Exercices - Page Personnelle de Jérôme Von Buhren

Interrogation orale - Fractions rationnelles
Jérôme Von Buhren - http://vonbuhren.free.fr
Fractions rationnelles
1
Exercice 7 : Soit (F, G0 , . . . , Gn−1 ) ∈ C(X)n+1 telle que
F n + Gn−1 F n−1 + . . . + G0 = 0.
Généralités
Montrer que les pôles de F est inclus dans la réunion des pôles des Gi .
Exercice 1 : Soit (P, Q) ∈ K[X]2 avec P ∧ Q = 1. Montrer que
F =
P
est paire
Q
⇔
Exercice 8 : Soit F ∈ C(X) et A l'ensemble de ses pôles. Étudier F (C \ A).
P et Q sont paires.
Exercice 9 : Soit F ∈ K(X) dénie en a ∈ K. Montrer que pour tout n ∈ N,
il existe une fraction rationnelle Gn ∈ K(X) dénie en a telle que
Exercice 2 : Déterminer les F ∈ C(X) tel que F (X + 1) = F (X).
1
Exercice 3 : Montrer qu'il n'existe pas de F ∈ C(X) telle que F 0 = .
X
F (X) =
n
X
F (k) (a)
k=0
Exercice 4 : Soit F ∈ K(X) avec deg F 0 < deg F − 1. Montrer que deg F = 0.
2
k!
(X − a)k + (X − a)n+1 Gn (X).
Décomposition en éléments simples
Exercice 10 : Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suiExercice 5 : Soit (p, q) ∈
avec p ∧ q = 1. Donner les racines et les pôles, vantes.
en précisant leur multiplicité respective, de la fraction rationnelle
X3 + 1
X4 − X2
X3
(N∗ )2
(i)
(X − 1)(X − 2)(X − 3)
2X 2 + 1
(iv)
,
(X − 1)2 (X + 1)2
Xp − 1
.
Xq − 1
Exercice 6 : Soient n ∈ N∗ et ω = exp(2iπ/n).
1. Soit F ∈ C(X). Montrer que
F (ωX) = F (X)
⇔
∃G ∈ C(X),
F (X) = G(X n ).
2. En déduire la réduction au même dénominateur de la fraction rationnelle
n−1
X
k=0
, (iii)
,
(X − 1)3
(X + 1)2 (X 2 + 1)
4
1
.
(v)
, (vi)
2
2
2
(X + 1)
(X + 1) (X 3 − 1)
Exercice 11 : Soit n ∈ N∗ . Décomposer en éléments simples les fractions
rationnelles suivantes.
(i)
F =
, (ii)
X + ωk
X − ωk
1/3
n!
,
X(X − 1) . . . (X − n)
(ii)
X n−1
,
Xn − 1
(ii)
1
.
(X − 1)(X n − 1)
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Exercice 12 : Soient n ∈ N∗ , p ∈ J1, n − 1K et ωk = exp(2ikπ/n). Réduire au Exercice 16 : Déterminer les limites suivantes.
même dénominateur les fractions rationnelles suivantes.
n
X
(i)
n−1
X
k=0
1
,
X − ωk
(ii)
n−1
X
k=0
ωkp
X − ωk
(i)
.
Exercice 13 : Soit P ∈ C[X]. En décomposant en élément simple
terminer les polynômes P ∈ C[X] tels que P 0 | P .
P 0 /P ,
lim
n→+∞
k=1
1
,
k(k + 1)(k + 2)
Exercice 14 : Soit P ∈ C[X] un polynôme scindé à racines simples z1 , . . . , zn .
1. En décomposant P 00 /P en éléments simples, déterminer
k=1
P 0 (zk )
k=1
zkp
.
P 0 (zk )
(P 02 − P P 00 )(x) > 0.
2. En déduire que
∀k ∈ J1, n − 1K,
Pn
.
(X 2 + 1)n+1
Exercice 19 : Déterminer les fractions rationnelles F ∈ R(X) vériant
Exercice 15 : Soit P = an X n + . . . + a0 ∈ R[X] scindé sur R.
1. En décomposant P 0 /P en éléments simples, montrer que
∀x ∈ R,
k
.
+ k2 + 1
1
.
X(X 2 + 1)
3. Pour p ∈ J0, n − 1K, en décomposant X p /P en éléments simple, déterminer
k=1
k=1
k4
Exercice 18 : Soit n ∈ N∗ . Calculer la dérivée n-ième de
.
