Poly Optique Physique Chapitre Diffraction

Opt. Phys Partie 2 : Diffraction 1 02/11/2016
Henri BENISTY novembre 2015
COURS D’OPTIQUE PHYSIQUE ESO1
Partie 2 : Diffraction
I. Formulation générales
I.1 Introduction, exemple de l’effet Talbot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I.2 Propagation dans le vide, Développement en Ondes Planes (Cours de liaison avec l’e.m., sera fait
par F. Marquier ) . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.3 Principe de Huygens Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.4 Diffraction de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II à V : Formulations de Fourier
II) Diffraction à l’infini ou diffraction de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
III) Généralisation de la diffraction de Fraunhofer à une conjugaison quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV) Imagerie en lumière cohérente (optique de Fourier), applic. à la strioscopie et au contraste de phase. . . . 27
V) Application aux réseaux, réseaux blazés (hors poly : voir transparents).
A. Partie 2 : Diffraction
A.I. Formulations générales
A.I.1. INTRODUCTION
Bibliographie personnelle :
 Eugene Hecht, « Optique », Pearson Education
(fort bonne traduction française, plein de parfaites illustrations)
 van de Hulst « Light scattering by small particles », Dover, NY?, 1957
 Lipson&Lipson, “Optical Physics”, Cambridge University Press? Cambridge, 1969.
Avant de faire une introduction générale mettant en relief les questions fondamentales soulevées par la
diffraction des ondes, nous traitons un cas intermédiaire entre fentes d’YOUNG et diffraction, « l’effet Talbot ».
De quoi s’agit-il ? Nous repartons de fentes, telles les fentes d’Young, mais nous en prenons plusieurs équi-
espacées, d’espacement a , au lieu de seulement deux fentes, et nous les éclairons toutes avec la même phase
incidente.
Cette situation, c’est aussi celle qui se produira dans ce qu’on appelle un réseau (et qui n’est évoqué qu’en fin
de ce cours, bien que ce soit un composant des plus importants qui se rattache à la « diffraction ») . Mais notre
démarche pour l’instant est plutôt sous-tendue par l’idée que, naturellement, en rendant les fentes de plus en plus
nombreuses et rapprochées, on finira par passer au cas d’une ouverture continue.
Concrètement, on se place notamment à distance finie d du plan des fentes, et l’on se demande à quelle
condition les rayons issus de deux fentes adjacentes sont en phase, au droit d’une des fentes (ou bien le long de
leur médiane). Cette condition fixe une relation du type da
. On voit donc apparaître une taille
intermédiaire entre d et
, « ni grande, ni petite » (typiquement d’un ordre de grandeur de 100 µm à 1 mm sur
un banc classique à distances d de 10 -50 cm). Ce sera la taille de la « première zone de Fresnel » explicitée ci-
dessous.

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Cette approche particulière nous amène à remarquer au passage que dans cette configuration « proche du
réseau », il se produit des modulations d’intensités remarquables à certaines distances particulières. Ceci est
connu sous le nom d’effet Talbot dans les bancs classiques. C’est illustré par une simulation ci-dessous. Notez
que dans ces simulations, pour avoir des rayons paraxiaux, la boite de simulation est très allongée (x>>y), et l’on
est obligé quand on la représente de la dilater verticalement (suivant y) pour en distinguer les détails. C’est
pourquoi il y a de multiples zoom en inserts dans la figure composite ci-dessous.
