Numérisation des Signaux

Traitement du Signal
James L. Crowley
Deuxième Année ENSIMAG
Séance 6 :
2000/2001
20 octobre 2000
Conversion Analogique Numérique
Formule du Jour :............................................... 1
Conversion Analogique Numérique ......................... 2
Méthodes de conversion A/N ....................................................3
1) Méthodes Indirect : VCO.............................................3
2) Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”). .3
3) Approximation sucessive.............................................4
Méthodes de Conversion Numérique-analogique.........................5
Bruits d'Echantillonage et de Quantification :.............. 6
Énergie d'un Signal (Rappel)....................................................6
Bruit d'Echantillonage .............................................................7
Quantification Uniforme ..........................................................8
Quantification par arrondi :......................................................10
Modélisation du Bruit de Quantification.....................................11
Formule du Jour :
Soit un signal x e(nT) de moyenne zéro et ecart type σx. Si la plage utile V
(le range dynamique) du signal est décomposée en q=2n intervalles de largeur ∆,
le rapport signal/bruit de x(n) serait reduit par :
ξqdB=
V
6n + 10.8 – 20 log10 σ dB
x
Numérisation de Signaux
Séance 6
Conversion Analogique Numérique
Tout système de traitement de signaux faisant appel à un ordinateur ou à un
processeur numérique spécialisé implique necessairement une opération
préliminaire de conversion analogique-numérique (A/N).
L'information traitée est restituée sour forme analogique par une conversion
Numérique-analogique (N/A) ( dit digital to analog ou A/D en Anglais).
x(t)
x(t)
t
t
x(n)
4∆
3∆
2∆
∆
0
–1∆
–2∆
t
La conversion analogique numérique implique également après échantillonnage une
opération qui consiste à remplacer la valeur exacte analogique de léchantillon par la
plus proche valeur approximative extraite dun ensemble fini de valeurs discrètes.
Cette opération s'appelle la quantification. ("digitizing" en anglais).
Chacune de ces valeurs discrètes est exprimée par un nombre sous forme binaire,
par un codage approprié. Ce nombre est compris entre deux valeurs limites qui
fixent la plage de conversion.
Chaque nombre xk, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans
un intervalle de largeur ∆ k appelé pas de quantification. Lorsque la plage de
conversion est subdivisé en pas de quantification égaux, on parle de quantification
uniforme.
6-2
Numérisation de Signaux
Séance 6
Méthodes de conversion A/N
1) Méthodes Indirect : VCO
La valeur de la tension du signal d’entrée est convertie en une fréquence par une
oscilateur commandé en tension. en anglais : Voltage Controlled Oscillateur (VCO).
La fréquence est proportionnelle à la tension.
Ensuite on compte le nombre de passage à zéro pendant ∆T.
2) Convertiseeur parallèle. (Anglais “Flash Converteur”).
k
2n U0
La tension d’entré est comparé à 2n – 1 valeurs du type :
déduite d’une tension de référence U0.
Le résultat est traduite en mot binaire par un décodeur logique.
U0 (tension de référence)
2n–1 comparateurs
R
x(t)
+
–
R
+
–
•
•
•
décodeur
Logique
Sortie
numérique
(codée
en
binaire)
R
+
–
R
+
–
R
Utiliser pour la vidéo, radar, etc.
Avantage : Rapide est simple.
Inconvenance : Manque de précision.
6-3
Numérisation de Signaux
Séance 6
3) Approximation sucessive
La tension d’entrée est comparé successivement à une succesion de 2n – 1 valeurs
kU0
de référence pondérées 2n .
C’est un système bouclé qui inclut un convertisseur numérique-analogique :
x(t)
+
Σ
–
+
–
Horloge et logique
de commande
interne
•••
Convertisseur
N/A
}
Sortie
numérique
Tension de
Référence U0
6-4
Numérisation de Signaux
Séance 6
Méthodes de Conversion Numérique-analogique
Un convertisseur numérique-analogique est un dispositif produisant une grandeur
de sortie y qui possède q = 2n valeurs distinctes. Il est à loi uniforme si ces valeurs
sont régulièrement réparties sur une plage de valeurs allant de zéro à 2n ∆ selon la
loi :
y = ∆ (d 1 2 n-1 + d2 2 n-2 + ... + dn 2 0)
où ∆ est le pas de quantification.
