les aspects microscopiques du courant électrique. Savoir manier les notions d’électrocinétique pour l’étude de circuits simples en régime continu, transitoire, sinusoïdal. Notions : Courant électrique, loi d’Ohm, conductivité, courant continu, lois de Kirchhoff. Régimes variables, transitoires, sinusoïdaux, impédance complexe, résonance." 1.2) Electrocinétique : définition et contexte Pour tenter de cerner le domaine représenté par l’électrocinétique, il est intéressant de regarder ce que dit à ce sujet le dictionnaire de Physique de E. Lévy (1988, PUF, 270) à « électricité » : "Seules quelques observations fragmentaires sur l'électrisation par frottement de l'ambre jaune (en grec électron) datent de l'Antiquité et sont signalées des le VIeme siècle avant l'ère chrétienne. C'est seulement au XVeme siècle de notre ère que Gilbert a montre la possibilité de communiquer, par frottement, a` bien d'autres substances le "pouvoir de l'ambre" – qui consiste a` exercer une attraction sur des corps légers - , et qu'il a baptise électricité. L'existence de corps mauvais conducteurs – nos diélectriques actuels – dans lesquels l' électricité reste localisée aux endroits frottés, celle de corps bons conducteurs dans lesquels l' électricité se répand rapidement en toutes régions, l'existence de deux espèces d' électricité, que l'on qualifiait alors de vitreuse et résineuse par référence aux corps qui se prêtaient facilement à leurs apparition respectives, et que l'on préfère aujourd'hui pour plus de commodité dans les calculs appeler électricité positive et négative, leur accumulation possible dans les "bouteilles de Leyde", ancêtres de nos condensateurs, le phénomène d'influence électrique, les machines électrostatiques, font l'objet de découvertes et de perfectionnement successifs au cours du XVIIeme et XVIIIeme siècles. Les premiers résultats quantitatifs sérieux sont rassembles dans la " loi de Coulomb" (1785). La voie est alors ouverte aux recherches fécondes sur l'électrostatique – science de la répartition des charges et des champs dans un système de conducteurs en équilibre électrique Le début de l'electrocinetique (ou électrodynamique) – science des phénomènes accompagnant les courants électriques – date seulement de 1800, année de la découverte de la pile de Volta, et c'est bien plus tard qu'il sera établi par l'expérience qu'un courant électrique est un mouvement de "porteurs de charge" (expérience de Rowland, 1876; expérience de Tolman, 1916). 4 En 1820, découverte fondamentale. Expérience d'Oersted, brillamment exploitée par Ampère, montre qu'un courant électrique exerce une action à distance sur une aiguille aimantée comme le ferait un aimant. C'est le point de départ de l'electromagnetisme, que l'on peut définir selon les vues actuelles comme étant la science des interactions entre charges électriques en mouvement. A partir de ce moment les trois branches, électrostatique, electrocinetique, electromagnetisme, se développent simultanément. Faraday montre le rôle important des champs électrique et magnétique dans la transmission des actions à distance, et découvre le phénomène d'induction electromagnetique. Maxwell et Hertz prouvent, par le calcul et par expérience, l'existence des ondes électromagnétiques, tandis que les nombreux travaux sur la décharge dans les gaz raréfies puis sur les rayons cathodiques mènent entre autres résultats a` la découverte de la structure granulaire de l' électricité, premier jalon d'une nouvelle branche: l'électronique – science des phénomènes accompagnant le mouvement des électrons dans le vide, dans les conducteurs ou les semi-conducteurs – dont on sait le prodigieux développement actuel. …" L’électrocinétique constitue donc une branche de la physique ayant pour objet l'étude des courants électriques. Elle prend naissance assez naturellement avec l’invention de la pile électrique en 1800. Il est intéressant de noter que, malgré les liens évidents avec l’électrostatique (qui existe bien avant) et l’électromagnétisme (encore à venir en 1800), l’électrocinétique va connaître un champ d’application propre suffisamment riche qui va lui permettre de se développer parallèlement à ces autres branches d'étude. Nous n'aborderons notamment pas ici les aspects d'induction faisant intervenir des champs magnétiques. L’intense utilisation industrielle et domestique du courant électrique, pour transporter l’énergie, mais aussi l’information, le fait qu'elle apparaît comme le précurseur de l'électronique explique l'importance de l'électrocinétique. 2) COURANT ELECTRIQUE = TRANSPORT DE CHARGES: Le cheminement de la compréhension scientifique n'est pas nécessairement linéaire et l'appréhension du courant électrique en tant que transport de charge n'a pas échappé à cette règle, d'autant plus que les porteurs de charge concernés (électrons, ions,…) étaient encore à découvrir (l'électron ne fut découvert qu'en 1895, par Jean Perrin). On 5 peut néanmoins distinguer quelques étapes clefs, qui ont contribué à établir la notion de courant électrique en tant que transport de charges électriques. Notion de charge électrique: Tout d'abord, comme il apparaît dans le texte précèdent, la notion de charge électrique, quantitativement mesurable est déjà présente en 1785 dans les résultats des expériences de Coulomb. On sait communiquer ces charges d’un corps à un autre, par frottement, par conduction, par influence. On sait en mesurer l'influence grâce à des balances de torsion électrostatiques, qui ont permis à Coulomb d'établir la fameuse loi exprimant la force d'interaction entre deux charges q et q': f=kc qq'/r2. (avec kc=1/(4πε0) On ne connaît pourtant pas encore la nature des porteurs impliqués. Notion de courant électrique : La pile de Volta L’article précédent fait remonter l’apparition de la notion de courant électrique à l’expérience de la pile de Volta, en 1800 (en fait, le terme même de "courant" électrique serait du a Ampère, en 1820). On comprend en effet que même si les transferts de charge par conduction entre deux corps, les éventuelles décharges obtenues à travers l’air entre deux conducteurs de potentiels différents constituaient déjà des courants, au sens mentionné précédemment, il s’agissait d’événements très brefs ne se prêtant pas à l’étude quantitative des phénomènes associes à un courant électrique. De ce point de vue, la pile de Volta représente bien la première possibilité d’établir des courants électriques « stables » pendant une durée significative. Caractérisation d’un courant électrique : L’expérience d’Oersted L’expérience d’Oersted, en 1820, a montré que l’établissement d’un courant électrique dans un conducteur (ici un fil rectiligne aux bornes d’une pile de Volta) induit une déviation d’une aiguille aimantée placée à proximité. Elle a également montré que cette déviation s’inversait si l’on inversait les connexions du fil aux bornes de la source de courant. 