Enfin, le même effet est utilisé abondamment en optique intégrée, et est connu sous le nom de « MMI » pour
"MultiMode Interferometer". Il sert à faire des divisions ou combinaisons de faisceaux guidés sans faire des
« Y » explicites, car la pointe d’un Y entre deux guides qui se séparent est un cauchemar de technologue, ce
n’est pas aussi facile qu’un aiguillage pour un train ! Cet effet n’est pas connu sous le nom d’effet Talbot dans ce
cadre MMI, car ce sont les aspects de guidage (« modes discrets ») qui ont été prédominants dans la
compréhension et l’invention de ce dispositif d’optique intégrée. Quoi qu’il en soit, si l’on assimile l’arrivée
d’un petit guide sur un écran à l’une des fentes dans l’expérience précédente, les réflexions successives sur les
murs du guide créent une série d’images. Ici j’ai pioché l’image pour un seul guide et je l’ai dupliquée à la
verticale sous des grisés pour que l’on voit le rapport : Le résultat est donc le même que l’effet Talbot : à des
distances particulières, l’intensité se regroupe en une (ou deux, ou quatre …) fine(s) tache(s). C’est à cet endroit
que l’on termine la zone large de ce « MMI », et que les guides « usuels » collectent la lumière pour l’acheminer
au dispositif suivant (vous verrez en électromagnétisme l’intérêt des guides « monomodes »).
Figure IV_2006 : Effet Talbot, simulation du champ d’un grand nombre de fentes équidistantes, éclairées à
incidence normale. Notez l’échelle x >> l’ échelle y ; les inserts sont (i) un zoom sur la partie « refocalisante »
(au milieu des fentes) et (ii) un zoom avec un rapport d’aspect x/y plus proche de la réalité. La figure du bas
illustre le « MMI » ou « MultiMode Interferometer », fort utilisé en optique intégrée. C’est une simple « boite »
où rentre un guide, à gauche. Les images multiples créées par les parois de la boite produisent au total un effet
Talbot. Cela permet d’utiliser le dispositif en séparatrice sans grosse contrainte de précision technologique
(comme les zones de Fresnel explicitées plus bas, la distance critique est en racine carrée de la longueur d’onde
…).

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Nous reprenons maintenant du recul pour voir la difficulté de passer de sources ponctuelles à des ouvertures
plus réalistes. En effet, à bien y regarder, nous avons fait jusqu’ici des assimilations :
• Ondes  rayons  calcul de « d.d.m » notée δ21
• Sources  incohérentes entre elles (étendues)…
Or il n’y a qu’une véritable quantité derrière cela (en physique classique), c’est le champ électromagnétique en
tout point : ,...,, xzyx BEEE
Des difficultés naissent dès lors qu’on doit traiter une onde + un obstacle. Et ce, même dans des cas assez
simples : Le physicien allemand Gustav Mie (1869-1957) n’est parvenu à résoudre le cas d’une onde plane se
diffractant sur une sphère de métal parfait qu’en 1908, dans un monde de gens pourtant bien rodés à ce type de
calcul. Les obstacles sont représentés classiquement par des sources de courant (ou de polarisation
P
)
secondaires, dont la force dépend du champ total {incident + diffracté}. C’est ce qui rend le traitement
électromagnétique non trivial dès que la forme des champs ou celle des conditions aux limites n’est pas simple
(l’onde plane sur un dioptre plan, ça va encore, mais au-delà …)
A l’inverse, il est intéressant de noter que c’est du traitement des obstacles qu’est venu vers 1830 une des
confirmations du succès de la théorie ondulatoire contre la théorie corpusculaire (Fresnel et Arago contre les
successeurs de Newton), succès qui allait s’amplifier dans les décennies qui suivirent : la diffraction par un
disque opaque parfaitement rond donne lieu à des trajets δ constants entre les points du bord et un point de l’axe
de l’onde dans l’ombre pure du disque. Donc, aux bonnes distances, il y a des possibilités de contributions
constructives à l’amplitude locale. Les "corpusculistes" eux-mêmes avaient imaginé cette géométrie pour défaire
leur adversaire en leur affirmant grosso modo qu’ «on sait bien qu’il n’y a rien sur l’axe dans ce cas». Mais en
faisant la manip dans de bonnes conditions, bingo, ils ont eux-mêmes vu un point brillant !
