MÉMOIRE Invariants birationnels, cycles algébriques et rationalité

MÉMOIRE
Présenté pour obtenir
LE DIPLÔME D’HABILITATION À DIRIGER
LES RECHERCHES DE L’UNIVERSITÉ
PARIS-SUD
Spécialité : Mathématiques
par
Alena Pirutka
Invariants birationnels, cycles algébriques
et rationalité
Soutenu le 12 Décembre 2016 devant la Commission d’examen :
M. Antoine Chambert-Loir
M. Jean-Louis Colliot-Thélène
M. David Harari (Rapporteur)
M. Marc Levine (Rapporteur)
M. Emmanuel Peyre (Rapporteur)
M. Alexei Skorobogatov

Remerciements
Mes remerciements les plus chaleureux vont à Jean-Louis Colliot-Thélène, pour avoir
généreusement partagé ses idées et son enthousiasme avec moi, et pour m’avoir accom-
pagnée dans les mathématiques dépuis le début de ma recherche.
Je suis très reconnaissante à David Harari, Marc Levine et Emmanuel Peyre d’avoir
accepté d’écrire des rapports sur ce mémoire. Je suis très heureuse qu’Antoine Chambert-
Loir et Alexei Skorobogatov aient accepté de faire partie de mon jury.
J’ai eu beaucoup de chance d’avoir bénéficié de collaborations avec Fedor Bogomo-
lov, François Charles, Jean-Louis Colliot-Thélène, Brendan Hassett, Yuri Tschinkel et
Nobuaki Yagita, je les remercie très chaleureusement pour de nombreuses discussions,
pour ce qu’ils m’ont appris et ce qu’ils ont rendu possible. L’influence de Claire Voisin a
joué un rôle très important dans ma recherche, je tiens à exprimer ici toute l’admiration
que j’ai pour son travail.
J’ai bénéficié d’excellentes conditions de travail et d’une atmosphère agréable et
motivante à l’IRMA, à Strasbourg, à l’Université de Zürich, au CMLS, à l’École Po-
lytechnique, et au Courant Institute, à New York. Je remercie particulièrement toute
l’équipe du CMLS, où j’ai passé de très heureuses années.
Merci à ma famille et a mes amis, avec qui j’ai partagé les joies de ma recherche et
de mon quotidien. Je pense en particulier à Anna, François, Olivier, David, Olivier et
Viviane.
Enfin, je voudrais remercier Pascale Fuseau au CMLS et Florence Rey à Orsay pour
leur aide dans la préparation de cette soutenance.

Travaux présentés pour l’habilitation
[BPS15] F. Bogomolov, A. Pirutka et A. Silberstein, Families of disjoint divisors on
varieties, (2015), European Journal of Mathematics, disponible en ligne.
[CP16] F. Charles et A. Pirutka, La conjecture de Tate entière pour les cubiques de
dimension quatre sur un corps fini, Compositio Mathematica 151, no. 2, (2015), 253–
264.
[CTP16] J.-L. Colliot-Thélène et A. Pirutka, Hypersurfaces quartiques de dimen-
sion 3 : non rationalité stable, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (2) 49 (2016) 371–397.
[CTP16a] J.-L. Colliot-Thélène et A. Pirutka, Revêtements cycliques qui ne sont pas
stablement rationnels, Izvestiya RAN, Ser. Mat. 80, 4 (2016), 35-47.
[HPT16] B. Hassett, A. Pirutka et Y. Tschinkel, Stable rationality of quadric surface
bundles over surfaces, arXiv :1603.09262.
[HPT16a] B. Hassett, A. Pirutka et Y. Tschinkel, A very general quartic double four-
fold is not stably rational, arXiv :1605.03220.
[Pir16] A. Pirutka, Sur la cohomologie non ramifiée en degré trois d’un produit, Bul-
letin de la SMF 144, no. 1 (2016), 53–75
[Pir16a] A. Pirutka, On a local-global principle for H3 of function fields of surfaces
over a finite field, à paraître dans "Brauer groups and obstruction problems : moduli
spaces and arithmetic (Palo Alto, 2013)."
[Pir16b] A. Pirutka, Varieties that are not stably rational, zero-cycles and unramified
cohomology, arXiv :1603.09261.
[PY15] A. Pirutka et N. Yagita, Note on the counterexamples for the integral Tate
conjecture over finite fields, Documenta Math. Extra Volume : Alexander S. Merkurjev’s
Sixtieth Birthday, (2015), 501-511.
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