6 Ce résultat expérimental important a permis d’établir un lien entre courant et champ magnétique, mais nous laisserons de côté cet aspect des choses qui n’entre pas directement dans notre programme. Ce résultat a également contribué à faire naître l’idée que l’on avait à faire à un flux de charges électriques. Pour notre part, nous y verrons un bon moyen expérimental de témoigner de l’existence d’un courant électrique, sans préjuger de la nature de celui-ci, test expérimental qui devait jouer un rôle important dans l’interprétation de l’expérience suivante. Courant = transport de charges : expérience de Rowland (1876) Cette expérience repose sur un disque isolant portant près de son bord des pastilles conductrices chargées de même manière. Lorsque le disque est mis en mouvement de rotation autour de son axe, il induit la déviation d’une aiguille aimantée, similaire à celle due à un courant électrique. Ce résultat a permis de conforter l'idée qu’un courant consiste en un transport de charge électriques alors même que l'identité des porteurs de charge reste toujours à découvrir. 7 3) CONDUCTEURS, ISOLANTS, NOTION DE PORTEURS DE CHARGES: 3.1) Retour sur ces notions dans le cadre de l’électrostatique Comme le rappelle le texte de la section 2, certains aspects de l’électrostatique ont fasciné les expérimentateurs bien avant que la notion de courant électrique ne soit envisagée (et même, bien avant que la notion de charge électrique n’apparaisse). Par l’expérience sur les solides, on distingue deux types de matériaux : les « conducteurs » : qui sont caractérisés par le fait que les charges qu’on leur communique ont tendance à se disperser et se répartir sur tout le matériau. Les « isolants » : les charges qu’on leur communique ont tendance à rester localisées à l’endroit où on les dépose. En fait, comme nous le verrons, il est plus réaliste de considérer les différents matériaux comme de plus ou moins bons conducteurs électriques. Néanmoins, l’examen de quelques matériaux typiques, avec notre connaissance actuelle de leur structure nous met sur la voie de la compréhension du phénomène. Bons conducteurs: les métaux Dans le cas des métaux, globalement bons conducteurs, on sait que le matériau se présente habituellement sous une forme cristalline, dont la cohésion est assurée par des liaisons métalliques, c'est-à-dire par la délocalisation de quelques électrons (de 1 à 3 par atome suivant le métal considère). Ces électrons sont mis en commun à toute la structure cristalline dans laquelle ils peuvent se déplacer aisément, d’où le nom d’électrons libres qui leur est souvent attribué (en fait, comme nous le verrons au 4.2, ces électrons continuent à subir l'influence caractéristique de l'environnement cristallin dans lequel ils se déplacent). Bons isolants: les semi-conducteurs Dans le cas de matériaux comme le silicium ou le germanium, réputes bons isolants, ou plutôt mauvais conducteurs, la structure cristalline repose sur des liaisons covalentes. Chaque atome met en commun ses électrons de valence avec les atomes 8 directement voisins auxquels il est lié. Chaque liaison entre deux atomes repose sur la mise en commun de deux électrons (un par atome) qui restent localisés et ne sont pas libres de circuler dans la structure cristalline. Les propriétés de conductibilité des solides dépendent donc de leur structure. Le cas du carbone est assez illustratif sur ce point. Le carbone pur existe sous plusieurs formes, notamment le diamant, qui est très peu conducteur, et le graphite qui est relativement bon conducteur. Dans le cas du diamant, une structure de géométrie tétraédrique (comme dans le cas du silicium) engage tous les électrons de valence dans des liaisons covalentes fortes et ne laisse pas d'électron libre pour la conduction. Dans le cas du graphite, les atomes de carbone cristallisent dans une structure différente (hexagonale compacte) qui laisse des électrons libres (1 par atome) pour la conduction du courant (RQ: la structure est néanmoins non isotrope et cela se ressent sur la conductivité qui l'est également dans un monocristal). RQ: En fait, la situation au sein du matériau semi-conducteur varie avec la température qui, quand elle augmente permet à un nombre croissant d'électrons d'échapper à ces liaisons covalentes et les rend disponibles pour le transport de charge. Par ailleurs, à chaque électron ainsi "libéré" correspond un "trou" et celui-ci va pouvoir se déplacer dans la structure et se comporter comme un porteur de charge positive. Néanmoins, aux températures habituelles, le nombre d'électrons et de trous disponibles pour le transport de charge reste très faible. Les semi-conducteurs apparaissent donc comme de mauvais conducteurs. Par ailleurs, dans le cas des semi-conducteurs "dopés", on insère dans la structure du semi-conducteur des atomes d'un autre élément. Si cet élément appartient à la classe V de la CPE par exemple, il dispose d'un électron de valence supplémentaire aux 4 nécessaires pour établir les liaisons covalentes. Cet électron sera plus facilement disponible pour la conduction du courant; on a un semi-conducteur dope de type n (porteur de charge négative). Si cet élément appartient à la classe III de la CPE, le 9 nouvel élément apportera