Figure IV.1
De même, les franges de bord d’écran convenablement éclairées sont des manifestations de la nature
ondulatoire de la lumière, ou encore, pour les porteurs de lunettes, les petites franges qu’on voit dans les gouttes
de pluie sur les verres, en présence de sources ponctuelles, la nuit…
A l’opposé des complications électromagnétiques, si l’on prend l’optique géométrique, on arrive à des résultats
gênants: par exemple, l’intensité diverge à l’infini au foyer d’une lentille éclairée par une onde plane. Cela ne
peut pas être ainsi, comment savoir un peu mieux ce qui se passe réellement ?
L’outil privilégié qui répondra à ce type de question sera la Transformée de Fourier (TF). Dans ce cadre, on
peut déjà donner l’intuition dans le dessin ci-dessous la réponse au problème de la divergence apparente : si l’on
a un signal (≡ Champ E) égal à 1 dans une pupille le long d’un axe de la lentille, sa TF ne va pas être un δ de
Dirac car la lentille a une extension finie.

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Figure IV.2
Il va y avoir convolution du résultat géométrique (un δ de Dirac) par une « fonction d’appareil » qui va définir
la taille de la tâche de diffraction.
De façon assez profonde, la question que nous regardons ici n’est donc rien d’autre que la propagation d’un
champ dans le vide après qu’il ait été tronqué par certaines limites.
Nous avons décidé avec J.-J. Greffet et F. Marquier, depuis 2010, d’insérer à ce stade de l’Optique Physique un
cours sur la décomposition en ondes planes du champ électromagnétique : On anticipe sur le cours
d’électromagnétisme. Nous allons pour ce faire utiliser des outils puissants comme la transformée de Fourier,
mais aussi introduire des ondes « évanescentes » qui ne transportent de l’information qu’en s’atténuant
exponentiellement dans une direction. C’est cette propriété qui nous permettra de mieux saisir le passage entre
une échelle aussi petite qu’on veut dans le « champ proche » (le dernier dixième de nanomètre près d’un
obstacle) et les échelles du champ lointain, pour lequel on dira couramment qu’on obtient des taches focales (ou
des « PSF » -- Point Spread Function) « limitées par la diffraction », à une échelle liée à la longueur d’onde et
aux paramètres optogéométriques du faisceau.
A.I.2. PROPAGATION DANS LE VIDE (DEVELOPPEMENT EN ONDES PLANES)
1. Introduction
Nous allons traiter de façon générale le problème de la propagation dans le vide : il s'agit de calculer le champ
en un point (x,y,z) connaissant le champ sur un plan noté z = 0 et connaissant le comportement asymptotique du
champ à grande distance de ce plan. Pour aborder ce problème, on peut partir de l'équation différentielle
satisfaite par le champ électrique : l'équation de propagation dans le vide. La démarche est alors classique : on
recherche une solution générale puis on utilise des conditions aux limites.
Dans la mesure où nous abordons ce problème dans le cadre des équations de Maxwell, le comportement
ondulatoire du rayonnement est complètement pris en compte. De ce fait, la solution que nous obtiendrons
permettra notamment de traiter de la propagation du champ ayant traversé une ouverture dans un écran opaque.
Il apparaît ainsi que la diffraction est un cas particulier du problème plus général de la propagation dans le vide.
A contrario, si l'on prend l'optique géométrique comme cadre, la propagation d'un faisceau au travers d'une
ouverture de petite taille ne peut pas être expliquée. C'est la situation dans laquelle se sont trouvés les physiciens
après que Newton ait découvert l'effet de diffraction. Il a fallu attendre Fresnel qui a ajouté un principe ad hoc
pour rendre compte des observations [cf. §A-I-3 suivant : principe de Huygens-Fresnel]. Ce n'est que lorsque l'on
a disposé d’équations ondulatoires correctes (Helmholtz ou Maxwell) que l'on a pu enfin traiter le problème de la
diffraction dans un cadre plus général et sans avoir besoin de principes additionnels. Avec ce point de vue, la
diffraction et l'optique géométrique ne sont que des cas limites du problème de la propagation de la lumière.