1
.
zk P 0 (zk )
n
X
n→+∞
n
X
2. Montrer que les racines de Pn sont réelles et simples.
2. On suppose P (0) 6= 0. En décomposant 1/P en éléments simples, déterminer
n
X
lim
Exercice 17 : Soit F = (X 2 + 1)−1 ∈ C(X).
dé- 1. Montrer qu'il existe Pn ∈ Rn [X] tel que
F (n) =
n
X
P 00 (zk )
(ii)
ak−1 ak+1 6 a2k .
2/3
F (X + 1) − F (X) =
X +3
.
X(X − 1)(X + 1)
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Solutions
Exercice 3 : Si F = P/Q avec P ∧ Q = 1, on a Q2 = X(P 0 Q − Q0 P ). Ainsi,
0 est racine de Q de multiplicité α et pas de P . De plus P 0 Q − Q0 P admet 0
comme racine de multiplicité α − 1. Finalement, on obtient −1 = (α − 1) − 2α,
donc α = 0, ce qui est absurde.
Exercice 11 : On note ω1 , . . . , ωn les racines n-ièmes de l'unité. Les décompositions en éléments simples sont
(i)
n
X
n!
n
1
=
(−1)n−k
,
X(X − 1) . . . (X − n)
k X −k
k=0
(ii)
Exercice 4 : Si on écrit F = P/Q, on obtient en utilisant l'hypothèse sur le
degré que deg(P 0 Q − QP 0 ) < deg(P 0 Q). Or ceci n'est que possible si deg(P ) =
deg(Q), donc deg(F ) = 0.
X n−1
Xn
−1
=
1
n
n−1
X
k=0
1
,
X − ωk
n−1
X ωk
1−n
1
1
1
=
+
+
.
(iii)
(X − 1)(X n − 1)
2n(X − 1) n(X − 1)2
ωk − 1 X − ωk
k=1
Exercice 6 : Comme F vérie l'hypothèse de la question précédente, on trouve
n
n
que F = (aX + b)/(X − 1). En étudiant la partie entière et en évaluant en Exercice 12 : On note ω1 , . . . , ωn les racines n-ièmes de l'unité. Les décomX = 0, on trouve F = n(X n + 1)/(X n − 1).
positions en éléments simples sont
n−1
n−1
Exercice 8 : Si F = P/Q avec P ∧ Q = 1, on cherche les λ ∈ C pour que
X
X ωp
1
nX n−1
nX p−1
k
(i)
= n
, (ii)
= n
.
P (z) − λQ(z) = 0 admette une solution. S'il existe λ ∈ C tel que P − λQ = 0,
X − ωk
X −1
X − ωk
X −1
k=0
k=0
alors F (C \ A) = {λ}. S'il existe λ ∈ C tel que P − λQ = µ ∈ C∗ , alors
F (C \ A) = C \ {λ}. Sinon, l'équation P (z) − λQ(z) = 0 admet toujours une Exercice 14 :
solution z ∈ C. De plus, comme P ∧ Q = 1, on a z ∈
/ A, donc F (C \ A) = C.
1. On trouve 0.
Exercice 10 : Les décompositions en éléments simples sont
2. On trouve −1/P (0).
3. Si p = n − 1, on trouve 1, sinon 0.
X3
1
8
27
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
=1+
−
+
,
(X − 1)(X − 2)(X − 3)
2(X − 1) X − 2 2(X − 3)
X3 + 1
2
3
3
=1+
+
+
,
3
3
2
(X − 1)
(X − 1)
(X − 1)
X −1
X4 − X2
X 2 (X − 1)
−1
−1/2
−1/2
=
=1+
+
+
,
2
2
2
(X + 1) (X + 1)
(X + 1)(X + 1)
X +1 X −i X +i
2X 2 + 1
−1/4
3/4
1/4
3/4
=
+
+
+
,
(X − 1)2 (X + 1)2
X + 1 (X + 1)2 X − 1 (X − 1)2
4
−1
−i
−1
i
=
+
+
+
,
2
2
2
2
(X + 1)
(X − i)
X − i (X + i)
X +i
1
−1/2
−3/4
1/12
1/3
1/3
=
+
+
+
+
.
2
3
2
(X + 1) (X − 1)
(X + 1)
X + 1 (X − 1) X − j X − j 2
Exercice 16 : On trouve 1/4 et 1/2.
Exercice 19 : On cherche F ∈ R(X) tel que
F (X + 1) − F (X) =
3
1
2
−
+
.
X −1 X
X +1
On en déduit que le plus grand pôle de F est 1 et il est simple. De plus, le plus
petit pôle de F est 0 et il est simple. Finalement, aucun réel de l'intervalle ]0, 1[
ne peut être pôle de F . On en déduit que les solutions sont
F (X) =
3/3
1
2
−
+C
X
X −1
avec C ∈ R.