Fondements de l`informatique Logique, modèles, et

Fondements de l’informatique
Logique, modèles, et calculs
Cours INF423
de l’Ecole Polytechnique
Olivier Bournez
Version du 20 septembre 2013

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Table des matières
1 Introduction 9
1.1 Concepts mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Ensembles, Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Alphabets, Mots, Langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Changement d’alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.4 Graphes............................. 15
1.1.5 Arbres.............................. 16
1.2 La méthode de diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Récursivité et induction 21
2.1 Motivation................................ 21
2.2 Raisonnement par récurrence sur N................... 21
2.3 Définitions inductives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Principe général d’une définition inductive . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Formalisation : Premier théorème du point fixe . . . . . . . . 24
2.3.3 Différentes notations d’une définition inductive . . . . . . . . 24
2.4 Applications............................... 25
2.4.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.2 Arbres binaires étiquetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.3 Expressions arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.4 Termes ............................. 28
2.5 Preuves par induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Dérivations ............................... 30
2.6.1 Écriture explicite des éléments : Second théorème du point fixe 30
2.6.2 Arbres de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Fonctions définies inductivement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Calcul propositionnel 35
3.1 Syntaxe ................................. 35
3.2 Sémantique ............................... 37
3.3 Tautologies, formules équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Quelques faits élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3

4TABLE DES MATIÈRES
3.5 Remplacements d’une formule par une autre équivalente . . . . . . . 39
3.5.1 Une remarque simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2 Substitutions .......................... 40
3.5.3 Compositionnalité de l’équivalence . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Système complet de connecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Complétude fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8 Formesnormales ............................ 42
3.8.1 Formes normales conjonctives et disjonctives . . . . . . . . . 42
3.8.2 Méthodes de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9 Théorème de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9.1 Satisfaction d’un ensemble de formules . . . . . . . . . . . . 45
3.10Exercices ................................ 47
3.11 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Démonstrations 49
4.1 Introduction............................... 49
4.2 Démonstrations à la Frege et Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Démonstration par déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Règles de la déduction naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Validité et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Démonstrations par résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5 Démonstrations par la méthode des tableaux . . . . . . . . . . . . . . 56
4.5.1 Principe............................. 56
4.5.2 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.5.3 Terminaison de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.4 Validité et complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.5 Complétude........................... 61
4.5.6 Une conséquence du théorème de compacité . . . . . . . . . 62
4.6 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Calcul des prédicats 63
5.1 Syntaxe ................................. 64
5.1.1 Termes ............................. 65
5.1.2 Formules atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1.3 Formules ............................ 66
5.2 Premières propriétés et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.1 Décomposition / Lecture unique . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 Variables libres, variables liées . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Sémantique ............................... 69
5.3.1 Interprétation des termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.2 Interprétations des formules atomiques . . . . . . . . . . . . 70
5.3.3 Interprétation des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.4 Substitutions .......................... 72
5.4 Équivalence. Formes normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.1 Formules équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.4.2 Forme normale prénexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

TABLE DES MATIÈRES 5
5.5 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6 Modèles. Complétude. 77
6.1 Exemplesdethéories .......................... 78
6.1.1 Graphe ............................. 78
6.1.2 Remarques simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.1.3 Égalité ............................. 79
6.1.4 Petite parenthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.1.5 Groupes............................. 81
6.1.6 Corps.............................. 82
6.1.7 Arithmétique de Robinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.1.8 Arithmétique de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.2 Complétude............................... 85
6.2.1 Conséquence .......................... 85
6.2.2 Démonstration ......................... 85
6.2.3 Énoncé du théorème de complétude . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.4 Signification de ce théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2.5 Autre formulation du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Preuve du théorème de complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.1 Un système de déduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3.2 Théorème de finitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.3 Deux résultats techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3.4 Validité du système de déduction . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3.5 Complétude du système de déduction . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Compacité................................ 91
6.5 Autresconséquences .......................... 92
6.6 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7 Modèles de calculs 93
7.1 MachinesdeTuring........................... 94
7.1.1 Ingrédients ........................... 94
7.1.2 Description........................... 95
7.1.3 Programmer avec des machines de Turing . . . . . . . . . . . 98
7.1.4 Techniques de programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.1.5 Applications .......................... 103
7.1.6 Variantes de la notion de machine de Turing . . . . . . . . . . 104
7.1.7 Localité de la notion de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 MachinesRAM............................. 108
7.2.1 Modèle des machines RAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2.2 Simulation d’une machine RISC par une machine de Turing . 110
7.2.3 Simulation d’une machine RAM par une machine de Turing . 112
7.3 Modèles rudimentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3.1 Machines à k≥2piles..................... 112
7.3.2 Machines à compteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4 Thèse de Church-Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4.1 Équivalence de tous les modèles considérés . . . . . . . . . . 116