Variations des fonctions dérivables.

Variations des fonctions dérivables.
Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Théorème 1:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si f est croissante sur I, alors pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
.))))>>>>>>>
• Si f est décroissante sur I, alors pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
.
• Si f est constante sur I, alors pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
=
0
.
(Voir démonstration p 88 du livre)
Théorème 2:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si, pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
, alors f est croissante sur I.
• Si, pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
, alors f est décroissante sur I.
• Si, pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
=
0
, alors f est constante sur I.
Théorème 3:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si, pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
( sauf peut-être en des points isolés où
f
'
x
=
0
),
alors f est strictement croissante sur I.
• Si, pour tout
x
∈
I
, on a:
f
'
x
0
( sauf peut-être en des points isolés où
f
'
x
=
0
),
alors f est strictement décroissante sur I.
En particulier:
f est une fonction dérivable sur un intervalle
[ a;b ]
.
• Si, pour tout x∈
] a ; b [
, on a
f
'
x
0
, alors f est strictement croissante sur.
[ a;b ]
• Si, pour tout x∈
] a ; b [
, on a
f
'
x
0
, alors f est strictement décroissante su .
[ a;b ]
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur ℝ par f
x =x
2
.
f est dérivable sur ℝ et
f
'
x
=
2
x
pour tout
x
∈ℝ.
• Pour tout
x∈
]
∞ ;0
]
, on a
f
'
x
0
, donc f est décroissante sur
]
∞ ;0
]
.
• Pour tout x
∈
[
0; ∞
[
, on a
f
'
x
0
, donc f est croissante sur
[
0; ∞
[
.
Bien que
f
'
0
=
0
, on a de façon plus précise :
• Pour tout
x∈
]
∞ ;0
[
, on a
f
'
x
0
, donc f est strictement décroissante sur
]
∞ ;0
]
.
• Pour tout
x∈
]
0;∞
[
, on a
f ' x 0
, donc f est strictement croissante sur
[
0;∞
[
.
2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f
x =x
3
. f est dérivable sur
ℝ
et f '
x = 3x
2
pour tout
x
∈ℝ .
• Pour tout
x
∈ℝ
, on a
f
'
x
0
, donc f est croissante sur
ℝ
.
• Pour tout x
∈ ] ∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; ∞ [
, on a
f
'
x
0
, donc f est strictement croissante sur
ℝ
.
En effet, la dérivée est strictement positive pour tous les réels, sauf en 0 , point isolé où elle s’annule.
3) Soit la fonction f définie sur
ℝ
par
f
x
=
2
. f est dérivable sur
ℝ
et
f
'
x
=
0
pour tout
x
∈ℝ
.
• Pour tout
x
∈ℝ
, on a
f
'
x
=
0
, donc f est constante sur
ℝ
.
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Changement de signe de la dérivée et extremum d'une fonction
Rappels :
Les notions d’extremum local, majorant et minorant, déjà étudiées en début d’année (Rappels et
compléments sur les fonctions : voir polycopié), sont rappelées dans le livre page 90.
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Théorème 1:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,
Et si fadmet un maximum local ou un minimum local en
x
=
a
différent des extrémités de
l'intervalle I,
Alors:
f ' a =0
.
Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,
Et si f admet un maximum local ou un minimum local en
a
∈
I
,
Alors:
f
'
a
=
0
.
Théorème 2:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,
Et si
a
∈
I
et si
f ' x
s'annule pour
x
=
a
en changeant de signe,
Alors f(a) est un extremum local de f sur I.
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur
ℝ
par f
x = x
2
. f est dérivable sur
ℝ
avec
f ' x = 2x
.
f
'
x
s'annule en
x
=
0
en changeant de signe, donc
f
0
=
0
est un extremum local de f.
Cet extremum est un minimum absolu, car fest strictement décroissante sur
]
∞ ;0
]
et
strictement croissante sur
[
0; ∞
[
.
Graphiquement, la courbe représentative de fest située « au-dessus » de sa tangente au point
d’abscisse 0.
2) Soit la fonction f définie sur
ℝ
par f
x = x
3
. f est dérivable sur
ℝ
avec f '
x = 3x
2
.
f
'
x
s'annule en
x
=
0
sans changer de signe. Il n'y a donc pas d'extremum en
x
=
0
.
Graphiquement, la courbe représentative de f« traverse » sa tangente au point d’abscisse 0 : elle est
« au-dessous » sur
x∈
]
∞ ;0
[
, « au-dessus » sur
x∈
[
0;∞
[
et la « coupe » en 0. On dit que la
courbe a un point d’inflexion en
x
=
0
.
3) Soit la fonction f définie sur I
= [ 0 ; 1 ]
par f x = x
2
. f est dérivable sur I avec
f
'
x
=
2
x
.
Pour tout
x
∈
I
, on a :
f
'
x
0
, donc f est strictement croissante sur I.
Donc, pour tout
x
∈
I
, on a
f
x
f
1
=
1
. Ceci prouve que 1 est le maximum de f sur I.
Cependant,
f
'
1
=
2
≠
0
.
On voit donc bien que le théorème 1 ne s’applique pas aux extrémités d’un intervalle fermé !
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4) Soit la fonction f définie sur
ℝ
par f
x = 2x
3
3x
2
12 x 5.
f est dérivable sur
ℝ
avec f '
x = 6x
2
6x 12 = 6 x 1 x 2
.
f
'
x
s’annule pour
x
=
1
et
x
=
2
en changeant de signe, car :
pour
x∈
]
∞ ;1
[
, on a :
f
'
x
0
. Donc f est strictement croissante sur
]
∞ ;1
]
.
pour
x∈
]
1;2
[
, on a :
f
'
x
0
. Donc f est strictement décroissante sur
[
1;2
]
.
pour
x∈
]
2;∞
[
, on a :
f ' x 0
. Donc f est strictement croissante sur
[
2;∞
[
.
f possède donc un maximum local en
x
=
1
et un minimum local en
x
=
2
.
Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous :
x− ∞ − 1 2+ ∞
f
'
x
+ 0 −0 +
12 + ∞
f
x
− ∞ − 15
Voici un morceau des représentations graphiques de f et de
f
'
:
Observez le lien entre les variations de f et le signe de
f
'
.
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