Extrait du livre - Editions Ellipses

Chapitre 1 : Notion de moments
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CHAPITRE 1 : NOTION DE MOMENTS
Pour décrire un mouvement de précession, comme celui d’une toupie,
plusieurs types de moments doivent être distingués, notamment le
moment d’une force, le moment d’inertie et le moment angulaire.
MOMENT D’UNE FORCE : ડ
ሬ
ሬ
Ԧ
Le moment *
ሬ
ሬ
Ԧ
d’une force ܨ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
appliquée à un point P d’un objet
susceptible de tourner autour d’un point ܱ, s’exprime par :
*
ሬ
ሬ
Ԧ
ൌݎԦܨ
Ԧ ሺ±׷ ܰ൉݉ሻ avec ݎԦൌܱܲ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
L’opérateur
 est nommé « produit vectoriel ». Celui-ci donne au
vecteur *
ሬ
ሬ
Ԧ
les propriétés suivantes :
x *
ሬ
ሬ
Ԧ
est perpendiculaire au plan contenant les 2 vecteurs ݎԦ et ܨ
Ԧ ;
x *
ሬ
ሬ
Ԧ
a pour sens celui indiqué par la règle des « 3 doigts de la
main droite » (ݎԦ : pouce, ܨ
Ԧ index, *
ሬ
ሬ
Ԧ
: majeur) ;
x *
ሬ
ሬ
Ԧ
a pour norme : *ൌݎܨቚݏ݅݊ቀݎԦǡܨ
Ԧ
෢ቁቚ, avec ݎ et ܨ les normes
respectives des vecteurs ݎԦ et ܨ
Ԧ.
La norme du moment de force est proportionnelle à l’intensité de la force et à
la distance de son point d’application par rapport au pivot de rotation. Elle est
maximale si ܨ
Ԧ est perpendiculaire à ݎԦ, et nulle si ݎԦܨ Ԧ sont alignés.
Remarque : Le produit vectoriel n’est pas commutatif, mais antisymétrique :
ܣ
Ԧܤ
ሬ
Ԧ
ൌെܤ
ሬ
Ԧ
ܣ
Ԧ, quels que soient les vecteurs ܣ Ԧ et ܤ
ሬ
Ԧ
Ǥ
MOMENT D’INERTIE : ࣧ
ࣧ
Le moment d’inertie ࣧ d’un objet est un scalaire dont la valeur représente la
résistance au changement de vitesse de rotation.
Pour un objet quasi-ponctuel :
ࣧ௣௢௜௡௧ ൌ݉௣௢௜௡௧ݎ; ሺ± ׷ ݇݃Ǥ݉ଶሻ

Chapitre 1 : Notion de moments
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Avec ݉ : masse de l’objet, et ݎ le rayon de giration.
Pour un disque : ࣧௗ௜௦௤௨௘ ൌ௠೏೔ೞ೜ೠ೐௥೏೔ೞ೜ೠ೐
మ
ଶ
MOMENT ANGULAIRE : ࡸ
ሬ
ሬ
Ԧ
Le moment angulaire ܮ
ሬ
Ԧ
, appelé également moment cinétique, correspond au
« moment de la quantité de mouvement » ou à « l’élan de rotation » d’un objet.
Pour un objet quasi-ponctuel animé d’un mouvement circulaire de rayon ݎԦ, le
moment angulaire est donné par :
ܮ
ሬ
Ԧ
ൌݎԦ݌Ԧ ሺ±׷ ݇݃൉݉ଶ൉ݏିଵሻ
avec ݌Ԧ quantité de mouvement (݌Ԧ ൌ ݉ݒԦ) et ݒԦ vitesse linéaire tangentielle de
rotation (unité SI : ݉൉ݏିଵ) de l’objet. D’où :
ܮ
ሬ
Ԧ
ൌݎԦ݉ݒԦൌ݉ݎԦݒԦ
Le moment angulaire est dirigé selon la direction de l’axe de rotation (à la fois
perpendiculaire à ݎԦ et àݒԦ).
Pour une trajectoire circulaire, ݒԦ est perpendiculaire à ݎԦ , d’où หݏ݅݊൫ݎԦǡݒԦ
෢൯ห ൌͳ, et
donc : ܮൌ݉ݎݒ
Avec : vitesse angulaire (:ൌ௩
௥ǡ± ׷ ൉ିଵ) la norme du moment
angulaire devient :
ܮൌ݉ݎଶ:ൌࣧ:
Cette relation peut être généralisée à un objet quelconque en
rotation. Avec :
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
: vecteur vitesse angulaire, de norme : et de
direction celle de l’axe de rotation, et ࣧ le moment d’inertie de
cet objet, on a :
ܮ
ሬ
Ԧ
 ൌ ࣧ:
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
Remarque : L’analogie avec l’expression de la quantité de mouvement pour
le mouvement rectiligne (݌Ԧ ൌ ݉ݒԦ) est évidente.