un "trou" à la structure, un porteur de charge positive; on a un semi-conducteur dopé de type p. Dans le cas des solides, le rôle de porteurs de charge est donc généralement assuré par des électrons et/ou des trous qui peuvent circuler dans la structure du solide considéré. Les liquides et les solutions électrolytiques: On peut également considérer le cas des solutions électrolytiques. Alors que l’eau pure est très peu conductrice, l’eau salée l’est d’autant plus qu’elle contient plus de sel dissout. Les molécules d’eau en effet sont libres les unes par rapport aux autres, mais ne portent pas de charge (à 20C, ~1 /109 molécules d'eau dissociées en OH- et H+ seulement. En fait, pour pH=7, i.e. 10-7 mole/litre, i.e. 10-4 mole/m3, i.e. 6.02 1019 ions de chaque signe par m3). Les cristaux de chlorure de sodium une fois dissociés par l’eau, apportent les porteurs de charge nécessaires à la conduction sous forme d’ions Cl- et Na+, libres de se déplacer dans la solution (eau de mer: ~1024 ions/m3). Ici, on note que l’on a 2 types de porteurs de charges, avec des ions différents, porteurs, l’un d’une charge positive, l’autre d’une charge négative. (RQ : on peut avoir affaire à des ions portant plusieurs fois la charge de l’e). Les gaz: De même, un gaz peut être conducteur. Prenons le cas de l’air. Il est bon isolant, mais si on l’ionise, par passage d’un faisceau UV par exemple, les ions N2+ et O2- ainsi formes peuvent alors jouer le rôle de porteurs de charge. Dans les gaz et les liquides, les ions sont donc généralement les porteurs de charges. Ils sont libres de se mouvoir au sein du milieu considéré. 10 3.2) Notion de circuit électrique, chaîne de conducteurs: Conducteur à l'équilibre: Considérons un conducteur homogène. Lorsque celui-ci n'est pas chargé, le matériau qui le compose est globalement neutre; les charges portées par les protons sont exactement compensées par celles portées par les électrons qui composent le matériau considere. Supposons maintenant que l'on communique une charge électrique à ce conducteur, i.e. un excès ou un manque d'électrons. On assistera instantanément à un mouvement, une redistribution des porteurs de charges électriques et, comme on l'a vu en électrostatique, le conducteur retrouvera très rapidement des conditions d'équilibre telles que, dans tout le volume occupé par le conducteur considéré, V=cte <=> E=0 => ρc=0, Avec ρc , la densité de charge à l'intérieur du conducteur. + + + + V=cte + + + E=0 + + + + + + + + + La dernière implication repose sur le théorème de Gauss, qui stipule que pour tout volume dτ, délimite par la surface S, ∫S E dS= 1/ε0 ∫τ ρc dτ (=Σ Q/ε0) Les charges supplémentaires communiquées au conducteur ne peuvent donc, à l'équilibre se trouver localisées qu'à la surface du conducteur. 11 RQ: Si V n'etait pas constant dans tout le volume du conducteur, il existerait un champ E non nul (E=-grad V) et les porteurs de charge q seraient soumis à la force qE qui les mettrait en mouvement. RQ: Le cas d'un conducteur inhomogene est different et un tel conducteur n'est pas equipotentiel à l'equilibre. En effet, comme nous l'avons mentionne precedemment, les électrons libres (dans le cas d'un solide, les porteurs de charge de maniere plus generale) restent soumis à l'influence des ions environnant. Il en resulte un terme d'energie potentielle chimique μ qui est caracteristique de cet environnement. Prenons l'exemple d'un conducteur compose de deux conducteurs chacun homogene mais de materiau differents accoles. L'energie potentielle totale associee à un porteur de charge donne dans le milieu 1 sera qV1+μ1 et dans le milieu 2, qV2+μ2 . - + + + + + + + V1=cte - + V2=cte + - + - + + - + + - - On comprend que dans chacun des milieux 1 ou 2 individuellement, le raisonnement precedent reste valable et on a V=cte, car μ=cte. En revanche, μ1 et μ2 sont à priori differents et pour assurer l'equilibre de l'ensemble, on doit avoir: qV1+μ1 = qV2+μ2 , d'ou V2 different de V1. En pratique, on assiste à une accumulation de charges sur l'interface entre les milieux 1 et 2 qui a pour resultat de restaurer l'equilibre electrique des porteurs de charges. NB: dans les deux cas précédents, le fait que les charges 'supplementaires' soient reparties en surface (ou à l'interface), n'empêche pas l'existence de porteurs de charges partout à l'intérieur du conducteur. Aux endroits ou` V=cte, la densite de charges negatives ( ici, les électrons ) est compensée par la densité de charges positives (les protons). A l'interieur du conducteur, les porteurs de charges existent et sont diponibles, mais ils n'ont pas de mouvement privilégié. 12 Conducteur hors equilibre: Une maniere de rompre l'equilibre électrique d'un conducteur (donc de generer un déplacement de porteurs de charges dans le conducteur consiste à imposer un champ E non nul à l'interieur du conducteur. Cela peut être realise en imposant une différence de potentiel aux extremites du conducteur. Les porteurs de charges présents dans le conducteur vont alors se mettre en mouvement sous l'effet de E=-grad V. Toutefois, si l'on veut éviter que l'accumulation des porteurs de charge ne vienne compenser le champ initial, il faut egalement assurer la circulation des charges qui doivent quitter le conducteur par une extremitee et y entrer par l'autre. On a alors suscite un courant electrique. Une succession de conducteurs permettant le passage des porteurs de charge (ou du moins des charges) de l'un a l'autre constituera un circuit dans lequel le courant pourra circuler. 