Traitement du Signal Bruits d`Echantillonage et de Quantification

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
première Bimestre 2001/2002
Séance 5 :
15 octobre 2001
Bruits d'Echantillonage et de Quantification
Formule du Jour :............................................... 1
Le Bruit .......................................................... 2
Énergie d'un Signal............................................................... 2
Les paramètre d'une densité de probabilté............................... 4
Densité de probabilité uniforme ............................................. 5
Bruit de Echantillonage et de Numerisation................ 7
Le rapport signal/bruit.......................................................... 8
Bruit d'Echantillonage........................................................... 9
Quantification Uniforme........................................................ 10
Quantification par arrondi :................................................... 12
Modélisation du Bruit de Quantification.................................. 13
Formule du Jour :
Soit un signal x e(nT e) de moyenne zéro et ecart type σx. Si la plage utile V
V
(le range dynamique) du signal est décomposée en q = 2B intervalles de largeur q,
le rapport signal/bruit de x(n) serait reduit par :
ξqdB=
V
6B + 10.8 – 20 log10 σ decibel
x
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Le Bruit
Rappel : Le bruit est tout ce qui intérfere avec la recuperation d'un message.
Le bruit est mesuré en "energie".
Énergie d'un Signal
L'énergie d'un signal, s(t), sur l'intervalle [t1, t 2]:
t2
Ws (t 1, t2) =
∫
s 2(t) dt
t1
ou pour un signal discrète, x(n) sur l'intervalle [N1, N 2] :
N2
Ws(N1, N 2) =
∑ s 2(n)
n=N1
Le bruit est mesuré par l'energie
Le bruit est, par definition, imprevisible. Il est aléatoire.
Comme tout fonction aléatoire, le bruit est caractérisé par une densité de probabilité.
Une densité de probabilité peut être estimer par une ensemble d'observation {en}.
Pour les valeurs numérique, ceci approximé par une histogramme :
L'histogramme, h(e) d'une population d'échantillons {en} des valeurs
discrète est le nombre de fois que chaque valeur est observée dans la population.
Par exemple, ici l'histogramme des notes du DS de la séance 1.
5-2
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pour une étudiant inconnu parmis les 20 du groupe, la probabilité d'obtenir une note
de 8 est
1
3
p(8) = 20 h(8) = 20 = 0.15.
V
Pour eq(n) prennant 2B= q valeurs possible, la histogramme est composé de
2B cellules. Le probabilité d'obtenir une valeur de bruit x est
p(eq(n) = x) =
1
Lim { N h(x)}
N→ ∞
Une valeur exact demande une infini des echantillons. Mais l'approximation
est valable si le nombre echantillons depasse 10 fois le nombre de cellules
1
p(eq(n) = x) ≈ N h(x)
Pour info - dans le cas continu :
Une distribution de probabilités (l'intégrale d'une densité) est définie par
la probabilité que e(t) (paramètre) soit infieure ou égale à x (variable aléatoire)
x
P(e(t)) = p(e(t) ≤ x) = ∫ P(v) dv
0
Mais dans ce cours en resterai au cas discrete.
5-3
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Les paramètre d'une densité de probabilté.
Soit une variable aléatoire x avec fonction de densité de probabilité p(x).
La moyenne d'une population {xn} de N échantillons de x est définie par l'Espérance
E{x}. L'espérance d'une population d'échantillons {xn} de x est sa moyenne :
1 N-1
µ ≡ E{x} = N ∑ x n
n=0
Les probabilités sont les masses !
(ou plutôt, la masse est une propriété probabiliste de la matière).
La moyenne est le premier moment de la densité de probabilité.
Elle peut également être calculé par :
µ ≡ E{x} =
2 B–1
∑ x p(x) =
x=0
2 B–1 h(x)
∑x N
x=0
ou p(x) est la densité de probabilité de x, et h(x) est un histogramme de valeurs de x
composé de 2B cellule.
Commet-on une erreur si on remplace une variable aléatoire, x par sa moyenne ?
oui.
mais cette erreur, est elle aussi une variable aléatoire.
d = x –
µx
Donc on peut calculer son espérance.
Mais afin que les erreurs positives et négatives ne s'annulent pas, on utilise le carré de
l'erreur.
La variance, σ2, d'une variable aléatoire, x, est l'espérance du carré de l'écart
entre les échantillons {xn} et la moyenne.
5-4
Bruit d'Echantillonage et Quantification
1
σ2 = E{(d)2} = E{(x – x^)2} = N
Séance 5
N-1
(x n – x^)2
n=0
∑
La variance, σ2, est équivalente à un deuxième moment de la densité de probabilité,
autour de la moyenne.
