13 - Equations différentielles Cours complet

Chapitre 13 : Equations différentielles – Cours complet. - 1 -
Equations différentielles. Chap. 13 : cours complet.
1. Equations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1.
Définition 1.1 : équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1, équation homogène associée, solution
d’une telle équation différentielle
Théorème 1.1 : de Cauchy-Lipschiz
Théorème 1.2 : méthode de variation de la constante
Théorème 1.3 : de Cauchy-Lipschitz, version « condition initiale »
Théorème 1.4 : raccordement de solutions
2. Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1 à coefficients constants.
Définition 2.1 : système différentiel linéaire d’ordre 1, système homogène associé, solution d’un tel
système
Théorème 2.1 : solutions d’un système différentiel homogène d’ordre 1 à coefficients constants
Théorème 2.2 : résolution pratique d’un système différentiel homogène à coefficients constants
Théorème 2.3 : de Cauchy-Lipschitz, systèmes différentiels linaires version « conditions initiales »
Théorème 2.4 : structure de l’ensemble des solutions d’un système différentiel linéaire homogène
Théorème 2.5 : isomorphisme entre S
I
(SH) et M
n,1
(K), dimension de S
I
(SH)
Théorème 2.6 : (hors programme) équivalence d’indépendance
Définition 2.2 : (hors programme) système fondamental de solutions, wronskien dans une base
Théorème 2.7 : (hors programme) évaluation du wronskien de n solutions
3. Equations différentielles linéaires d’ordre 2.
Définition 3.1 : équation différentielle linéaire d’ordre 2, équation homogène associée, solution d’une
telle équation
Théorème 3.1 : équivalence équation différentielle d’ordre 2 – système différentiel 2×2 d’ordre 1
Théorème 3.2 : de Cauchy-Lipschitz, équations différentielles d’ordre 2, version « conditions initiales »
Théorème 3.3 : structure de l’ensemble des solutions d’une équation homogène d’ordre 2
Définition 3.2 et théorème 3.4 : (hors programme) wronskien de deux solutions d’une équation homogène
d’ordre 2
Théorème 3.5 : résolution pratique d’une équation homogène d’ordre 2 à coefficients constants
Théorème 3.6 : (hors programme) obtention d’une deuxième solution d’une équation homogène à l’aide
d’une solution ne s’annulant pas, méthode de Lagrange
Théorème 3.7 : cas particulier d’une équation du second ordre linéaire à coefficients constants et second
membre produit d’un polynôme et d’une exponentielle

Chapitre 13 : Equations différentielles – Cours complet. - 2 -
Equations différentielles. Chap. 13 : cours complet.
1. Equations différentielles linéaires scalaires d’ordre 1.
Définition 1.1 : équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1, équation homogène associée,
solution d’une telle équation différentielle
Soit I un intervalle de .
On appelle équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 une équation du type :
• (E) a(t).y' + b(t).y = c(t),
où a, b, c sont des fonctions définies et continues de I de  dans  ou  et y est une fonction inconnue
à valeurs dans  ou .
Une solution de (E) est une fonction ϕ définie sur un sous-intervalle J de I, continue et dérivable sur J, à
valeurs dans  ou , telle que : ∀ t ∈ J, a(t).ϕ'(t) + b(t).ϕ(t) = c(t).
On appelle équation différentielle homogène (ou sans second membre) associée à (E) l’équation :
• (EH) a(t).y' + b(t).y = 0.
Théorème 1.1 : de Cauchy-Lipschitz
Soit I un intervalle de .
Soit : (E) a(t).y’ + b(t).y = c(t), (où a, b, c sont trois fonctions définies et continues de I dans  ou ) une
équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 et (EH) son équation homogène associée.
Les solutions de (EH) sur tout intervalle J inclus dans I forment toujours un K-espace vectoriel.
Sur un intervalle J inclus dans I où la fonction a ne s'annule pas les solutions de (EH) sont les fonctions :
∀ t ∈ J,
−=
∫
dt
ta tb
kty .