13 4) MESURE ET CARACTERISATION DU COURANT ELECTRIQUE: Illustration: exercices TP1 et TDA 4.1) Notion d’intensité et de vecteur densité de courant: On veut mesurer le flux de charges (la quantité de charges qui passe à travers une surface donnée en un temps donné). Pour un circuit électrique, on définit : I, intensité du courant, comme le flux de charges en un point (section) du circuit. C’est une quantité de charge électrique par unité de temps – Dans le S.I. en Coulomb/seconde (C/s), i.e. en ampère (A). Localement ( disons à l’échelle microscopique, mais pas atomique ) on peut définir np (m-3) le nombre de porteurs de charge par unité de volume (parfois nommé ‘densité de porteurs de charges’) qp (C) la charge de ces porteurs u (m/s) la vitesse (moyenne) d'entraînement des porteurs la densité de courant j=np. qpu (en C s-1 m-2) C’est une quantité de charge électrique par unité de temps et par unité de surface RQ2: on peut avoir affaire à plusieurs types de porteurs de charge, caractérisés par des densités, des charges et des vitesses moyennes différentes, d’où dans le cas général: j=Σi (npi. qpiui) 14 4.2) Courants dans les conducteurs Ohmiques : loi d’Ohm locale, notion de conductivité, résistivité, résistance,… ; limitations, pertinence: Une manière classique de mettre en mouvement les charges à l’intérieur d’un conducteur (au sens large) consiste à les plonger dans un gradient de potentiel électrique (i.e. de les soumettre à un champ électrique, puisque E= -grad V). RQ : Pour un champ applique E donné et supposé le même tout au long du circuit, les porteurs subissent une accélération constante qE/m, due a la force qE. On pourrait donc s’attendre à les voir accélérer infiniment et u et j augmenter de même En fait, on constate que l’on tend vers un régime stationnaire (i.e. qui ne dépend pas du temps) tel que J= σ E, (σ >0) i.e. une densité de courant colinéaire au champ applique E, proportionnelle a celui-ci, avec une constante de proportionnalité « la conductivité, σ » qui dépend des caractéristiques du conducteur (matériau, état physique, température…). Dans certains matériaux, dits isotropes, la conductivité ne dépend pas de la direction, dans d’autres, anisotropes, si. Tout se passe donc comme si les porteurs de charge étaient freines dans leur mouvement par une force proportionnelle à la vitesse, comme les frottements. Une image classique consiste à imaginer les porteurs, comme les électrons par exemple, freines par les chocs avec la structure cristalline des ions métalliques. En fait, cette image n’est pas rigoureusement correcte et il faut faire appel à une description ondulatoire des électrons pour mieux décrire le phénomène. L’expression précédente et le comportement qu’elle décrit ont leurs limites (ex: supraconductivité, effet d'avalanche). Elle reste cependant applicable dans un domaine très vaste. Cette propriété constitue une loi empirique connue sous le nom de Loi d’Ohm locale : j= σ E, qui exprime donc le fait que dans un conducteur, la densité de courant j est colinéaire (nb toujours de même sens) proportionnelle au champ électrique E, la constante de proportionnalité la conductivité (siemens/mètre, S/m) étant caractéristique du matériau à température donnée. 15 On définit également ρ = 1/σ la résistivité électrique (ohm-metre) d’un matériau | Et μ = |u/E| la mobilité en (m2/V.s) des porteurs dans le milieu consideré, telle que j=np |qp| μ E. ( et donc σ =np |qp| μ ) (RQ: dans le cas de plusieurs types de porteurs, j= Σp np |qp| μp E, et σ = Σp np |qp| μp) Cette loi d’Ohm locale conduit naturellement à la loi d’Ohm utilisée pour un dipôle. En intégrant sur la section du conducteur : I=∫S j dS =∫S σ E dS, ce qui, pour un conducteur homogène conduit à I=σ S E, puis en rappelant que E= -grad V, et en intégrant sur la longueur du conducteur : U=L E = L I/(σ S) = R I avec R = L/(σ S) la résistance U = R I, avec R = L/(σ S) la résistance, L longueur et S section Comportement de la conductivité en fonction de la température: La conductivité σ dépend donc de la mobilité μ et de la densité de porteurs de charges np (en fait, de la densité de charge np |qp|, à la valeur absolue près). La conductivité prend des valeurs très différentes pour de bons conducteurs métalliques comme le cuivre ou le plomb (σ~ 107 (Ohm-m)-1 à température ambiante habituelle, cf fig.4.2.0) et pour des semi-conducteurs classiques comme le germanium ou le silicium (σ~ 10-2 -10+1 (Ohm-m)-1 à température ambiante habituelle, cf fig.4.2.0) Cette différence s'explique naturellement par la faible densité de porteurs de charges (np) dans les semi-conducteurs par rapport aux métaux ( cf sect. 3.1). On note également une différence qualitative importante entre métaux et semiconducteur ( cf fig.4.2.0): lorsque la température augmente, la conductivité augmente pour les semi-conducteurs, alors qu'elle diminue pour les métaux. Pour les semi-conducteurs, cela s'explique par le fait déjà mentionne précédemment que, lorsque la température augmente, le nombre d'électrons (et de trous) disponibles pour la conduction électrique augmente (np augmente -> σ augmente). 16 RQ: On voit malgré tout (fig.4.2.0) que σ reste faible par rapport aux valeurs prises pour les métaux. Dans le cas des métaux, np ne varie pas significativement avec la température. Par contre l'agitation thermique perturbe la structure cristalline et diminue la mobilité des électrons (μ diminue -> σ diminue). Quand T augmente: Semi-conducteurs: np augmente -> σ augmente Métaux: μ diminue -> σ diminue (En S/m ) Fig.4.2.0 Conductivité de différents matériaux en fonction de la température: X 100 17 5) COURANT CONTINU, REGIME STATIONNAIRE: Illustration: exercices TP1, TDB 5.1) Hypothèse du régime stationnaire : En régime stationnaire (courant continu), toutes les grandeurs caractérisent l’état électrique du circuit : les intensités et potentiels électriques en un point quelconque du circuit sont constantes par rapport au temps. Une première conséquence de ces hypothèses est que le courant électrique présente la même intensité I tout au long d’une même branche (portion de circuit entre 2 embranchements), même à intérieur d'un dipôle cf figure. Si tel n’etait pas le cas, il en resulterait une accumulation de charge et une variation de potentiel en un point du circuit. I1 A B I2 5.2) Circuit compose de dipôles électriques : Les dipôles sont des composants, des éléments de circuits délimites par deux bornes (classiquement A et B) par lesquelles on peut les insérer à un circuit. 