Chapitre VII Chapitre VII : Noyau et Image

Chapitre VII
Chapitre VII : Noyau et Image

Introduction
Après avoir vu tout une série d’exemples, nous allons étudier les
applications linéaires plus en détails.

Applications injectives/surjectives
Il est souvent utile de savoir si une application linéaire est injective
et/ou surjective. Rappelons qu’une fonction (pas nécessairement
linéaire)
f:A→B
est injective si deux éléments distincts de Aont des images
distinctes (c’est-à-dire si x,y∈Aet f(x) = f(y)alors x=y). Elle
est surjective si tout point dans Best dans l’ensemble image de
f:
Im(f) = {y|y=f(x)pour un certain x∈V}.
Donc fest surjective si Im(f) = B.

Applications injectives/surjectives
Exemple 1
La fonction f :R→R:x7→ x2n’est ni injective (vu que
f(1) = f(−1)) ni surjective (vu que les réels négatifs ne sont pas
dans l’image de f ).
Si f:A→Best une application quelconque (pas nécessairement
linéaire) on a
Im(f)⊆B
mais Im(f)6=Ben règle générale. Ici, on a par exemple
Im(f) = R+.

Image
Exemple 2
L’application
f:R→R2:x7→ (x,8x)
est linéaire et son image est la droite vectorielle d’équation
y=8x.L’application
g:R2→R2: (x,y)7→ (2x,3y)
est linéaire et son image est R2tout entier. En effet, quel que soit
(z,t)∈R2on a
f(z
2,t 3) = (z,t)
donc (z,t)est bien dans l’image de g.