σ2 = E{(x – x^)2} =
2 B-1
∑ (xn – x^)2 p(x)) =
x=0
On peut également écrire :
2 B-1
∑ (xn – x^)2
x=0
h(x)
N
σ2 = E{(x – x^)2} = E{(x – E{x}) 2}
Densité de probabilité uniforme
Soit une densité uniforme entre 0 et q.
p(nq)
1
q
nq
q
0
1
Sa valeur est p(v) = q.
Sa moyenne est
q
µ = E{p(v)} =
∫
p(v)
·
v dv =
0
q
1
= ⌠
 q.
⌡
0
Sa variance est
·
1 1
v dv = q. 2 v 2
q0
1 1
q
= q. 2 q 2 = 2
1
σ2 = 12 q 2
5-5
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
q
σ2= E{p(v)} =
∫
p(v)
·
(v–µ)2 dv)
0
q
1
q
1 1
q
= ⌠
 q. · ( v – 2 ) 2 dv) = q · 3 (v – 2 ) 3
⌡
0
1
q
q
= 3q (q – 2 ) 3 – (0 – 2 ) 3
[
q0
]
1
= 3q
[( q2 ) 3
q
– (– 2 ) 3
1
= 3q
[( q83 )
q3
+ (8 )
]
]
=
1 q3
1 2
(
)
=
3q 4
12 q
5-6
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Bruit de Echantillonage et de Numerisation
Soit
echantillonage :
quantification :
Conversions Analogique :
s(n) = Echant{s(t)}
(paramètre : Te)
sq(n) = Quant{s(n∆T)} (paramètres : V, q)
^s(t) = Analog{sq(n)}
(paramtres :Ta,Va qa}
Cas Continu :
Te
s(t)
Va, qa
V, q
Echant{s(t)}
^
s(t)
sq(nTe)
s(nTe)
Quant{s(n)}
Analog{sq(n)}
e(t)
–
En signal continu, le bruit de numérisation peut être calculé comme :
e(t) = s(t) – ^s(t)
T
Son energie est
WT = ∫ e(t) 2 dt
0
Pour le cas continue, l'etude des de la bruit est fait avec la theorie de la probabilité en
utilisant distribution continu des probabilité est les intégrales.
Pour le contexte de ce cours, on peut voir les même phenomène avec les outils
de la mathematique discrete en étudiant le cas numérique.
Cas Numérique : Soit un signal s(n), Te est un entier.
L'effet de la quantification est mesuré par :
q
+
s(n)
Re-Quant{s(n)}
+
e(n)
–
5-7
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
L'erreur est : e(n) = s(n) – ^s(n)
Son energie est
N–1
WN = ∑ e(n) 2 dt
n=0
Son valeur moyenne est
1 N–1
µ = E{e(n)} = N ∑ e(n)
n=0
1 N–1
2
2
Son variance est : σ = E{(e(n)–µ) } =
∑ (e(n)–µ)2
N
Nota : si µ = 0 , Wn = σ2.
n=0
Le rapport signal/bruit
La qualité d'un signal est souvent représentée par le "rapport signal/bruit"
(SNR en anglais).
pour x(t) = s(t) + n(t).
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξ= W où
n
Ws est l'énergie du signal s(t) et
Wn est l'énergie du bruit n(t)
Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appelée
décibels et noté dB.
ξdB= 10 log10 ξ
Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2 en puissance
5-8
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Bruit d'Echantillonage
1
Soit f e = T = 1.
e
Xe(f) = X(f) * δfe(f) =
∞
∑
X ( f – k f e)
k=–∞
Le "bruit" d'echantillonage est
f e/2
Wb 2 ∫ X e(f)2 df
-f e/2
f e/2
=2
∞
⌠

∑ X ( f – k f e)2 df

⌡ k=1
-f e/2
fe
Mais ceci est équivalent a tout l'energie au dela de 2
∞
∞
Wb= 2 ∫ X e(f)2 df = 2 ∫ X(f) 2 df
fe/2
fe/2
Exemple : Soit x(t) avec Tranformée X(f) = 1 pour | f | ≤ F max
fe
1
Si l'echantillonage est fait à Te = f tout energie entre 2 et Fmax devient bruit.
e
f e/2
Après échantillonage, l'energie du signal : Ws = 2 ∫ X(f) 2 df
0
Energie du bruit
F max
∞
: Wb = 2 ∫ X e(f)2 df= 2 ∫ X(f) 2 df
fe/2
fe/2
5-9
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
X(f)
f
–Fmax
Fe/2
–Fe/2
Ws
Rapport ξ= W
n
=
Fmax
f e/2
∫ X(f) 2 df
0
F max
∫ X(f) 2 df
fe/2
L'information d'un signal, x(t), est donc assimilé a sa variance,
σx2 = E{(x(t)–µx ) 2}
Dans ce qui suit, nous suposons que a moyenne du signal, µx = µs = µn= 0.
