Table des mati`eres

Table des matières
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
12
12
14
15
15
17
17
17
18
18
19
19
20
21
21
22
22
23
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
Gauss
. . . .
25
25
25
26
27
27
28
28
29
30
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
BR
O
U
IL
LO
2 Préliminaires
2.1 Algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Calculs booléens . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Alphabets, Mots, Langages . . . . . . . . . . . .
2.6 Changement d’alphabet . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Codage, Décodage . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Logique Propositionnelle . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Syntaxe de la logique propositionnelle . .
2.8.2 Sémantique de la logique propositionnelle
2.9 Structures du premier ordre . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Terme clos . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.4 Isomorphisme de structures . . . . . . . .
2.10 Logique du premier ordre . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Termes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.3 Sémantique . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Notes bibliographiques . . . . . . . . . . . . . . .
N
1 Introduction
3 Quelques algorithmes
3.1 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 L’algorithme de Syracuse . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 L’ensemble de Mandelbrot . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Algorithme de Bissection . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Le problème du sac à dos réel . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Equations polynomiales à une inconnue . . . . . .
3.1.7 Equations linéaires à n-inconnues : l’élimination de
3.1.8 Equations polynomiales à n-inconnues . . . . . . .
3
4
TABLE DES MATIÈRES
3.2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
32
34
4 Qu’est-ce qu’un algorithme ?
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Premier postulat . . . . . . . . . . . . .
4.3 Second postulat . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Structures vs mémoire . . . . . . . . . .
4.5 Mises à jour . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Troisième posulat . . . . . . . . . . . . .
4.7 Définition formelle d’un d’algorithme . .
4.8 Une forme normale pour les algorithmes
4.8.1 Termes critiques . . . . . . . . .
4.8.2 Affectation . . . . . . . . . . . .
4.8.3 Mise en parallèle . . . . . . . . .
4.8.4 Construction si . . .alors . . . . .
4.8.5 Forme normale . . . . . . . . . .
4.9 Notes bibliographiques . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
35
36
37
37
38
39
39
39
40
40
41
41
43
BR
O
U
IL
LO
N
3.3
Une petite discussion de cosmétique .
3.2.1 Notre écriture des algorithmes
3.2.2 Etats éléméntaires . . . . . . .
Notes bibliographiques . . . . . . . . .
5 Quelques modèles, et leur équivalence
45
5.1 Machines de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.2 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1.3 Une machine de Turing est un algorithme . . . . . . . . . 47
5.2 Machines de Turing sur une structure M . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2.2 Formalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2.3 Une machine de Turing sur une structure M est un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2.4 Machines de Turing vs Machines de Turing . . . . . . . . 51
5.3 Machines RAM sur une structure M . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.3.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 51
5.4 Equivalence entre algorithmes et machines de Turing . . . . . . . 52
5.5 Automates à k ≥ 2 piles sur une structure M . . . . . . . . . . . 52
5.5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.5.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 52
5.6 Automates à compteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6.2 Equivalence avec les machines de Turing . . . . . . . . . . 52
5.7 Fonctions récursives à la Kleene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.8 Notes bibliographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5
TABLE DES MATIÈRES
de survie en calculabilité
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Langages récursivement énumérables, décidables
L’existence d’une machine universelle . . . . . . .
Premier problème indécidable . . . . . . . . . . .
Notion de réduction . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Rice . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problèmes indécidables naturels . . . . . . . . . .
6.7.1 Pb de Post . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Enumération, Smn, Points fixes . . . . . . . . . .
6.9 Décidabilité de théories logiques . . . . . . . . . .
6.10 Théorèmes de Gödel . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Le reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
BR
O
U
IL
LO
7 Circuits et Complexité
7.1 La notion de circuit . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Circuit booléen . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Circuit sur une structure M . . . . .
7.2 Langage calculé par une famille de circuits .
7.2.1 Famille de circuits . . . . . . . . . .
7.2.2 Taille, profondeux, relations . . . . .
7.3 Circuits et Algorithmes . . . . . . . . . . .
7.4 P et circuits polynomiaux . . . . . . . . . .
7.4.1 Besoin d’uniformité . . . . . . . . .
7.4.2 P et circuits polynomiaux uniformes
7.5 Bornes infs par circuits . . . . . . . . . . . .
7.6 Classes parallèles . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.1 Classes N C i et AC i . . . . . . . . . .
7.6.2 Classe N C . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
55
55
55
56
56
56
57
57
57
58
58
58
59
N
6 Kit
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
61
61
61
61
61
62
63
63
63
63
63
64
64