Traitement du Signal Bruits d`Echantillonage et de Quantification

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG première Bimestre 2001/2002
Séance 5 : 15 octobre 2001
Bruits d'Echantillonage et de Quantification
Formule du Jour :............................................... 1
Le Bruit .......................................................... 2
Énergie d'un Signal............................................................... 2
Les paramètre d'une densité de probabilté............................... 4
Densité de probabilité uniforme ............................................. 5
Bruit de Echantillonage et de Numerisation................ 7
Le rapport signal/bruit.......................................................... 8
Bruit d'Echantillonage........................................................... 9
Quantification Uniforme........................................................ 10
Quantification par arrondi :................................................... 12
Modélisation du Bruit de Quantification.................................. 13
Formule du Jour :
Soit un signal xe(nTe) de moyenne zéro et ecart type σx. Si la plage utile V
(le range dynamique) du signal est décomposée en V
q = 2B intervalles de largeur q,
le rapport signal/bruit de x(n) serait reduit par :
ξqdB= 6B + 10.8 – 20 log10 V
σx decibel

Bruit d'Echantillonage et Quantification Séance 5
Le Bruit
Rappel : Le bruit est tout ce qui intérfere avec la recuperation d'un message.
Le bruit est mesuré en "energie".
Énergie d'un Signal
L'énergie d'un signal, s(t), sur l'intervalle [t1, t2]:
Ws (t1, t2) = ∫
t1
t2
s2(t) dt
ou pour un signal discrète, x(n) sur l'intervalle [N1, N2] :
Ws(N1, N2) = ∑
n=N1
N2
s2(n)
Le bruit est mesuré par l'energie
Le bruit est, par definition, imprevisible. Il est aléatoire.
Comme tout fonction aléatoire, le bruit est caractérisé par une densité de probabilité.
Une densité de probabilité peut être estimer par une ensemble d'observation {en}.
Pour les valeurs numérique, ceci approximé par une histogramme :
L'histogramme, h(e) d'une population d'échantillons {en} des valeurs
discrète est le nombre de fois que chaque valeur est observée dans la population.
Par exemple, ici l'histogramme des notes du DS de la séance 1.
5-2

Bruit d'Echantillonage et Quantification Séance 5
0
1
2
3
4
5
012345678910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Pour une étudiant inconnu parmis les 20 du groupe, la probabilité d'obtenir une note
de 8 est
p(8) = 1
20 h(8) = 3 20 = 0.15.
Pour eq(n) prennant 2B= V
q valeurs possible, la histogramme est composé de
2B cellules. Le probabilité d'obtenir une valeur de bruit x est
p(eq(n) = x) = Lim
N→ ∞ {1
N h(x)}
Une valeur exact demande une infini des echantillons. Mais l'approximation
est valable si le nombre echantillons depasse 10 fois le nombre de cellules
p(eq(n) = x) ≈ 1
N h(x)
Pour info - dans le cas continu :
Une distribution de probabilités (l'intégrale d'une densité) est définie par
la probabilité que e(t) (paramètre) soit infieure ou égale à x (variable aléatoire)
P(e(t)) = p(e(t) ≤ x) = ∫
0
x
P(v) dv
Mais dans ce cours en resterai au cas discrete.
5-3

Bruit d'Echantillonage et Quantification Séance 5
Les paramètre d'une densité de probabilté.
Soit une variable aléatoire x avec fonction de densité de probabilité p(x).
La moyenne d'une population {xn} de N échantillons de x est définie par l'Espérance
E{x}. L'espérance d'une population d'échantillons {xn} de x est sa moyenne :
µ ≡ E{x} = 1
N∑
n=0
N-1
xn
Les probabilités sont les masses !
(ou plutôt, la masse est une propriété probabiliste de la matière).
La moyenne est le premier moment de la densité de probabilité.
Elle peut également être calculé par :
µ ≡ E{x} = ∑
x=0
2B–1
x p(x) = ∑
x=0
2B–1
x h(x)
N
ou p(x) est la densité de probabilité de x, et h(x) est un histogramme de valeurs de x
composé de 2B cellule.
Commet-on une erreur si on remplace une variable aléatoire, x par sa moyenne ?
oui. mais cette erreur, est elle aussi une variable aléatoire.
d = x – µx
Donc on peut calculer son espérance.
Mais afin que les erreurs positives et négatives ne s'annulent pas, on utilise le carré de
l'erreur.
La variance, σ2, d'une variable aléatoire, x, est l'espérance du carré de l'écart
entre les échantillons {xn} et la moyenne.
5-4

Bruit d'Echantillonage et Quantification Séance 5
σ2 = E{(d)2} = E{(x – x
^)2} = 1
N∑
n=0
N-1
(xn – x
^
)2
La variance, σ2, est équivalente à un deuxième moment de la densité de probabilité,
autour de la moyenne.
σ2 = E{(x – x
^)2} = ∑
x=0
2B-1
(xn – x
^)2 p(x)) = ∑
x=0
2B-1
(xn – x
^)2 h(x)
N
On peut également écrire : σ2 = E{(x – x
^)2} = E{(x – E{x})2}
Densité de probabilité uniforme
Soit une densité uniforme entre 0 et q.
p(nq)
0q
1
qnq
Sa valeur est p(v) = 1
q.
Sa moyenne est
µ = E{p(v)} = ∫
0
q
p(v) · v dv =
= ⌡
⌠
0
q
1
q
. · v dv = 1
q. 1 2 v2 q
0 = 1
q. 1 2 q2 = q 2
Sa variance est σ2 = 1
12 q2
5-5