18 Les dipôles intervenant dans les circuits en régime stationnaire sont : o Des résistances : caractérisées par la valeur de leur résistance R, R I A B UAB telle que UAB=VA-VB =RI RQ: L'indication du sens de I ne préjuge pas du sens effectif du courant, elle fixe seulement par convention le sens de circulation (des charges positives!) que l'on considérera positif pour I. En pratique I peut prendre une valeur négative; l'équation reste valable. En revanche, si le sens indiqué pour I était inverse, on aurait UAB=VA-VB =-RI o Des générateurs de courant (tension) électrique : Les générateurs de courant continu ont deux bornes (A et B) à des potentiels différents : classiquement une borne positive et une borne négative représentées ainsi : e + A r B I UAB Nous ne nous intéresserons qu’à des générateurs linéaires, qui sont caractérises par leur force électromotrice (fem) e et leur résistance interne r, de manière que UAB= -e+rI (RQ : UBA= e-rI ) 19 On voit que la fem correspond à la valeur de la différence de potentiel (‘tension’) disponible aux bornes du générateurs ouvert. La fem est égale à la différence de potentiel délivrée si la résistance interne est négligeable. RQ : On peut parfois, pour simplifier considérer deux types de générateurs idéaux : un generateur source de tension, qui maintient une tension donnée constante U0 à ses bornes quelle que soit intensité du courant débité (i.e. r<< Rcircuit) ; un generateur source de courant, qui débite une intensité constante I0 quelle que soit la tension à ses bornes (i.e. r>>Rcircuit). 5.3) Mise en équation : Lois de Kirchhoff : La mise en équation des circuits en régime stationnaire se fait à l’aide des lois de Kirchhoff suivantes : o loi des nœuds : « pas d’accumulation de charges en un point du circuit ». Chaque embranchement entre plusieurs conducteurs correspond à un nœud du réseau La somme des intensités des courants arrivant à ce nœud est rigoureusement identique à celle des intensités partant de ce nœud. Si tel n'était pas le cas, une accumulation de charges se produirait en ce point du réseau, augmentant avec le temps, ce qui serait contraire aux hypothèse du régime stationnaire. Ex : Il n'y a pas d'accumulation de charge au nœud A, I1+I2+I3=I4 I2 A I1 I4 I3 20 RQ : En choisissant l'orientation de I1,I2,I3, et I4, vous ne préjugez pas du sens effectif du courant. Vous fixer seulement des conventions indiquant dans quel sens I1,I2,I3 et I4 seront considérées positives. En pratique, les intensités mentionnées peuvent avoir des valeurs positives ou négatives, le tout est de respecter la convention choisie pour le sens des intensités o loi des mailles : Chaque circuit peut être décompose en un certain nombre de mailles (suite de dipôles formant une boucle fermée). La somme des tensions élémentaires mesurées le long d’une de ces mailles jusqu'à` revenir au point de départ est nulle. Ex : Considérons le circuit suivant, e1 + r R3 I A B R4 R5 C + E e2 R1 D R2 on peut définir plusieurs mailles: maille 1: UAB+UBC+ UCD+ UDA= UAA=0, avec UMN= VM- VN VN étant le potentiel au point N. Maille 2: UBE+UEC+ UCB= UBB=0 Maille 3: UCE+UED+ UDC= UCC=0 21 RQ: Toute autre maille supplémentaire n'apporterait qu'une information redondante. (Vérifiez le dans deux cas au moins.) Pour un circuit comprenant N nœuds et B branches, on pourra etablir N-1 equations independantes avec la loi des nœuds et B-(N-1) equations independantes avec la loi des mailles (ici N=4 et B=6). 5.4) Dipôles en série, en parallèle: Rtot=R1+R2 En serie: R1 R2 Rtot 1/Rtot = 1/R1 + 1/R2 En Parallele: R1 Rtot R2 5.5) Aspects energetiques (résistances, generateurs) Soit un dipôle soumis à une tension UAB et parcouru par un courant d'intensite I.A tout instant, des porteurs de charges passent de la borne A ou` ils ont une energie potentielle electrique qVA, à la borne B, ou` ils ont une energie potentielle electrique qVB. En un temps dt, les porteurs de charge ont donc reçu l'énergie 22 dEp = dQ (VB-VA), i.e. - UAB. I dt. Si cette énergie est négative, i.e. si les porteurs de charge on perdu de l'énergie, cette énergie à été dispersée ou stockée dans le dipôle. Si cette énergie est positive, i.e. si les porteurs de charge ont gagné de l'énergie, cette énergie à été fournie au sein du dipôle ( par une réaction chimique par exemple dans le cas des piles). L'énergie reçue par le dipôle vaut dEd = UAB. I dt. (=-dEp) la puissance instantanée reçue par le dipôle vaut P = UAB. I Un exemple classique consiste en un courant d'intensite I traversant une resistance pure R. L'energie electrique est dissipee sous forme de chaleur, c'est l'effet Joule. La puissance reçue et dissipée dans une resistance R vaut: P= RI2 Le cas suivant correspond à celui d'un générateur de courant fonctionnant en générateur. 23 e + A r B I UAB dEd=UAB.I dt= (-e+rI).I dt La puissance P reçue par le dipôle est negative (pour I>0): Le dipôle fonctionne en générateur: P= -e.I +r.I2 <0 On peut la décomposer en e.I puissance totale fournie par le générateur (e.g. par les réactions chimiques) rI2 puissance dissipée sous forme de chaleur du fait de la résistance interne du générateur RQ: Si le courant parcourt le générateur dans le sens inverse (I<0), dEd= UAB.I dt = (-e+rI).I dt La puissance reçue par le générateur est positive: Le dipôle fonctionne en récepteur: P= -e.I +r.I2 >0 Et se décompose en: -e.I >0 puissance recueillie par le générateur, (éventuellement stockée chimiquement) rI2 >0 la puissance dissipée par effet Joule. 24 6) REGIMES VARIABLES, APPROXIMATION QUASI STATIONNAIRE: 6.1) Notion de régime quasi stationnaire : On sera en régime quasi stationnaire lorsqu' on pourra considérer que, à tout instant, l'intensité du courant est la même le long d'une même branche (i.e. entre deux nœuds), i.e. que la charge Q portée par un tronçon quelconque du circuit est constante par rapport au temps (condensateur exclu ou complètement inclus…). Cette condition est vérifiée tant que les dimensions du circuit restent faibles et les temps caractéristiques de variation du courant (intensité et tension) restent grands, typiquement des longueurs inférieures à quelques centaines de mètres et des fréquences inférieures au MHz. On peut alors appliquer les lois de Kirchhoff. RQ: Les perturbations se propageant le long du conducteur avec une vitesse de l'ordre de celle de la lumière dans le vide c, pour des variations avec des fréquences inférieures au MHz, i.e. des temps caractéristiques supérieurs à la micro-seconde, la perturbation a le temps de parcourir quelques centaines de mètres. 