Chapitre 1 : Notion de moments
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Variation de moment angulaire
D’après le principe fondamental de la dynamique (Newton 1643-1727)
appliqué au mouvement de rotation, la dérivée par rapport au temps du
moment angulaire est égale à la somme des moments des forces :
*
ሬ
ሬ
Ԧ
ൌ݀ܮ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݀ݐ
Remarque 1 : L’analogie avec le mouvement rectiligne est là aussi évidente :
ܨ
Ԧൌௗ௣
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ௗ௧ (ce qui conduit à ܨ
Ԧൌ݉ௗ௩
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ௗ௧ ൌ݉ܽԦǡavec ܽԦ : accélération linéaire).
Remarque 2 : En absence de force extérieure, le moment
angulaire (élan de rotation) se conserve (ௗ௅
ௗ௧ ൌͲ).
APPLICATION AU MOUVEMENT DE PRECESSION D’UNE TOUPIE
Considérons une toupie constituée d’un disque et d’une tige centrale dont
l’extrémité sert de pivot.
Deux situations distinctes se présentent :
x En l’absence de rotation du disque (i.e. lorsque le moment angulaire est nul)
la force de pesanteur fait tomber la toupie.
x Par contre, si le disque tourne sur lui-même en rotation rapide (vitesse de
rotation :
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
) la toupie décrit un mouvement dit « de précession » : l’axe de la
toupie décrit lentement l’enveloppe d’un cône.
Dans ce deuxième cas, le disque possède un moment
angulaire non nul (ܮ
ሬ
Ԧ
 ൌ ࣧ:
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ሻ dirigée selon l’axe de
rotation de la toupie, dont la variation au cours du
temps est égale au moment de la force de gravité :
݀ܮ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݀ݐ ൌ*
ሬ
ሬ
Ԧ
ൌݎԦܨ
Ԧ
 ׷ܨ
Ԧൌ݉݃Ԧ (1)
1 Rappel : ݃Ԧ est le vecteur accélération gravitationnelle. Sur terre, ݃ γ 9,81 m.s-2.

Chapitre 1 : Notion de moments
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ௗ௅
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ௗ௧ est donc constamment perpendiculaire à l’axe ݎԦ (donc à ܮ
ሬ
Ԧ
) et perpendiculaire
à la force s’exerçant sur le système (force de pesanteur verticale).
L’extrémité du vecteur ܮ
ሬ
Ԧ
décrit donc un mouvement de rotation horizontal.
Remarque :
Soit ݔԦ le vecteur unitaire (i.e. de norme égale à ͳ) dirigé selon l’axe de la
toupie. Puisque ܮ
ሬ
Ԧ
et ݎԦsont dirigés selon cet axe, on a :
ܮ
ሬ
Ԧ
ൌܮݔԦ݁ݐݎԦൌݎݔԦ
L’équation : ௗ௅
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ௗ௧ ൌݎԦ݉݃Ԧ peut être mise sous la forme :
݀ݔ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
݀ݐ ൌ݇ݔԦ݃Ԧ
avec ǣ݇ ൌ ௠௥
௅ൌ௠௥ ࣧ:
Nous verrons ultérieurement que la variation des moments magnétiques
des noyaux s’exprime de manière similaire.
On montrerait facilement (cf. Annexe 1) qu’en l’absence de force de frottement,
la vitesse angulaire de précession ʘ est constante, et est proportionnelle à la
valeur du champ de force appliqué (ici le champ de force gravitationnelle).
Z
Z
ൌ ࢑ࢍሺݑ݊݅ݐ± ׷ ݎ݀ ൉ݏିଵሻ

Chapitre 1 : Notion de moments
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POINTS ESSENTIELS DU CHAPITRE 1
x Le moment d’une force s’écrit : *
ሬ
ሬ
Ԧ
ൌݎԦܨ
Ԧ
o *
ሬ
ሬ
Ԧ
 est donc perpendiculaire à la direction de la force.
x Le moment angulaire, ou moment cinétique, ܮ
ሬ
Ԧ
, d’un objet en rotation a pour
expression : ܮ
ሬ
Ԧ
ൌ݉ݎԦݒԦ
o ܮ
ሬ
Ԧ
 est dirigé selon la direction de l’axe de rotation.
x D’après le principe fondamental de la dynamique : *
ሬ
ሬ
Ԧ
ൌௗ௅
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
ሬ
Ԧ
ௗ௧ ൌݎԦܨ
Ԧ
o Pour un objet présentant un moment angulaire non négligeable,
l’action d’un moment de force se traduit par une variation du
moment angulaire perpendiculaire à la direction de la force.
o Sous l’action d’un moment de force, le moment angulaire tourne
selon un mouvement de précession, autour d’un axe principal dirigé
dans la direction de la force.
o La vitesse angulaire de précession Z est proportionnelle à la valeur du
champ de force appliqué.