Table des mati`eres

BROUILLON
Table des mati`eres
1 Introduction 9
2 Pr´eliminaires 11
2.1 Alg`ebre ................................ 11
2.2 Calculsbool´eens ........................... 11
2.3 Graphes ................................ 12
2.4 Arbres................................. 12
2.5 Alphabets, Mots, Langages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6 Changement d’alphabet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Codage,D´ecodage .......................... 15
2.8 Logique Propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.8.1 Syntaxe de la logique propositionnelle . . . . . . . . . . . 17
2.8.2 S´emantique de la logique propositionnelle . . . . . . . . . 17
2.9 Structures du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.9.1 Signature ........................... 18
2.9.2 Termeclos .......................... 19
2.9.3 S´emantique .......................... 19
2.9.4 Isomorphisme de structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.10 Logique du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.10.1 Termes ............................ 21
2.10.2 Formules ........................... 22
2.10.3 S´emantique .......................... 22
2.11 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Quelques algorithmes 25
3.1 Quelquesexemples .......................... 25
3.1.1 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.2 L’algorithme de Syracuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.3 L’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.4 Algorithme de Bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.5 Le probl`eme du sac `a dos r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.6 Equations polynomiales `a une inconnue . . . . . . . . . . 28
3.1.7 Equations lin´eaires `a n-inconnues : l’´elimination de Gauss 29
3.1.8 Equations polynomiales `a n-inconnues . . . . . . . . . . . 30
3

BROUILLON
4TABLE DES MATI ` ERES
3.2 Une petite discussion de cosm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Notre ´ecriture des algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.2 Etats ´el´em´entaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Qu’est-ce qu’un algorithme ? 35
4.1 Introduction.............................. 35
4.2 Premierpostulat ........................... 35
4.3 Secondpostulat............................ 36
4.4 Structures vs m´emoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5 Mises`ajour.............................. 37
4.6 Troisi`emeposulat........................... 38
4.7 D´efinition formelle d’un d’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8 Une forme normale pour les algorithmes . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8.1 Termes critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.8.2 Affectation .......................... 40
4.8.3 Mise en parall`ele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.8.4 Construction si . . .alors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.8.5 Formenormale ........................ 41
4.9 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Quelques mod`eles, et leur ´equivalence 45
5.1 MachinesdeTuring ......................... 45
5.1.1 Description .......................... 45
5.1.2 Formalisation......................... 46
5.1.3 Une machine de Turing est un algorithme . . . . . . . . . 47
5.2 Machines de Turing sur une structure M.............. 48
5.2.1 Description .......................... 48
5.2.2 Formalisation......................... 49
5.2.3 Une machine de Turing sur une structure Mest un algo-
rithme............................. 50
5.2.4 Machines de Turing vs Machines de Turing . . . . . . . . 51
5.3 Machines RAM sur une structure M................ 51
5.3.1 D´efinition........................... 51
5.3.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 51
5.4 Equivalence entre algorithmes et machines de Turing . . . . . . . 52
5.5 Automates `a k≥2 piles sur une structure M........... 52
5.5.1 D´efinitions .......................... 52
5.5.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 52
5.6 Automates `a compteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.1 D´efinitions .......................... 52
5.6.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 52
5.7 Fonctions r´ecursives `a la Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.8 Notes bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

BROUILLON
TABLE DES MATI ` ERES 5
6 Kit de survie en calculabilit´e 55
6.1 Introduction.............................. 55
6.2 Langages r´ecursivement ´enum´erables, d´ecidables . . . . . . . . . 55
6.3 L’existence d’une machine universelle . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 Premier probl`eme ind´ecidable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Notion de r´eduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.6 Th´eor`emedeRice .......................... 57
6.7 Probl`emes ind´ecidables naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.7.1 PbdePost .......................... 57
6.8 Enum´eration, Smn, Points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.9 D´ecidabilit´e de th´eories logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.10 Th´eor`emes de G¨ odel ......................... 58
6.11Lereste ................................ 59
7 Circuits et Complexit´e 61
7.1 La notion de circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.1 Circuit bool´een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.1.2 Circuit sur une structure M................. 61
7.2 Langage calcul´e par une famille de circuits . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.1 Famille de circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2.2 Taille, profondeux, relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Circuits et Algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Pet circuits polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.1 Besoin d’uniformit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.4.2 P et circuits polynomiaux uniformes . . . . . . . . . . . . 63
7.5 Bornes infs par circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.6 Classes parall`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.6.1 Classes NCiet ACi...................... 64
7.6.2 Classe NC .......................... 64