6.2) De nouveaux dipôles : condensateurs et bobines, principe : o Condensateurs : Un condensateur est constitue' de deux armatures séparées par un isolant, chacune étant reliée à une borne de ce dipôle. A un instant donne, le condensateur étant charge, l’armature A porte une charge QA (positive ou négative). On sait alors (cf cours d’électrostatique) que l’armature B porte la charge opposée QB= –QA. Par ailleurs, la tension aux bornes UAB = QA/C (RQ : . UBA = QB/C), avec C la capacité (en farads) du condensateur. RQ : I= dQA/dt, une relation très utile qui traduit le fait que la charge de l’armature A augmente en proportion des charge (positives par convention) qui lui sont apportées par le courant d’intensité I. 25 QA (-QA) A I B C UAB UAB = QA/C avec C capacité (en farads,F) NB: I= dQA/dt o Bobine (ou self, solénoïde) : Le fonctionnement d’une bobine prend sa source dans le phénomène remarque par Oersted (cf sect.2) qui a permis d’établir le lien entre courant électrique et champ magnétique induit. Nous ne développerons pas ici ce point qui sort de notre programme. Nous nous contenterons de mentionner qu’a la suite d’Oertsed, Ampère a montre qu’un courant électrique circulant dans un fil rectiligne engendre un champ magnétique dont les lignes de champ sont circulaires, centrées sur le fil et orthogonales a son axe. B est proportionnel au courant I et inversement proportionnel a` la distance au fil. Une bobine consiste en un enroulement d’un fil enrobe d’un isolant sous forme d’un grand nombre de spires jointives. Cette configuration géométrique permet d’additionner les champs magnétiques crées par les différentes spires. Il en résulte a` l’intérieur du solénoïde un champ magnétique B homogène colinéaire à l’axe du solénoïde et qui est d’autant plus intense que la densité des spires est grande et que l’intensité du courant qui y circule est grande. La tension aux bornes UAB = L dI/dt, avec I l’intensité du courant qui traverse la bobine et L l’inductance (en henrys, H) de la bobine. 26 L A I B UAB UAB = L dI/dt avec L inductance (en henry, H) 6.2.1) Dipôles en série, en parallèle: Ltot=L1+L2 En serie: L1 L2 Ltot 1/Ctot=1/C1+1/C2 En serie: C1 C2 Ctot 27 1/Ltot = 1/L1 + 1/L2 En Parallèle: L1 Ltot L2 Ctot = C1 + C2 En Parallèle: C1 Ctot C2 exercices: démontrez les relations précédentes 28 6.3) Régimes transitoires : Charge et décharge d’un condensateur, établissement et interruption du courant à travers une bobine, cas plus général: circuit RLC série: Illustration: exercices TP2, TDC Les régimes transitoires correspondent comme leur nom l’indique à des phases transitoires entre deux régimes stationnaires ou alternatifs (périodiques). Il s’agit donc bien de régimes variables, mais à la différence des régimes alternatifs sinusoïdaux abordes plus loin, ils ne sont pas périodiques. o Exemple 1: Charge et décharge d’un condensateur : Considérons le montage suivant : QA A B I R C Le circuit ouvert, un condensateur est charge' préalablement (au moyen d’une pile par ex.). A l’instant t=0, l’interrupteur est ferme. A l’aide des lois de Kirchhoff, on peut mettre en équation l’état du circuit à tout instant t>=0 : uAB+uBC=0 QA/C+RI=0 et I=dQA/dt 29 dQA/QA=-1/(RC) dt dln(QA)=-1/(RC) dt ln(QA)=-t/(RC) + cte QA= A0 e-t/(RC) La constante A0 peut être déterminée par les conditions a` l’origine t=0 : QA/C=U0 tension de la pile utilisée. AN : Prenez pour C et R les valeurs (10 μF et 1000 Ω) et tracez l’évolution de QA. Que vaut la dérivée dQA/dt en fonction du temps ; à t=0 ? Montrer que RC représente un temps caractéristique de décroissance de QA. L’approximation quasi stationnaire est-elle justifiée ici ? Quels sont les régimes entre lesquels se situe ce régime transitoire ? Quel est le sens physique d’une augmentation de R, de C ? Considérons maintenant la charge de ce condensateur à l’aide du montage suivant : QA A B I e - + R C Le condensateur est initialement déchargé et a t=0, on ferme l’interrupteur. A tout t>=0, -e+rI+RI+QA/C=0 et I=dQA/dt QA+C(R+r)dQA/dt= eC (1) 30 RQ : sol de (1) = solution de (2) + eC QA+C(R+r)dQA/dt=0 (2) Comme précédemment, dQA/QA=-1/(C(R+r))dt … QA= A0e-t/(C(R+r)) pour (2), et QA= A0e-t/(C(R+r)) + eC pour (1) NB: La constante A0 est déterminée en fonction des conditions initiales : à t=0, QA=0, d’où A0=-eC et QA=eC(-e-t(C(R+r)) +1) o Exemple 2: établissement et interruption du courant à travers une bobine : On réalise le montage suivant : L A B I u - + R C avec u tel que: u=u0 pour t<0 et 31 u=0 pour t>=0 En t=0, le générateur de tension cesse donc de se comporter en générateur de tension. On admettra qu'il se comporte alors en résistance nulle, puisqu'à tout instant ultérieur, la ddp entre ses bornes u=0. RQ: On négligera la résistance de la bobine (et la résistance interne du générateur devant R) Quelque soit t, on a: -u+L di(t)/dt +R i(t)=0 Considérons tout d'abord le régime permanent instaure en t<0: Dans ce régime, i = cte et u=u0=R i , ou i= u0/R Considérons maintenant le régime transitoire t>=0: Ldi(t)/dt +R i(t)=0 di/i = -R/L dt Ln(i)= -R/L t + cte i = A0 e-(R/L) t et la constante A0 peut être déterminée grâce au conditions initiales; à t=0: i= u0/R, d’où A0= u0/R i(t>=0)= u0/R e-(R/L) t 32 o Exemple 3: Circuit RLC série : Considérons le montage suivant : QA I A B L R D C Le circuit ouvert, un condensateur est charge' préalablement (au moyen d’une pile par ex.). A l’instant t=0, l’interrupteur est fermé. A l’aide des lois de Kirchhoff, on peut mettre en équation l’état du circuit à tout instant t>=0 : uAB+ uBC +uCD=0 QA/C+LdI/dt+RI=0 et I=dQA/dt D’où: Ld2QA/dt2+RdQA/dt+QA/C=0 (1) Cette équation est rencontrée très fréquemment en physique; elle décrit le comportement d'un oscillateur amorti. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. La résolution de ce type d'équation (cf annexe.1) est obtenue de manière classique en cherchant une solution du type erit (avec ri complexe). En remplaçant QA par erit dans (1), on obtient l'équation caractéristique du système: L r2i +R ri + 1/C=0 On cherche les solutions de cette simple équation du second degré de déterminant: Δ = R2 - 4 L/C 33 Suivant les valeurs de R, L et C, on rencontre alors trois cas particuliers et trois types de solutions: Δ >0, ( i.e. R2 > 4L/C ), l'équation caractéristique présente deux solutions réelles r1 et r2 (toutes deux négatives); la solution générale de (1) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de deux termes: QA= α er1t + β er2t (avec α et β réels) r1 et r2 <0, la solution est donc du type décroissance exponentielle. L'oscillation est "suramortie"; on ne voit pas d'oscillation. Δ <0, ( i.e. R2 < 4L/C ), l'équation caractéristique présente deux solutions complexes r1 et r2 ; la solution de (1) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de deux termes: α er1t + β er2t (avec α et β complexes) C'est une solution complexe, dont on ne va garder que la partie réelle pour décrire QA (cf annexe 1) QA= γ e-t/τ cos(wt+λ) avec γ,τ et λ réels et τ = 2L/R w2= 1/(LC) -1/τ2 RQ: 1/(LC)= w20 , avec w0 pulsation de l'oscillateur harmonique, sans amortissement. La solution est donc du type oscillatoire avec une décroissance exponentielle de l'amplitude d'oscillation qui tend vers zéro. Δ =0, ( i.e. R2 = 4L/C ), l'équation caractéristique présente une solution réelle r1 qui ne suffit pas à décrire l'espace des solution (de dimension 2). Par la méthode dite de la "variation de la constante", on montre que la solution de (1) peut s'écrire: QA= e-t/τ (k1 t+Κ2) avec τ , k1 et Κ2 réels et τ = 2L/R La solution est décroissante (en fait c'est le cas ou la décroissance est la plus rapide). Ce cas intermédiaire est appelé "amortissement critique". 34 6.3.2) Aspects énergétiques: Comme précédemment (cf 5.5), à tout instant, P= UAB I représente la puissance instantanée reçue par un dipôle soumis à une tension UAB et parcouru par un courant d'intensité I. la puissance instantanée reçue par le dipôle vaut P(t) = UAB(t). I(t) A l'instant t la quantité élémentaire d'énergie reçue par le dipôle vaut dEd = UAB. I dt. (=-dEp ,reçue par les porteurs) L'énergie reçue par le dipôle depuis le temps t0 vaut t ∫ t0dEd = ∫ t t0 UAB. I dt. Pour les deux nouveaux dipôles considérés (condensateurs et Bobine): Condensateur: à tout instant t, la puissance reçue par un condensateur vaut: P(t)= UAB I = U dQ/dt = U C dU/dt = d/dt (C U2 /2) Et l'énergie stockée par le condensateur (sous forme d'énergie potentielle électrique): E(t)= C U2 /2 [= Q2 /(2C) ] 35 Bobine: à tout instant t, la puissance reçue par une bobine (dont on négligera la résistance) vaut: P(t)= UAB I = L I dI/dt = d/dt (L I2 /2) Et l'énergie stockée par la bobine (sous forme d'énergie potentielle magnétique): E(t)= L I2 /2 36 6.4) Régimes alternatifs sinusoïdaux : Illustration: exercices TP3, TP4, TP5, TDD Les régimes sinusoïdaux correspondent à des régimes variables alternatifs (périodiques), au cours desquels toutes les grandeur caractérisant le circuit suivent des variations sinusoïdales: a sin(wt+φ) (ou équivalent: a cos(wt+φ')). Exemple : Circuit RLC série : Considérons le montage suivant : QA I A ~ B L e R D C avec e= UAD= e0 cos(wt+φ) on pourra supposer φ=0 (convention arbitraire d'origine des temps). A l’aide des lois de Kirchhoff, on peut mettre en équation l’état du circuit à tout instant t : uAB+ uBC +uCD+ uDA =0 QA/C+LdI/dt+RI-e=0 et I=dQA/dt D’où: Ld2QA/dt2+RdQA/dt+QA/C=e (1) Ou, en dérivant (1) par rapport au temps: 37 Ld2I/dt2+RdI/dt+I/C=de/dt (1') L'equation (1), comme l'equation (1'), est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, avec second membre. La solution générale de (1) est la somme de deux composantes: - a) la solution de l'équation homogène (sans second membre): oscillation amortie plus ou moins rapidement, cf régimes transitoires (6.3) - b) une solution particulière qui pour un tel second membre est de la forme: I= I0 cos(wt+ψ) ou QA=Q0 cos(wt+ψ') Car en régime sinusoïdal, on peut montrer que toutes les grandeurs peuvent être écrites sous cette forme: A(t)= A0 cos(wt+ψ) avec (A,ψ) Réels et A positif, et ψ ]-π,π] Apres une phase transitoire, la composante transitoire a de la solution est atténuée, on atteint un régime sinusoïdal dont la solution correspond au terme b Exprimons dans le cas présent cette solution particulière: *Æ(1): -Rw Q0 sin(wt+ ψ')+ Q0/C cos(wt+ψ')-L w2Q0 cos(wt+ψ')= E0 cos(wt+φ) (2) On doit trouver (Q0 ,ψ') qui vérifient cette équation. Pour résoudre ce type de problème, il est pratique d'utiliser la notation complexe, i.e. de remplacer toutes les fonctions A(t) du type A0 cos(wt+ψ) par A0 ej(wt+ψ) ou A0 ej(ψ) ej(wt) Ou A0 ej(wt) avec A0 complexe et A0= A0 ej(ψ) La correspondance est univoque (bijective). A un couple (A0,ψ) correspond une seule fonction A0 cos(wt+ψ) et une seule fonction A0 ej(wt) dont A0 cos(wt+ψ) est la partie réelle. L'intérêt de cette représentation est de simplifier les opérations de dérivation et d'intégration, Ex: A(t)= A0 cos(wt+ψ) Æ A(t) =A0 ej(wt) dA/dt= -A0 w sin(wt+ψ) Æ dA/dt=jwA elle permet également de remplacer les équations différentielles par de simples équations algébriques entre nombres complexes. 