Des interrupteurs commandés par les variables binaires dk (dk = 0 interrupteur ouvert,
dk= 1 interrupteur fermé) contrôlent le passage de courants pondérés I0/ 2k
provenant de source de cournat dépendant d’une référence I0 vers un point de
sommation.
Dans la pratique, tous les interrupteurs ne réagissent pas exactement au même
instant. Il ne résulte des parasites de commutations (“Glitches” en anglais) qui
doivent être éliminés par filtrage.
6-5
Numérisation de Signaux
Séance 6
Bruits d'Echantillonage et de Quantification :
Énergie d'un Signal (Rappel)
L'énergie d'un signal, s(t), sur l'intervalle [t1, t 2]:
t2
Ws (t 1, t2) =
∫
s 2(t) dt
t1
ou pour un signal discrète, x(n) sur l'intervalle [N1, N 2] :
N2
∑ s 2(n)
Ws(N1, N 2) =
n=N1
La qualité d'un signal est souvent représentée par le "rapport signal/bruit"
(SNR en anglais).
pour x(t) = s(t) + n(t).
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξ= W où
n
Ws est l'énergie du signal s(t) et
Wn est l'énergie du bruit n(t)
Le SNR est souvent représenté avec une échelle logarithmique appelée
décibels et noté dB.
ξdB= 10 log10 ξ
Un facteur de 3 dB est équivalent à un facteur de 2 en puissance
6-6
Numérisation de Signaux
Séance 6
Bruit d'Echantillonage
Soit x(t) avec Tranformée X(f) = 1 pour | f | ≤ F max
1
Si l'echantillonage est fait à Te = 2F tout energie entre Fn et Fmax devient bruit.
N
FN
Energie du signale : Ws = 2 ∫ X(f) 2 df
0
Energie du bruit
F max
: Wb = 2 ∫ X(f) 2 df
FN
X(f)
f
–Fmax
–FN
Ws
Rapport ξ= W
n
FN
=
Fmax
FN
∫ X(f) 2 df
0
F max
∫ X(f) 2 df
FN
L'information d'un signal, x(t), est donc assimilé a sa variance,
σx2 = E{(x(t)–µx ) 2}
Dans ce qui suit, nous suposons que a moyenne du signal, µx = µs = µn= 0.
Donc σx2 = Wx
La variance d'un signal est une caractéristique liée à la quantité de l'information
représentée.
6-7
Numérisation de Signaux
Séance 6
Le rapport signal sur bruit est défini par
Ws
ξq= W
n
σs2
= σ2
n
où σs2 est la variance du signal s(t) et
σn2 est la variance du bruit n(t)
Quantification Uniforme
x(n)
4∆
3∆
2∆
∆
0
–1∆
–2∆
t
Pour le suivant, nous laisserons Te = 1.
soit xq(n) la quantification de xe(n).
La conversion analogique numérique implique une opération qui consiste à
remplacer la valeur exacte analogique de l'échantillon par la plus proche valeur
approximative extraite d'un ensemble fini de valeurs discrètes.
Chaque nombre xq, représente un ensemble de valeurs analogiques contenues dans
un intervalle de largeur ∆ appelé “pas de quantification”. Lorsque la plage de
conversion est subdivisé en pas de quantification égaux, on parle de quantification
uniforme.
6-8
Numérisation de Signaux
Séance 6
La loi de quantification la plus fréquemment utilisé est la loi uniforme (ou linéaire)
dans laquelle les pas de quantification ∆ i sont constant.
La quantification est defini par une opération de seuillage.
On cherche l'entier k,
xq(n) = k tel que k∆ ≤ x e(n) < (k+1) ∆
xq
3∆
2∆
∆
x
–∆
–2∆
–3∆
Il s'agit d'un quantification par troncature.
