Documents de Physique

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Thème : Lois et modèles
Partie : Temps, mouvement et évolution.
Cours 16 : Cinématique - Mouvement d’un point au cours du temps.
Comment décrire le mouvement d’un solide ?
Afin de décrire le mouvement d’un solide, il faut :
I.
choisir un système (généralement le solide en mouvement).
choisir un repère d’espace et de temps (référentiel).
effectuer le bilan des forces extérieures qui s’exercent sur ce solide (voir le cours sur les lois de Newton)
définir le vecteur de position, le vecteur vitesse et le vecteur accélération.
déterminer sa trajectoire.
Notion de système.
En cinématique, on s’intéresse au mouvement d’un objet dans un référentiel donné.
Cet objet constitue le système étudié.
Le système peut être indéformable (solide) ou déformable (pâte à modeler).
Dans les études cinématiques suivantes, les systèmes sont assimilés à des points.
On assimilera un solide à un point matériel qui est confondu avec le centre d’inertie du solide et dont la masse est
celle du solide considéré.
Exemples :
Le système est le {ballon} qui peut être assimilé à un
solide indéformable.
Le système peut-être également assimilé à un point.
Ce point est le centre d’inertie du ballon.
Le système est {homme-parachute} qui peut
être « assimilé » à un solide indéformable.
Le centre d’inertie est le point ayant la trajectoire la plus simple (rectiligne, parabolique).
II.
Choix du référentiel d’étude.
Un référentiel est un repère d’espace et de temps.
Référentiel héliocentrique
Origine du repère : Centre du Soleil
Axes du repère : Axes dirigées vers trois
étoiles lointaines considérées fixes.
Applications : Etude des mouvements des
planètes, des comètes…
Référentiel géocentrique
Origine du repère : Centre de la Terre
Axes du repère : Axes dirigées vers trois
étoiles lointaines considérées fixes.
Applications : Etude des mouvements de la
Lune et des satellites artificiels.
Référentiel terrestre
Origine du repère : Origine choisi dans le
laboratoire
Axes du repère : Axes orthonormés.
Applications : Etude des mouvements sur
Terre, au laboratoire.
L’ensemble de ces référentiels sont supposés galiléens.
Un référentiel est dit galiléen si le principe d’inertie est applicable dans celui-ci.
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III.
Bilan des forces.
Il est essentiel de faire le bilan des forces afin de déterminer si le mouvement sera uniforme (les forces se
compensent) ou varié (accéléré ou ralenti) (les forces ne se compensent pas).
Cas de la chute d’un parachutiste soumis à 3 forces :
-
Le poids 𝑃⃗ d’expression 𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔
Direction : verticale, sens : vers le bas, norme P = mg, point d’application : centre d’inertie G.
-
La poussée d’Archimède d’expression 𝜋
⃗ = −𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑔 ∙ 𝑢
⃗ où 𝑢
⃗ est un vecteur unitaire dirigé vers le bas.
Direction : verticale, sens : de bas en haut, norme  =Vg, point d’application : centre d’inertie du système
immergé.
 est la masse volumique du fluide et V le volume du fluide déplacé.
-
La force de frottement d’expression (pour les vitesses faibles) 𝑓 = −𝑘 ∙ 𝑣 ∙ 𝑢
⃗ avec⃗⃗⃗𝑢 vecteur unitaire vertical