)( )(
exp.)( , où k appartient à  ou .
L’espace vectoriel des solutions sur un intervalle J où a ne s’annule pas est donc de dimension 1.
Sur un intervalle quelconque J inclus dans I, les solutions de (E) ont, elles, pour forme :
y = y
0E
+ y
H
, où y
0E
est une solution particulière de (E), et y
H
une solution quelconque de (EH) sur J.
Les solutions de (E) sur un intervalle J inclus dans I où a ne s’annule pas forment donc un espace affine
de dimension 1.
Démonstration :
• L’ensemble des solutions de (EH) sur J est inclus dans l’ensemble des fonctions de J dans  ou .
De plus, il est non vide puisque la fonction nulle est solution de (EH) sur J.
Enfin, il est clair que si f et g sont solutions de (EH) sur J et λ et µ sont des scalaires réels ou complexes,
(λ.f + µ.g) est encore solution de (EH) sur J, ce qui montre que cet ensemble est stable par combinaison
linéaire, et forme donc bien un K-espace vectoriel.
• Sur un intervalle J inclus dans I où a ne s’annule pas, y est solution de (EH) si et seulement si :
∀ t ∈ J, 0)(.
)( )(
)(' =+ ty
ta tb
ty .
Puisque la fonction : t a
)( )(ta tb
− , est définie et continue sur J, elle y admet des primitives.
En multipliant l’égalité sur y par
∫
dt
ta tb . )( )(
exp qui ne s’annule pas, elle est équivalente à :
∀ t ∈ J, 0.
)( )(
exp.)(.
)( )(
)(' =
+
∫
dt
ta tb
ty
ta tb
ty , soit encore : 0.
)( )(
exp).( =
∫
dt
ta tb
ty
dt
d
.
Or sur un intervalle, une fonction à valeurs réelles ou complexes est de dérivée nulle si et seulement si
elle est constante, autrement dit :
(y solution de (EH) sur J) ⇔ (∃ k ∈  ou , ∀ t ∈ J,
−=
∫
dt
ta tb
kty .
)( )(
exp.)( ).
En notant alors par exemple : ∀ t ∈ J, y
0
(t) =
−
∫
t
t
du
ua ub
0
.
)( )(
exp , où : t
0
∈ J, il est clair que toute solution
de (EH) sur J est proportionnelle à y
0
, et comme de plus y
0
est solution de (EH) sur J et que l’ensemble
S
J
(EH) de ces solutions forme un K-espace vectoriel, on peut conclure à : S
J
(EH) = Vect(y
0
).

Chapitre 13 : Equations différentielles – Cours complet. - 3 -
Enfin, cette fonction étant non nulle, S
J
(EH) est bien de dimension 1.
• Soit y une fonction définie, continue et dérivable sur J inclus dans I, et y
0E
une solution particulière de
(E) sur J.
Alors y est solution de (E) sur J si et seulement si :
∀ t ∈ J, a(t).y’(t) + b(t).y(t) = c(t) = a(t).y
0E
’(t) + b(t).y
0E
(t), ce qui est encore équivalent à :
∀ t ∈ J, a(t).[y – y
0E
]’(t) + b(t).[y – y
0E
](t) = 0, soit finalement équivalent à :
(y – y
0E
) ∈ S
J
(EH), ou :
(∃ y
H
∈ S
J
(EH), y = y
0E
+ y
H
).
• Enfin, si a ne s’annule pas sur J, les solutions de (EH) sur J formant une droite vectorielle, les solutions
de (E) sur J, au vu de la forme précédente, forment bien une droite affine ou un espace affine de
dimension 1.
Théorème 1.2 : méthode de variation de la constante
Soit I un intervalle de .
Soit : (E) a(t).y’ + b(t).y = c(t), (où a, b, c sont trois fonctions définies et continues de I dans  ou ) une
équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 et (EH) son équation homogène associée.