Donc σx2 = Wx
La variance d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'information
représentée.
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξq= W
n
σs2
= σ2
n
où σs2 est la variance du signal s(t) et
σn2 est la variance du bruit n(t)
5-10
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Quantification Uniforme
x(n)
4∆
3∆
2∆
∆
0
–1∆
–2∆
t
Pour le suivant, nous laisserons Te = 1.
soit xq(n) la quantification de xe(n).
La conversion analogique numérique implique une opération qui consiste à remplacer
la valeur exacte analogique de l'échantillon par la plus proche valeur approximative
extraite d'un ensemble fini de valeurs discrètes.
Chaque nombre xq, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans un
intervalle de largeur ∆ appelé “pas de quantification”. Lorsque la plage de conversion
est subdivisé en pas de quantification égaux, on parle de quantification uniforme.
La loi de quantification la plus fréquemment utilisé est la loi uniforme (ou linéaire)
dans laquelle les pas de quantification ∆ i sont constant.
La quantification est defini par une opération de seuillage.
On cherche l'entier k,
xq(n) = k tel que k q ≤ x e(n) < (k+1) q
5-11
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
xq
3q
2q
q
x
–q
–2q
–3q
Il s'agit d'un quantification par troncature.
La bruit de quantification est la différence :
nq(n) = xe(n) – x q(n)
Le bruit de quantification nq est considéré comme un processus aléatoire.
Il possède une densité de probabilité p(nq)
Pour une quantifiacation uniforme, la densité de probabilité est uniforme
1
sur l'intervalle [0, q] avec
p(nq) = q
nq = xe – xq
nq
q
q
p(nq)
1
xe
nq
p(nq) q
0
0
0
q
Une valeur moyenne µq ≠ 0 indique la présence d’un biais systématique.
∆
Si on applique la seuillage à xe(t) + 2 on obtient quantification par arrondi
5-12
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Quantification par arrondi :
q
xq(n) = k tel que kq ≤ x e(n) + 2 < (k+1) q
3q
xq
2q
q
x
–q
–2q
–3q
1
Pour une quantifiaction uniforme, la densité de probabilité est uniforme p(nq) = q
Pour les valeurs quantifiées par arrondi, µq = 0.
nq = xe – xq
p(nq)
q
2
–q
2
xe
1
q
–q
2
nq
q
2
5-13
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Modélisation du Bruit de Quantification
Le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
Ws
ξq= W
n
N2
L'energie Ws(N1, N 2) =
∑ s 2(n).
n=N1
Si on suppose que E{s} = 0, la variance vaut l'energie moyenne.
σs2 =
1
1
W
=
s
N1–N2
N1–N2
N2
∑ s(n) 2.
n=N1
Si E{n q} = 0,
σq2 =
1
1
W
=
q
N1–N2
N1–N2
N2
∑
n q(n) 2.
n=N1
Ws
σs2
Dans ce cas, ξq= W = σ 2 .
n
q
Donc, le rapport Signal-Bruit peut être estimé par les densité de probabilité.
Avec une densité de probabilité p(nq) on peut calculer une variance
pour les echantillons en utilisant la densité de probabilité des p(nq).
q/2
q2
σq2 = ∫ p(n q) ( n q – µn)2 dn q = σq2 ≈ 12
-q/2
on obtient une approximation largement utilisée :
Cette formule est exacte lorsque le bruit de quantification possède une densité de
probabilité uniforme. Cette situation est parfaitement réalisée dans de nombreuses
situations pratiques.
5-14
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
Si E{Ws} = 0, le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
Ws
σs2
ξq= W = σ 2 . où σs2 est la variance du signal x(t).
n
q
Par la formule précèdent :
σs2
σs2
ξq= ∆ 2 12 ∆ 2
12
et en décibels :
σx2
σx
ξqdB= 10 log10 ξ q = 10 log 10 (12 q2 ) = 2 . 10 log10( q ) + 10 log10(12) dB
σx
≈ 20 log 10 q + 10.8 dB
Si la plage utile V du signal est décomposée en 2B intervalles de largeur q,
σx
σx
V
V
2B = q ⇔ q = 2B ⇔ log10{V/2B} = 10 log10{2B} + 20 log10{ V }
et donc la réduction en rapport Signal-bruit entrainée par la numérisation est
ξqdB=
V
10.8 + B 10 log10(2) – 20 log 10 σ dB
x
ξqdB=
V
6B + 10.8 – 20 log10 σ dB
x
Ainsi, pour un convertisseur analogique-numérique, où B représente le nombre de bits
des valeurs de sortie, le rapport signal sur bruit de une quantification mesuré en
décibels varie linéairement avec B et augmente de 6 decibel avec chaque bit
supplémentaire.
5-15
Bruit d'Echantillonage et Quantification
Séance 5
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