vers le bas. k est le coefficient de frottement. 𝑓 (direction : celle du mouvement, sens : opposé au mouvement,
norme : f =kv, point d’application : le point de contact entre le support et le système.
Schéma 1
Schéma 2
Schéma 3
Dans quelle(s) situations(s) a-t-on un mouvement rectiligne uniforme ? Un mouvement rectiligne accéléré ?
IV.
Description du mouvement d’un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération dans le cas
des mouvements rectilignes.
1.
Caractéristiques des mouvements rectilignes.
1.1. La trajectoire.
La trajectoire d’un point M animé d’un mouvement rectiligne est une droite.
La position de l’objet est déterminée à chaque instant par son abscisse.
Le vecteur position est : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖
1.2. Le vecteur vitesse 𝑣
1.2.1.
La vitesse instantanée.
On distingue la vitesse moyenne de la vitesse instantanée.
La vitesse moyenne est calculée sur une longue durée, tandis que la vitesse instantanée est définie
sur un intervalle de temps très court.
v = lim [
𝑥2 −𝑥1
𝑡2 −𝑡1
] quand t2 tend vers t1.
La vitesse instantanée d’un point donne des renseignements plus précis que la vitesse moyenne.
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1.2.2.
Le vecteur vitesse d’un objet animé d’un mouvement rectiligne est défini par :
𝑣=
Comme ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
alors 𝑣 =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑂𝑀
𝑑𝑡
=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
𝑖,
nous pouvons écrire que vx =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
Caractéristiques du vecteur vitesse d’un point animé d’un mouvement rectiligne.
-
Direction : celle de la trajectoire (trajectoire et tangente sont confondues dans ce cas).
Sens : celui du mouvement (déterminé par le signe de vx)
Intensité : v = |vx|
On remarque que la vitesse peut être positive ou négative selon l’orientation du vecteur vitesse par rapport à l’orientation de
l’axe (Ox) choisi.
On dit que la vitesse est une grandeur
algébrique.
1.3. Le vecteur accélération 𝑎.
Le vecteur accélération d’un objet animé d’un mouvement rectiligne est défini par :
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Comme 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 alors 𝑎 =
𝑎=
Nous pouvons écrire que ax =
𝑑𝑣⃗
=
𝑑𝑡
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
𝑖
𝑑𝑡
Caractéristiques du vecteur accélération d’un point animé d’un mouvement rectiligne.
-
Direction : celle de la trajectoire (trajectoire et tangente sont confondues dans ce cas).
Sens : déterminé par le signe de ax.
Intensité : a = |ax|
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2.
Le mouvement rectiligne uniforme.
2.1. Définition.
Dans un repère donné, un point est animé d’un mouvement rectiligne uniforme si son vecteur vitesse reste constant (ce
qui signifie que le sens, la direction et l’intensité du vecteur vitesse ne varient pas).
2.2. Caractéristiques d’un mouvement rectiligne uniforme.
2.2.1.
Le vecteur vitesse 𝑣 .
𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 alors vx = constante.
2.2.2.
L’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniforme.
Question : Quelle est la fonction du temps x(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une
constante ?
Réponse :
C’est une fonction du premier degré.