Soit J un intervalle inclus dans I sur lequel a ne s’annule pas et soit y
0
une solution de (EH) sur J.
Alors soit y
0
est la fonction nulle, soit elle ne s’annule pas sur J.
De plus si on pose : y= k.y
0
, où y
0
est une solution non nulle de (EH) sur J et k est une fonction inconnue
supposée définie, continue et dérivable sur J, alors y est solution de (E) sur J si et seulement si :
∀ t ∈ J,
)().( )(
)('
0tyta tc
tk = ,
et après intégration, cela fournit une solution de (E) sur J.
Démonstration :
Vu la forme obtenue pour les solutions de (EH) sur J dans le théorème précédent, il est clair qu’une
solution y de (EH) sur J soit est constamment nulle, soit ne s’annule pas sur J.
Posons y
0
une solution de (EH) sur J, puis : y = k.y
0
, où k est supposée définie, continue, dérivable sur J.
Alors y est solution de (E) sur J si et seulement si :
∀ t ∈ J, a(t).[k’(t).y
0
(t) + k(t).y
0
’(t)] + b(t).k(t).y
0
(t) = c(t), ou :
∀ t ∈ J, k(t).[a(t).y
0
’(t) + b(t).y
0
(t)] + k’(t).a(t).y
0
(t) = c(t), soit :
∀ t ∈ J, k’(t) =
)().( )(
0tyta tc
.
Or cette dernière fonction est définie et continue sur J, donc elle y admet des primitives.
Toutes ces primitives fournissent alors des fonctions k donnant des fonctions y, solutions de (E) sur J.
Théorème 1.3 : de Cauchy-Lipschitz, version « condition initiale »
Soit I un intervalle de .
Soit : (E) a(t).y’ + b(t).y = c(t), (où a, b, c sont trois fonctions définies et continues de I dans  ou ) une
équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1 et (EH) son équation homogène associée.
Soit : J ⊂ I, un intervalle où a ne s’annule pas.
Alors pour tout : t
0
∈ J, et tout : y
0
∈  ou , il existe une unique solution y de (E) sur J telle que de plus :
y(t
0
) = y
0
.
Démonstration :
Soit y
0E
une solution de (E) sur J et y
0H
la solution de (EH) sur J définie par :
∀ t ∈ J, y
0H
(t) =
−
∫
t
du
ua ub
α
.
)( )(
exp , où α est un élément fixé de J.
Alors toute solution y de (E) sur J s’écrit : ∀ t ∈ J, y(t) = y
0E
(t) + λ.y
0E
(t).
De plus, cette solution vérifie : y(t
0
) = y
0
, si et seulement si : y
0
= y
0E
(t
0
) + λ.y
0H
(t
0
).
Or y
0H
(t
0
) est non nul puisque y
0H
est une solution non nulle, donc cela fournit une unique valeur de λ et
une unique solution de (E) sur J.
Remarque : principe de superposition
Soit : (E) a(t).y’ + b(t).y = c(t), (où a, b, c sont trois fonctions définies et continues d’un intervalle I de 
dans  ou ) une équation différentielle linéaire d’ordre 1, telle que : 21
ccc += .
Si y
1
et y
2
sont des solutions respectivement de : (E
1
) a(t).y’ + b(t).y = c
1
(t), et : (E
2
) a(t).y’ + b(t).y = c
2
(t),

Chapitre 13 : Equations différentielles – Cours complet. - 4 -
sur un intervalle : J ⊂ I, alors 21 yy + est solution de (E) sur J.
Ce résultat est immédiat, du fait de la forme linéaire de l’équation.
Théorème 1.4 : raccordement de solutions
Soit I un intervalle de .
Soit : (E) a(t).y’ + b(t).y = c(t), (où a, b, c sont trois fonctions définies et continues de I dans  ou ) une
équation différentielle linéaire scalaire d’ordre 1.
