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Quelques questions de th´ eories combinatoire et
´
el´ ementaire des nombres
Th` ese de l’Universit´ e de Lyon
´
Ecole Doctorale Sciences, Ing´eni´erie, Sant´e ED SIS 488
pr´esent´ee par
Salvatore Tringali
sous la direction de Fran¸cois Hennecart et Alain Plagne
pour obtenir le grade de : Docteur en Math´ematiques Pures
Universit´e Jean Monnet - Saint-´ Etienne, 26 novembre 2013

Introduction Plan de la pr´esentation
Plan de la pr´esentation
La th`ese est un recueil de contributions vari´ees `a :
(i) la th´eorie additive des groupes, des anneaux et de leurs g´en´eralisations (partie I)
1. Une g´en´eralisation de la transform´ee de Davenport.
2. Une extension du th´eor`eme de Cauchy-Davenport impliquant :
(a) les th´eor`emes de Kemperman et de Hamidoune-K´arolyi (cas commutatif) ;
(b) une extension du th´eor`eme de Chowla ;
(c) une version plus forte du th´eor`eme de Pillai (groupes cycliques).
3. Une preuve combinatoire d’une version plus forte du th´eor`eme de Hamidoune-K´arolyi
(pour tous les groupes) par la transform´ee de Kemperman.
4. Une g´en´eralisation des r´esultats par G. A. Freiman et ses coauteurs sur la th´eorie
structurelle des groupes ordonn´es au cas des semi-groupes ordonn´es.
(ii) la th´eorie ´el´ementaire des nombres (partie II)
1. Autour d’une conjecture par K. Gy˝ory et C. Smyth ;
2. Une contribution `a l’´etude des syst`emes de congruences cycliques (probl`eme de Zn´am).
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Th´ eorie ´ el´ ementaire des nombres Une conjecture de Gy˝ory et Smyth
Sur la divisibilit´e de an±bnpar nk
K. Gy˝ory et C. Smyth ont conjectur´e que les ensembles R+
k(a,b) et R−
k(a,b) des entiers
nt.q., respectivement, nk|an+bnet nk|an−bn, o`u a,b,k∈Zavec k≥3, |ab| ≥ 2 et
gcd(a,b) = 1, sont finis.
On d´emontre que R±
k(a,b) sont finis si k≥max(|a|,|b|).
Th´eor`eme 1. Soient a,b,nˆetre des entiers t.q. n≥2, a≥max(1,|b|) et b≥0
quand nest pair, et soient δ:= gcd(a,b), α:= δ−1aet β:= δ−1b.
(i) Supposons que β6=−αquand nest impair. Alors, na|an+bnet nα|αn+βnsi
et seulement si (a,b,n) = (2,1,3) ou (2c,2c,2) pour c∈ {0,1,2}.
(ii) Supposons que β6=α. Alors, na|an−bnet nα|αn−βnsi et seulement si
(a,b,n) = (3,1,2) ou (2,−1,3).
La preuve se base sur le lemme suivant :
Lemme (Lucas, 1878 & Carmichael, 1909). Pour tous x,y∈Z,`∈N+et p∈P
t.q. p-xy et p|x−y, on a (epest la valuation p-adique standard) :
(i) Si p≥3, `est impair, ou 4 |x−y, alors ep(x`−y`) = ep(x−y) + ep(`).
(ii) Si p= 2, `est pair, et e2(x−y) = 1, alors e2(x`−y`) = e2(x+y) + e2(`).
Salvatore Tringali (Universit´e Jean Monnet) [email protected] / [email protected] Saint-´ Etienne, 26 nov 2013 3 / 19

Th´ eorie ´ el´ ementaire des nombres Autour du probl`eme de Zn´am
Un syst`eme d’equations cycliques dans les entiers (1/2)
Le probl`eme de Zn´am : Quels sont les multi-ensembles Zkd’entiers x1,...,xk≥2
(k≥2) t.q. xiest un diviseur propre de 1 + Qk
i6=j=1 xjpour tout i? Sont-ils finis ?
1. Zk=∅pour 2 ≤k≤4 (J´anak et Skula, 1978) ;
2. Une borne inf´erieure sur |Zk|qui implique Zk6=∅si k≥5 (Sun Qi, 1983).
Un probl`eme li´e : ´ Etant donn´e un entier n≥3, soient
(i) u1,...,undes entiers ≥2 et premiers entre eux deux `a deux;
(ii) Dune famille de sous-ensembles propres et non vides de {1,...,n}qui contient un
nombre “suffisant” d’´el´ements (e.g., |D| ≥ nκpour quelque κ > 0);
(iii) εune fonction D → {±1}(on ´ecrit εIau lieu de ε(I)).
On pose la question suivante :
Question 1. Existe-t-il au moins un nombre premier qt.q. qdivise Qi∈Iui−εIpour
un certain I∈ D, mais ne divise pas u1· · · un?
• • • Nous donnons une r´eponse positive dans un cas particulier.
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Th´ eorie ´ el´ ementaire des nombres Autour du probl`eme de Zn´am
Un syst`eme d’equations cycliques dans les entiers (2/2)
Soient nun entier positif et Sn:= {1,...,n}. Pour tout k∈Non d´enote par Pk(Sn) la
collection de tous les sous-ensembles Ide Snt.q. |I|=k.
Th´eor`eme 2. ´ Etant donn´e un entier n≥3, soient p1,...,pndes nombres premiers,
v1,...,vndes entiers positifs et Dune collection de sous-ensembles propres et
non-vides de Snt.q. D0⊆ D, o`u D0:= P1(Sn)∪ Pn−2(Sn)∪ Pn−1(Sn). Alors, pour
toute fonction ε:D → {±1}t.q. la restriction de ε`a D0est constante, il existe un
nombre premier q/∈ {p1,...,pn}t.q. qdivise Qi∈Ipvi
i−εIpour un certain I∈ D.
Cela implique :
Th´eor`eme 3. Si ε0∈ {±1}et si Aest un ensemble de trois ou plus nombres premiers
qui contient les diviseurs premiers des tous les produits Qp∈Bp−ε0pour lesquels B
est un sous-ensemble propre, fini et non vide de A, alors Acontient P.
Les preuves sont bas´ees sur le th´eor`eme suivant :
Th´eor`eme (Zsigmondy, 1892). Soient a,b∈N+et n≥2 un entier t.q. (i) a>b,
(ii) (a,b,n)6= (2,1,6), et (iii) si n= 2, alors a+bn’est pas une puissance de 2.
Alors, il existe p∈Pt.q. p|an−bnet p-ak−bkpour chaque entier positif k<n.
Salvatore Tringali (Universit´e Jean Monnet) [email protected] / [email protected] Saint-´ Etienne, 26 nov 2013 5 / 19