38 6.4.1) Impédance complexe : Pour écrire ces équations, il suffit d'utiliser les impédances complexes définies ainsi pour les différents dipôles: dipôle Notation reelle Notation complexe Impedance complexe Z, U=ZI resistance U=RI U=RI Z=R bobine U=LdI/dt U=jwLI Z=jwL condensateur I=C dU/dt U=I/(jwC) Z=1/(jwC) generateur U=-e+ZI et d'une manière générale: Cas RLC serie: Z= R +jwL + 1/(jwC), i.e = R+jwL -j/(wC) Z= R +j[wL-1/(wC)] avec une partie reelle R, la résistance et une partie Imaginaire […], la réactance NB: En serie: Ztot=Z1+Z2 En parallele: 1/Ztot=1/Z1+1/Z2 Et A=1/Z l'admittance complexe 6.4.2) Représentation de Fresnel : La représentation de Fresnel permet de décrire géométriquement les impédances complexes, dans le plan complexe: 39 I 1/wC Z wL\ R R U=Z i i.e. pour i =i0 ejwt U=|Z| ejψ i U est en avance de phase sur i, si ψ>0 i.e. si wL>1/(wC) "Impedance inductive" U est en retard de phase sur i, si ψ<0 i.e. si wL<1/(wC) "Impedance capacitive" U est en phase avec i, si ψ=0 i.e. si wL=1/(wC) (resistance pure) Exemple : Circuit RLC série : (suite) Pour le circuit précédent, on peut ainsi écrire directement la loi des mailles: -e +R i +1/(jwC) i + jwL i = 0 i = e [R+1/(jwC)+jwL]-1 40 On veut le module et l'argument de i : i = e0 ejwt [R+1/(jwC)+jwL]-1 i = e0 ejwt [R-j(wL-1/(wC))][R2+(-1/(wC)+wL)2]-1 |i| = e0 [R2+(wL-1/(wC))2]-1/2 i =|i| ejwt ejψ et on veut déterminer sin(ψ) = Im(i / ejwt)/|i| cos(ψ) = Re(i / ejwt)/|i| sin(ψ) = - (wL-1/(wC)) [R2+(wL-1/(wC))2]-1/2 cos(ψ) = R [R2+(wL-1/(wC))2]-1/2 >0 i.e. ψ dans ]-π/2,π/2[ tg(ψ) = - (wL-1/(wC)) /R et i= |i| cos(wt+ψ) RQ: On aurait pu effectuer le calcul pour QA à partir de (1) ou écrire dQA/dt=i et intégrer. 6.4.3) Resonance : On remarque dans l'exemple précédent que |i| dépend de w et passe par un maximum pour w=(LC)-1/2, et decroit de part et d'autre de cette valeur en tendant vers 0 pour wÆ0 et pour wÆinfini. C'est le phénomène de résonance, qui se manifeste autour de w=(LC)-1/2 fréquence propre du circuit. On remarque qu'à la résonance, cosψ=1, i.e. i et e sont en phase. 6.4.4) Aspects énergétiques: Considérons un dipôle linéaire d'impédance Z 41 Z i A B uAB i=im cos(wt) Æ i= im ejwt u= um cos(wt+ϕ) Æ u= um ej(wt+ϕ) Z= u/ i |Z|= um/ im ϕ =arg(Z) Comme précédemment (cf 5.5), à tout instant, P= uAB i représente la puissance instantanée reçue par le dipôle soumis à une tension uAB et parcouru par un courant d'intensité i. la puissance instantanée reçue par le dipôle vaut P(t) = uAB(t). i(t) NB: P(t) différent de Re(u i) car le produit ui n'est pas linéaire; il faut prendre P(t)= Re(u) Re(i) =dEd/dt variation à l'instant t de l'énergie reçue par le dipôle. P(t)= um im cos(wt) cos(wt+ϕ) Hors, 2cosa cosb = cos(a+b) + cos(a-b) P(t)=1/2 um im [ cos(2wt+ ϕ )+ cos(ϕ)] On constate que P(t) est une fonction periodique de periode T=π/w i.e. de periode moitie de celle de i,u,etc…(2π/w). Sauf si cosϕ=1, P est tantôt>0 (dipôle récepteur), tantôt <0 (dipôle générateur). 42 Il est intéressant de connaître la moyenne de P, pour savoir si globalement, le dipôle est plutôt récepteur ou générateur. Puissance moyenne reçue par le dipôle: <P(t)> = ½ um im cos(ϕ) avec cos(ϕ) "facteur de puissance" du dipôle C'est pourquoi, en régime sinusoïdal, on définit: Intensite efficace Ieff= im/sqrt(2) Et tension efficace Ueff=um/sqrt(2) Telles que: <P> = Ueff Ieff cos(ϕ) Dans une résistance pure cos(ϕ)=1 (<P> maximale) Dans une bobine parfaite cos(ϕ)=0 (ϕ=π/2) (<P>=0) Dans un condensateur parfait cos(ϕ)=0 (ϕ=-π/2) (<P>=0) Dans un dipole d'impedance Z=X+jY , cos(ϕ)=X/|Z| <P>=Ueff Ieff X/|Z| = X (Ieff)2 .seule intervient dans le bilan énergétique moyen la composante résistive. 43 Annexe 1 Résolution d'équation différentielle du second ordre à coefficients constants Ad2f/dt2+Bdf/dt+Cf=0 (1) Cette équation est rencontrée très fréquemment en physique; elle décrit le comportement d'un oscillateur amorti. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène du second ordre à coefficients constants. Comme nous le verrons, les solutions réelles de cette équation prennent des formes variées suivant la valeur des coefficients considérés. En revanche, on montre: - qu'il existe toujours des solutions complexes de la forme erit (avec ri complexe), - que l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2 (et donc que la solution générale de (1) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de deux solutions indépendantes), - que la partie réelle de la solution générale complexe est la solution générale réelle de (1). La résolution de ce type d'équation est donc obtenue de manière classique en cherchant une solution du type erit (avec ri complexe). En remplaçant f par erit dans (1), on obtient l'équation caractéristique du système: A r2i +B ri + C=0 On cherche les solutions de cette simple équation du second degré de déterminant: Δ = B2 - 4 AC Suivant les valeurs de A, B et C, on rencontre alors trois cas particuliers et trois types de solutions: Δ >0, ( i.e. B2 > 4AC ), l'équation caractéristique présente deux solutions réelles r1 et r2 (toutes deux négatives): r1 = (-B-sqrt(Δ))/2A et r2 = (-B+ sqrt(Δ))/2A auxquelles sont associées deux solutions indépendantes de (1): er1t et er2t . la solution générale complexe de (1) peut s'écrire comme une combinaison linéaire de deux termes: α' er1t + β' er2t ] (avec α et β complexes), et la solution générale réelle de (1): f=Re[ α' er1t + β' er2t ] ou, de manière équivalente f= α er1t + β er2t (avec α et β réels) 44 r1 et r2 <0, la solution est donc du type décroissante exponentielle. L'oscillation est "suramortie", on ne voit pas d'oscillation. Δ <0, ( i.e. B2 < 4AC ), l'équation caractéristique présente deux solutions complexes r1 = (-B- i sqrt(|Δ|))/2A et r2 = (-B+ i sqrt(|Δ|))/2A auxquelles sont associées deux solutions indépendantes de (1): er1t et er2t . La solution générale de (1) peut s'écrire comme une combinaison linéaire des deux termes : α er1t + β er2t (avec α et β complexes) C'est une solution complexe, dont on ne va garder que la partie réelle pour décrire f f= γ e-t/τ cos(wt+λ) avec γ,τ et λ réels et τ = 2A/B w2= C/A -1/τ2 RQ: C/A= w20 La solution est donc du type oscillatoire avec une décroissance exponentielle de l'amplitude d'oscillation qui tend vers zéro. Δ =0, ( i.e. B2 = 4AC ), l'équation caractéristique présente une solution réelle r1 = -B/(2A) , qui ne suffit pas à décrire l'espace des solution (de dimension 2). Par la méthode dite de la "variation de la constante"( on remplace f par K(t) er1t ,dans (1) et l'on montre que la solution de (1) peut s'écrire er1t (k1 t+Κ2)) et f= e-t/τ (k1 t+Κ2) avec τ , k1 et Κ2 réels et τ = 2A/B La solution est décroissante (en fait c'est le cas ou la décroissance est la plus rapide). Ce cas intermédiaire est appelé "amortissement critique". 45