Soient ]α,β[ et ]β,γ[ des intervalles inclus dans I sur lesquels a ne s’annule pas et tels que : a(β) = 0.
Une fonction y de ]α,γ[ dans  ou  définie sur ]α,γ[ est solution de (E) sur ]α,γ[ si et seulement si :
• la restriction y
1
de y à ]α,β[ est solution de (E) sur ]α,β[, donc a la forme annoncée par le th. 1.2,
• la restriction y
2
de y à ]β,γ[ est solution de (E) sur ]β,γ[, donc a la forme annoncée par le th. 1.2,
• y
1
admet une limite finie à gauche en β, y
2
admet une limite finie à droite en β, qui sont égales,
• la fonction y est dérivable en β.
Démonstration :
Le résultat est presque immédiat, et décrit surtout la démarche à suivre (par analyse-synthèse), lorsque
l’on veut raccorder des solutions d’équation différentielle en un point où le coefficient de y’ s’annule.
2. Systèmes différentiels linéaires d’ordre 1.
Définition 2.1 : système différentiel linéaire d’ordre 1, système homogène associé, solution d’un tel
système
Soit I un intervalle de  et un entier : n ≥ 2.
On appelle système différentiel linéaire d’ordre 1 un système du type :
(S) X’ = A(t).X + B(t), ou : )().(
'
'
11
tB
x
x
tA
x
x
nn
+ = MM , ou :
+++=
+++=
)().(...).('
)().(...).('
,11,
1,111,11
tbxtaxtax
tbxtaxtax
nnnnnn
nn
M
,
où A une fonction matricielle de I dans M
n
() ou M
n
(), et B une fonction matricielle de I dans
M
n,1
() ou M
n,1
() et X une fonction inconnue à valeurs dans M
n,1
() ou M
n,1
().
On appelle solution de (S) une fonction X définie d’un sous-intervalle : J ⊂I, dans M
n,1
() ou M
n,1
(),
continue et dérivable sur J telle que :
∀ t ∈ J, X’(t) = A(t).X(t) + B(t).
On appelle système linéaire homogène associé à (S) le système (SH) : X’ = A(t).X.
Théorème 2.1 : solutions d’un système différentiel homogène d’ordre 1 à coefficients constants
Soit I un intervalle de  et un entier : n ≥ 2.
Soit : (SH) X’ = A.X, un système différentiel linéaire homogène d’ordre 1 (où A est une matrice constante
appartenant à M
n
() ou M
n
()).
Alors le système admet des solutions sur  qui forme un - ou -espace vectoriel de dimension n.
En particulier, pour tout : (x
10
, …, x
n0
) ∈ 
n
ou 
n
, et tout : t
0
∈ , il existe une unique solution du
système (S) sur  : =
n
x
x
XM
1, telle que de plus : ∀ 1 ≤ i ≤ n,
ii
xtx
,00
)( = .
Démonstration :
C’est un cas particulier du théorème de Cauchy-Lipschitz 3.1 que l’on verra plus loin (et dont on
admettra la démonstration), en remarquant que : t a A, est une fonction matricielle constante, définie
sur .
On peut aussi établir cette existence explicitement en utilisant des exponentielles de matrices (plus
précisément, la solution cherchée est :
−=
n
x
x
AtttX
,0
1,0
0
).).exp(()( M
).
Le théorème 2.2 donnant une résolution pratique d’un tel système dans le cas complexe, montre

Chapitre 13 : Equations différentielles – Cours complet. - 5 -
également l’existence et l’unicité de la solution cherchée.
Théorème 2.2 : résolution pratique d’un système différentiel homogène à coefficients constants
Soit I un intervalle de  et un entier : n ≥ 2.
Soit : (SH) X’ = A.X, un système différentiel linéaire homogène d’ordre 1 (où A est une matrice constante
appartenant à M
n
() ou M
n
()).
• Si A est diagonalisable, alors : ∃ P ∈ Gl
n
( ou ), ∃ D diagonale, réelle ou complexe, D = P
-1
.A.P.
