arithmétique et algèbre

ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE
1ere année ESIL, département d’informatique
A. Bonnecaze

Table des matières
1 Rappels sur la théorie des ensembles 3
1.1 Constructionsd’ensembles .................................. 3
1.2 Relationsetapplications ................................... 3
1.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Familles............................................ 4
1.5 Relationd’équivalence .................................... 5
1.6 Relationd’ordre........................................ 5
1.7 Problème ........................................... 7
2 Propriétés des entiers 8
2.1 Divisionentière........................................ 8
2.2 Nombrepremier........................................ 9
2.3 Idéaux,PGCDetPPCM ................................... 9
2.4 Exercices ........................................... 12
3 Congruences 13
3.1 Classesd’équivalence..................................... 13
3.2 Résoudre les congruences linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Classesrésiduelles ...................................... 15
3.4 Exercices ........................................... 17
4 Propriétés des entiers modulaires 18
4.1 Fonctiond’Euler ....................................... 18
4.2 Théorème d’Euler et petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Application du théorème d’Euler : le cryptosystème RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Résidusquadratiques ..................................... 21
4.5 SymboledeLegendre..................................... 22
4.6 SymboledeJacobi ...................................... 23
4.7 Exercices ........................................... 26
5 Structures algébriques 27
5.1 Groupes............................................ 27
5.1.1 Groupescycliques .................................. 28
5.2 Sous-groupe.......................................... 28
5.3 Homomorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.4 Exercices ........................................... 30
5.5 Corpsetanneaux ....................................... 31
5.5.1 Polynômes ...................................... 31
5.6 Construction d’un corps fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6.1 LogarithmedeZech ................................. 35
5.6.2 Classescyclotomiques ................................ 36
1

5.7 Exercices ........................................... 38
5.7.1 Exercice supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
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Chapitre 1
Rappels sur la théorie des ensembles
1.1 Constructions d’ensembles
Inclusion d’ensembles
On dit que l’ensemble Eest inclus dans l’ensemble Fsi on a
∀x, (x∈E)⇒(x∈F).
Si tel est le cas, on écrit E⊂Fet on dit que Eest une partie de F.
L’ensemble des parties de Eest noté P(E).
Il existe un seul ensemble qui ne contient aucun élément.
On l’appelle l’ensemble vide et on le note ∅.
Transitivité de l’inclusion
Soient E,Fet Gdes ensembles tels que E⊂Fet F⊂G. Alors E⊂G.
Opérations sur les ensembles
Soient Fet Gdeux parties d’un ensemble E. On définit alors
– le complémentaire de Fdans E:cF={x∈E, x /∈F},
– la réunion de Fet G:F∪G={x∈Fou x∈G},
– l’intersection de Fet G:F∩G={x∈Fet x∈G},
– la différence de Fet G:F\G={x∈Fet x /∈G}.
Produit cartésien
On appelle produit cartésien de deux ensembles Eet F, l’ensemble des couples (x, y)tels que x∈E
et y∈Fet on le note E×F.
1.2 Relations et applications
Relations et applications
Soient Eet Fdeux ensembles.
– On appelle relation (ou correspondance) de Evers Ftout triplet (G, E, F )où Gest une partie
de E×F. Les ensembles G, E, F sont respectivement appelés graphe, ensemble de départ et
ensemble d’arrivée de la relation.
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– On appelle application de Edans Ftoute relation f= (G, E, F )de Evers Ftelle que, pour tout
xde E, il existe un unique ytel que (x, y)∈Get on note f:E→F.
On note alors y=f(x)et on appelle yl’image de xpar f. On note F(E, F )l’ensemble des
applications de Edans F.
Image directe et image réciproque d’une application
Soit fune application de Edans F.
– Pour toute partie Ade E, on appelle image directe de Apar f, l’ensemble des yde Fpour lesquels
il existe un xdans Atel que y=f(x)et on la note f(A).
– Pour toute partie Bde F, on appelle image réciproque de Bpar f, l’ensemble des xde Edont
l’image est dans Bet on la note f−1(B).
Composée d’applications
Soient E,F,Gtrois ensembles et f:E→Fet g:F→Gdeux applications. On appelle composée
de fet gl’application h:E→Gtelle que ∀x∈E, h(x) = g(f(x)). On la note h=g◦f.
Prolongement et restriction d’une application
Soient Eet Fdeux ensembles et Hune partie de E.
– Soit fune application de Edans F. On appelle restriction de fàHl’application notée f|Hde H
dans Fdéfinie par ∀x∈H, f|H(x) = f(x).
– Soit fune application de Hdans F. On appelle prolongement de fàEtoute application gde Edans
Ftelle que g|H=f.
1.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité
Application InJective, surjective et bijective
Soit f:E→Fune application. On dit que fest
–injective si l’égalité f(x) = f(y)implique x=y.
–surjective si tout élément de Fest l’image par fd’au moins un élément de E,
–bijective si fest à la fois injective et surjective, c’est-à-dire,
∀y∈F, ∃!x∈E, y =f(x).
Composée d’applications
La composée de deux applications injectives (respectivement surjectives, bijectives) est injective (resp.
surjective, bijective).
1.4 Familles
Familles et sous-familles
Soient Iet Edeux ensembles.
– On appelle famille d’éléments de E indexée par Itoute application xde Idans Eet on note la famille
(xi)i∈I.
– On appelle sous-famille d’une famille (xi)i∈Itoute restriction de l’application x.
On peut alors généraliser les notions de réunion et d’intersection que l’on avait défini que pour les paires
d’ensembles.
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