L’équation horaire du mouvement rectiligne uniforme est donc :
x = vxt + x0
x0 est une constante qui précise l’abscisse du mobile à l’instant t = 0.
Généralement, on peut écrire x = vxt.
2.2.3.
Le vecteur accélération 𝑎.
Question : Quelle est la valeur de l’accélération ?
Réponse : ax = 0
3.
ou
⃗ (expression du vecteur accélération).
𝑎=0
Le mouvement rectiligne uniformément varié.
3.1. Définition.
Dans un repère donné, un point est animé d’un mouvement rectiligne uniformément variée si son vecteur accélération
reste constant (ce qui signifie que le sens, la direction et l’intensité du vecteur accélération ne varient pas).
Ce qui peut se traduire également par le fait que la vitesse varie de manière uniforme (sans à coup). Elle augmente ou diminue
régulièrement.
3.2. Caractéristiques d’un mouvement uniformément varié.
3.2.1.
Le vecteur accélération 𝑎.
𝑎 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
ax =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
= constante
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3.2.2.
Le vecteur vitesse 𝑣 .
Question : Quelle est la fonction du temps v(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une constante ?
Réponse :
3.2.3.
C’est une fonction du premier degré.
L’équation horaire du mouvement rectiligne uniforme est donc :
vx (t)= ax t + v0x
v0x est une constante qui précise la vitesse du mobile à l’instant t = 0.
L’équation horaire.
Nous avons deux relations qui permettent de calculer la vitesse vx
vx (t) =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
et vx (t) = axt + v0x
Question : Quelle est la fonction du temps v(t) qui, dérivée une fois par rapport au temps t, donne une fonction du
premier degré de t ?
Réponse :
C’est une fonction du second degré.
L’équation horaire du mouvement rectiligne uniformément varié est donc :
1
𝑥(𝑡) = 𝑎𝑥 𝑡 2 + 𝑣𝑜𝑥 𝑡 + 𝑥0
2
x0 est une constante qui précise l’abscisse du mobile à l’instant t = 0.
3.3. Mouvement rectiligne uniformément accéléré et ralenti.
Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré si les vecteurs accélération 𝑎 et vitesse 𝑣 sont dans le même sens.
M
𝑎
𝑣
⃗ ∙𝒗
⃗ >𝟎
Le produit scalaire 𝒂
Le mouvement est rectiligne uniformément ralenti si les vecteurs accélération 𝑎 et vitesse 𝑣 sont dans des sens opposés.
M
𝑎
⃗ ∙𝒗
⃗ <𝟎
Le produit scalaire 𝒂
Le mouvement sera uniforme si 𝑎 ∙ 𝑣 = 0
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𝑣
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V.
Description du mouvement d’un point au cours du temps : vecteurs position, vitesse et accélération dans le cas
des mouvements circulaires.
1.
Caractéristiques des mouvements circulaires.
1.1. La trajectoire.
La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R.
La position de l’objet est déterminée à chaque instant par :
-
̂
son abscisse curviligne notée s = 𝑀
0𝑀
ses coordonnées cartésiennes x et y.
la mesure de l’angle  appelé abscisse angulaire.
Un cercle de rayon R1 a un
périmètre L1.
Un cercle de rayon R2 a un
périmètre L2.
𝐿
𝐿
On a : 𝑅1 = 𝑅2 = 2𝜋
1
2
De même on a :
𝑠
=𝜃
𝑅
La relation liant s, R et  est s = R
s et R sont exprimés en mètre et  en radian (sans dimension).
1.2. Le vecteur vitesse 𝑣
Nous pouvons écrire que v =
𝒅𝒔
𝒅𝒕
v est appelée vitesse linéaire.
Caractéristiques du vecteur vitesse d’un point animé d’un mouvement circulaire
-