Pour traiter ce problème, nous allons montrer qu'il est possible d'établir simplement que le champ électrique
peut s'écrire sous la forme d'une superposition d'ondes planes en tout point du demi-espace situé en z > 0. Sous
cette forme, on retrouve des expressions très proches de celles que l'on rencontrera dans le prochain chapitre en
rayonnement. Les principales idées restent valables : notion de champ lointain, directionnalité notamment. Nous

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montrerons ensuite comment l'on peut déduire de la solution générale que nous allons établir, la forme habituelle
du principe de Huygens-Fresnel dans l'approximation paraxiale.
2. Propagationd’unfaisceau
a. Positionduproblème
Nous étudions la propagation dans le vide du rayonnement monochromatique de pulsation
issu d'une source
qui n'est pas précisée. Nous prenons comme donnée de base du problème la connaissance du champ électrique
sur le plan z = 0. Il peut s'agir par exemple d'un faisceau laser qui traverse le plan z = 0 ou bien du champ dû à
une antenne placée en un point de l'espace en z < 0. Ce que nous cherchons à obtenir est une expression
explicite du champ électrique en tout point z > 0. Il est clair que le "problème modèle" de la diffraction d'une
onde plane par un écran en est un sous-problème. Cette approche est plus générale, elle inclut également
l'élargissement d'un faisceau dans le vide, le cas de l'amplitude au voisinage d'un point de focalisation, etc.
b. ÉquationdepropagationetéquationdeHelmholtz
Le point de départ est l'équation de propagation. Par souci de simplicité, nous allons travailler avec une
fonction scalaire
qui représente l'une des composantes du champ électrique. La prise en compte de l'aspect
vectoriel se fait de façon immédiate pour ce problème. Le champ satisfait alors à l'équation :
0
,r1
,r 2
2
2 t
t
c
t
où c représente la vitesse de la lumière dans le vide. Tout champ électromagnétique physique est de carré
sommable par rapport à la variable temporelle sans quoi il correspondrait à une énergie infinie. On peut donc le
représenter à l'aide d'une transformée de Fourier par rapport au temps sous la forme :
,,exp
2
d
tit rr
Dans l'équation ci-dessus, nous utilisons la convention de notation qui consiste à écrire f(t) une fonction
dépendant du temps et f(
) sa transformée de Fourier. Il est plus rigoureux de noter ˜
f
la transformée de
Fourier. Cependant, nous serons amenés à travailler avec des fonctions de quatre variables pour lesquelles il est
difficile d'utiliser quatre tildes. Dans la suite, l'argument de la fonction (t ou
) nous dira si nous avons affaire à
la fonction ou bien à sa transformée de Fourier. En insérant cette expression dans l'équation de propagation, on
obtient :
0,r,rexp
22
2
c
ti
d
Puisque les fonctions exp(-i
t) forment une base de l'espace des fonctions de carré sommable, l'intégrale est
nulle si pour toute pulsation
, l'égalité
0,r,r 2
2
c (1)
est vérifiée. Cette équation, satisfaite par la transformée de Fourier du champ
(r, ), est appelée équation de
Helmholtz. Il est bon de noter ici que nous n'avons pas perdu de généralité dans le traitement du champ, en
particulier, nous n'avons pas considéré que le champ
(r,t), était monochromatique. L'équation de Helmholtz est
valable pour chaque composante spectrale du champ et non pour le champ lui-même.
c. Formuledepropagationduchamp:développementenondesplanes
La démarche de détermination du champ électrique est tout à fait classique. Le champ
(r, ) obéit à l'équation
de Helmholtz dans le vide et satisfait des conditions aux limites de continuité à la surface z = 0. Afin de
simplifier les notations, nous omettrons la dépendance en
. Nous allons développer le champ sur une base
d'ondes planes. Pour ce faire, nous remarquons que le champ (x,y,z) [≡ (x,y,z, )] peut être considéré comme