La bruit de quantification est la différence :
nq(n) = xe(n) – x q(n)
Le bruit de quantification nq est considéré comme un processus aléatoire.
Il possède une densité de probabilité p(nq)
Pour une quantifiaction uniforme, la densité de probabilité est uniforme
1
sur l'intervalle [0, ∆] avec
p(nq) = ∆
nq = xe – x q
∆
∆
p(nq)
1
xe
0
nq
nq
p(nq) ∆
0
0
∆
Une valeur moyenne µq ≠ 0 indique la présence d’un biais systématique.
∆
Si on applique la seuillage à xe(t) + 2 on obtient quantification par arrondi
6-9
Numérisation de Signaux
Séance 6
Quantification par arrondi :
∆
xq(n) = k tel que k∆ ≤ x e(n) + 2 < (k+1) ∆
3∆
xq
2∆
∆
x
–∆
–2∆
–3∆
Pour une quantifiaction uniforme, la densité de probabilité est uniforme p(nq)
1
∆
Pour les valeurs quantifiées par arrondi, µq = 0.
nq = xe – x q
∆
2
∆
2
–∆
2
xe
–∆
–∆
22
nq
=
p(nq)
p(nq)
1
∆
–∆
2
nq
∆
2
6-10
Numérisation de Signaux
Séance 6
Modélisation du Bruit de Quantification
Le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
Ws
ξq= W
n
N2
L'energie Ws(N1, N 2) =
∑ s 2(n).
n=N1
Si on suppose que E{s} = 0, la variance vaut l'energie moyenne.
σs2 =
1
1
W
=
s
N1–N2
N1–N2
N2
∑ s(n) 2.
n=N1
Si E{n q} = 0,
σq2 =
1
1
W
=
q
N1–N2
N1–N2
N2
∑
n q(n) 2.
n=N1
Ws
σs2
Dans ce cas, ξq= W = σ 2 .
n
q
Donc, le rapport Signal-Bruit peut être estimé par les densité de probabilité.
Avec une densité de probabilité p(nq) on peut calculer une variance
pour les echantillons en utilisant la densité de probabilité des p(nq).
∆/2
∆/2
σq2 = ∫ (n q – µn)2 p(n q) dn q =
∫ n q2 p(n q) dn q
-∆/2
-∆/2
σq2 =
∆/2
∫
-∆/2
|
nq3 ∆/2
1
n q2 ∆ dn = 3∆ - ∆/2 =
∆ i3
∆2
-∆ 2
–
=
24
24
12
on obtient une approximation largement utilisée :
∆2
σq2 ≈ 12
6-11
Numérisation de Signaux
Séance 6
Cette formule est exacte lorsque le bruit de quantification possède une densité de
probabilité uniforme. Cette situation est parfaitement réalisée dans de nombreuses
situations pratiques.
Si E{Ws} = 0, le rapport signal sur bruit de quantification est défini par
Ws
σs2
ξq= W = σ 2 . où σs2 est la variance du signal x(t).
n
q
Par la formule précèdent :
ξq=
σs2
σs2
12
∆2
∆2
12
et en décibels :
σx2
σx
ξqdB= 10 log10 ξ q = 10 log 10 (12 ∆ 2 ) = 2 . 10 log10( ∆ ) + 10 log10(12) dB
σx
≈ 20 log 10 ∆ + 10.8 dB
Si la plage utile V du signal est décomposée en 2n intervalles de largeur ∆,
V
∆ = 2n
et donc la réduction en rapport Signal-bruit entrainée par la numérisation est
ξqdB=
V
10.8 + 20 log10(2n) – 20 log 10 σ dB
x
ξqdB=
V
6n + 10.8 – 20 log10 σ dB
x
Ainsi, pour un convertisseur analogique-numérique, où n représente le nombre de
bits des valeurs de sortie, le rapport signal sur bruit de une quantification mesuré
en décibels varie linéairement avec n et augmente de 6 dB avec chaque bit
supplémentaire.
6-12