Variations des fonctions dérivables.

Variations des fonctions dérivables.
Signe de la dérivée et sens de variation d'une fonction
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Théorème 1:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si f est croissante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 .))>
• Si f est décroissante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 .
• Si f est constante sur I, alors pour tout x ∈ I , on a: f '  x  = 0 .
(Voir démonstration p 88 du livre)
Théorème 2:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si, pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 , alors f est croissante sur I.
• Si, pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 , alors f est décroissante sur I.
• Si, pour tout x ∈ I , on a: f '  x  = 0 , alors f est constante sur I.
Théorème 3:
f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
• Si, pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 ( sauf peut-être en des points isolés où f '  x  = 0 ),
alors f est strictement croissante sur I.
• Si, pour tout x ∈ I , on a: f '  x   0 ( sauf peut-être en des points isolés où f '  x  = 0 ),
alors f est strictement décroissante sur I.
En particulier:
f est une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b ] .
• Si, pour tout x ∈ ] a ; b [ , on a f '  x   0 , alors f est strictement croissante sur. [ a ; b ]
• Si, pour tout x ∈ ] a ; b [ , on a f '  x   0 , alors f est strictement décroissante su . [ a ; b ]
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = x 2 .
f est dérivable sur ℝ et f '  x  = 2 x pour tout x ∈ ℝ .
• Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 ] , on a f '  x  0 , donc f est décroissante sur ]∞ ; 0 ] .
• Pour tout x ∈ [ 0 ;∞ [ , on a f '  x  0 , donc f est croissante sur [ 0 ;∞ [ .
Bien que f '  0  =0 , on a de façon plus précise :
• Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 [ , on a f '  x  0 , donc f est strictement décroissante sur ]∞ ; 0 ] .
• Pour tout x ∈ ] 0 ;∞ [ , on a f '  x  0 , donc f est strictement croissante sur [ 0 ;∞ [ .
2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = x 3 . f est dérivable sur ℝ et f '  x  = 3 x 2 pour tout x ∈ ℝ .
• Pour tout x ∈ ℝ , on a f '  x  0 , donc f est croissante sur ℝ .
• Pour tout x ∈ ]∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; ∞ [ , on a f '  x  0 , donc f est strictement croissante sur ℝ.
En effet, la dérivée est strictement positive pour tous les réels, sauf en 0 , point isolé où elle s’annule.
3) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = 2 . f est dérivable sur ℝ et f '  x  = 0 pour tout x ∈ ℝ .
• Pour tout x ∈ ℝ , on a f '  x  =0 , donc f est constante sur ℝ.
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Changement de signe de la dérivée et extremum d'une fonction
Rappels :
Les notions d’extremum local, majorant et minorant, déjà étudiées en début d’année (Rappels et
compléments sur les fonctions : voir polycopié), sont rappelées dans le livre page 90.
Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:
Théorème 1:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,
Et si f admet un maximum local ou un minimum local en x = a différent des extrémités de
l'intervalle I,
Alors: f '  a  =0 .
Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,
Et si f admet un maximum local ou un minimum local en a ∈ I ,
Alors: f '  a  =0.
Théorème 2:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,
Et si a∈ I et si f '  x  s'annule pour x = a en changeant de signe,
Alors f(a) est un extremum local de f sur I.
Exemples:
1) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = x 2 . f est dérivable sur ℝ avec f '  x  =2 x .
f '  x  s'annule en x =0 en changeant de signe, donc f  0  = 0 est un extremum local de f.
Cet extremum est un minimum absolu, car f est strictement décroissante sur ]∞ ;0 ] et
strictement croissante sur [ 0 ;∞ [ .
Graphiquement, la courbe représentative de f est située « au-dessus » de sa tangente au point
d’abscisse 0.
2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = x 3 . f est dérivable sur ℝ avec f '  x  = 3 x 2 .
f '  x  s'annule en x =0 sans changer de signe. Il n'y a donc pas d'extremum en x =0 .
Graphiquement, la courbe représentative de f « traverse » sa tangente au point d’abscisse 0 : elle est
« au-dessous » sur x ∈ ]∞ ; 0 [ , « au-dessus » sur x ∈ [ 0 ;∞ [ et la « coupe » en 0. On dit que la
courbe a un point d’inflexion en x =0 .
3) Soit la fonction f définie sur I = [ 0 ; 1 ] par f  x  = x 2 . f est dérivable sur I avec f '  x  =2 x .
Pour tout x ∈ I , on a : f '  x   0 , donc f est strictement croissante sur I.
Donc, pour tout x ∈ I , on a f  x   f  1  =1. Ceci prouve que 1 est le maximum de f sur I.
Cependant, f '  1  = 2 ≠0.
On voit donc bien que le théorème 1 ne s’applique pas aux extrémités d’un intervalle fermé !
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4) Soit la fonction f définie sur ℝ par f  x  = 2 x 3 3 x 2 12 x 5 .
f est dérivable sur ℝ avec f '  x  = 6 x2 6 x 12=6  x 1   x 2  .
f '  x  s’annule pour x =1 et x = 2 en changeant de signe, car :
pour x ∈ ]∞ ;1 [ , on a : f '  x   0. Donc f est strictement croissante sur ]∞ ;1 ] .
pour x ∈ ]1 ; 2 [ , on a : f '  x  0 . Donc f est strictement décroissante sur [1 ;2 ] .
pour x ∈ ] 2 ;∞ [ , on a : f '  x  0 . Donc f est strictement croissante sur [ 2 ;∞ [ .
f possède donc un maximum local en x =1 et un minimum local en x = 2.
Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous :
x
f '  x
−∞
+
−1
0
12
−
2
0
+∞
+
+∞
f x
−∞
− 15
Voici un morceau des représentations graphiques de f et de f ' :
Observez le lien entre les variations de f et le signe de f '.
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