Direction : tangente à la trajectoire.
Sens : celui du mouvement.
Intensité : v = |vx|= constante.

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1.3. La vitesse angulaire  et vitesse linéaire.
Pour une trajectoire circulaire, on a s = R
Dérivons par rapport au temps.
𝑑𝑠 𝑑(𝑅𝜃)
𝑑𝜃
=
=𝑅
= 𝑅𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝒅𝜽
 = 𝒅𝒕
Alors v = R
1.4. Le vecteur accélération 𝑎 .
Prenons le cas d’un vecteur accélération quelconque.
Cas d’un mouvement circulaire
uniforme :
Il y a-t-il une accélération ?
Oui !
Prenons pour exemple le
mouvement de La Terre
considéré circulaire autour du
Soleil.
La vitesse linéaire peut être
alors considérée constante.
Donc a = 0, mais pourtant il
existe la force gravitationnelle
attractive.
Le vecteur 𝑎 a deux composantes dans la base dite de « Frenet »
-
La composante vectorielle tangentielle :
𝑎𝜏 =
⃗⃗⃗⃗
-
La composante vectorielle normale :
𝑎𝑛 =
⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑣2
𝑅
∙ 𝑛⃗
∙𝜏
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On a vu en 1ère S que l’on peut
écrire F = ma.
Alors il existe une accélération
normale an dirigée vers le
centre du Soleil.
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2.
Le mouvement circulaire uniforme et non uniforme
2.1. Définition.
Dans un repère donné, un point est animé d’un mouvement circulaire uniforme si les caractéristiques du
vecteur accélération sont les suivantes :
Caractéristiques du vecteur accélération d’un point animé d’un mouvement circulaire uniforme.
-
Direction : celle du rayon OM. Le vecteur accélération est radial.
Sens : Toujours de M vers O car an est toujours positif.
Le vecteur accélération est centripète.
-
Intensité : a = an =
𝑣2
𝑅
avec v = constante.
Autres expressions de l’accélération normale :
an =
𝑣2
𝑅
=
(𝑅𝜔)2
𝑅
= 𝑅𝜔2 = 𝜔𝑣
2.2. Exemple de mouvement circulaire uniforme.
On peut considérer selon quelques approximations que le mouvement de la Terre autour du Soleil est
circulaire uniforme.
Question : Quelles sont ces approximations ?
Réponse : la nature elliptique de la trajectoire, la variation de vitesse linéaire en fonction de sa distance au
Soleil.
2.3. Exemple de mouvement circulaire non uniforme.
2.3.1.
Mouvement circulaire uniformément accéléré.
Le mouvement est circulaire uniformément accéléré quand les vecteurs accélération tangentielle
a 𝜏 et vitesse 𝑣𝐺 sont dans le même sens.
Base de Frenet : vecteurs unitaires tangentiel et normal.
2.3.2.
Mouvement circulaire uniformément ralenti.
Le mouvement est circulaire uniformément ralenti quand les vecteurs accélération tangentielle a 𝜏 et vitesse 𝑣𝐺 sont dans le
sens opposé.
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VI.
Graphiques représentant des mouvements de mobiles.
Attribuer à chaque graphique, les situations proposées.
(Source des graphiques : wikipedia).
Figure n°1
Figure n°2
Figure n°3
Figure n°4
Figure n°5
Figure n°6
Situations :
Situation A : Une voiture roule à vitesse constante sur une route droite.
Situation B : Un objet tombe en chute libre verticalement.
Situation C : Une pierre accrochée à une fronde en rotation uniforme.
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Réponses :
Les graphiques n°1, 3 et 4 correspondent à la situation A.
La distance parcourue est proportionnelle au temps.
La vitesse est constante.
L’accélération est nulle.
(graphique n°1).
(graphique n°3).
(graphique n°4).
Les graphiques n° 2, 5 et 6 correspondent à la situation B.
La distance parcourue est une fonction du second degré du temps.
La vitesse est proportionnelle au temps.
L’accélération est constante et positive.
(graphique n°6).
(graphique n°2).
(graphique n°5).
Les graphiques n°1, 3 et 5 correspondent à la situation C.
La distance parcourue est proportionnelle au temps.
La vitesse est constante.
L’accélération est constante (accélération normale).
(graphique n°1).
(graphique n°3).
(graphique n°5).
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VII.
Comment reconnaître si un mouvement est uniforme, uniformément accéléré ou uniformément ralenti ?


La méthode consiste à étudier le signe du produit scalaire des deux vecteurs a et v
 


Rappel : a  v = a  v  cos ( a ; v )
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Si a  v > 0
le mouvement est uniformément accéléré
 
Si a  v < 0
le mouvement est uniformément ralenti
 
Si a  v = 0
le mouvement est uniforme
Question :
-
Indiquer dans chaque cas la nature du mouvement
-
Représenter dans chaque la résultante F des forces extérieures qui s’appliquent sur le solide ponctuel.


(la grandeur du vecteur F est qualitative)
-
Proposer des exemples de situations dans la vie courante où l’on retrouve chacun de ces cas.
cas n° 1
cas n° 2
cas n° 3
cas n° 4
cas n° 2
cas n° 3
cas n° 4
Réponse :
cas n°1
 
 
 
mouvement
uniformément
accéléré
mouvement
uniforme
mouvement
uniformément
a v > 0
a v = 0
 
a v < 0
ralenti
a v = 0
mouvement
uniforme
circulaire
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