Dans ce cas, si pour une fonction X de  dans M
n
( ou ), on pose : Y = P
-1
.X, alors :
(X est continue et dérivable sur ) ⇔ (Y est continue et dérivable sur ), et :
(X solution de (SH) sur ) ⇔ (Y est solution de : Y’ = D.Y, sur ).
Ce dernier système étant diagonal, il se ramène à la résolution de n équations scalaires d’ordre 1
indépendantes, et on obtient les solutions de (SH) en calculant : X = P.Y, pour les solutions Y trouvées.
• Si A est trigonalisable (ce qui est toujours le cas pour une matrice complexe), alors : ∃ P ∈ Gl
n
( ou ),
∃ T triangulaire supérieure, réelle ou complexes, T = P
-1
.A.P.
Dans ce cas, si pour une fonction X de  dans M
n
( ou ), on pose : Y = P
-1
.X, alors :
(X est continue et dérivable sur ) ⇔ (Y est continue et dérivable sur ), et :
(X solution de (SH) sur ) ⇔ (Y est solution de : Y’ = T.Y, sur ).
Ce dernier système peut s’écrire :
=+=
++=
−−−−−
nnnn
nnnnnnn
nn
yty
ytyty
ytyty
.'
..'
..'
,
,111,11
,111,11
MOM
LL
,
et se ramène à la résolution successive de n équations scalaires d’ordre 1 avec second membre, en
commençant par la dernière puis en remontant, les solutions de (SH) s’obtenant ensuite en calculant :
X = P.Y, pour les solutions Y trouvées auparavant.
Démonstration :
• En posant : Y = P
-1
.X, on a l’implication :
(X continue et dérivable sur I) ⇒ (Y continue et dérivable sur I).
En effet, les coefficients de la matrice (colonne) Y sont des combinaisons linéaires à coefficients
constants de ceux de la matrice X.
A ce titre, ce sont tous des fonctions continues et dérivables sur I.
L’implication précédente s’obtient avec les mêmes arguments et la relation : X = P.Y.
De plus, en utilisant les combinaisons linéaires évoquées au-dessus (et à coefficients constants), on a :
∀ t ∈ I, Y’ = P
-1
.X’.
Dans ce cas, on a la suite d’équivalences :
(X est solution de (SH) sur ) ⇔ (X’ = A.X) ⇔ (P
-1
.X’ = P
-1
.A.P.P
-1
.X) ⇔ (Y’ = D.Y).
Une fois les solutions Y de ce nouveau système (diagonal) trouvées, on obtient les solutions X du
système initial par la relation : X = P.Y.
Il n’est donc pas ici nécessaire de calculer P
-1
.
• Lorsque la matrice n’est que trigonalisable, les résultats sont totalement similaires à ceux que l’on vient
d’établir.
Théorème 2.3 : de Cauchy-Lipschitz, systèmes différentiels linaires version « conditions initiales »
Soit I un intervalle de  et un entier : n ≥ 2.
Soit : (S) X’ = A(t).X + B(t), un système différentiel linéaire d’ordre 1 (où A est une fonction matricielle de
I dans M
n
() ou M
n
(), et B une fonction matricielle de I dans M
n,1
() ou M
n,1
()).
Si A et B sont continues sur I, alors : ∀ t
0
∈ I, ∀ (x
10
, x
20
, …, x
n0
) ∈ 
n
ou 
n
,
il existe une unique solution : X =
n
x
x
M
1, du système (S) sur I telle que de plus : ∀ 1 ≤ i ≤ n, x
i
(t
0
) = x
0,i
.
Démonstration : hors programme et admise.
Théorème 2.4 : structure de l’ensemble des solutions d’un système différentiel linéaire homogène
Soit I un intervalle de  et un entier : n ≥ 2.
Soit : (SH) X’ = A(t).X, un système différentiel linéaire homogène d’ordre 1 (où A est une fonction