Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael

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Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Corrigé de l’activité 1. Nombres de Mersenne (5 exercices)
Exercice 1
1) On fait la table de valeurs de   avec un début de table à    et un pas de . On obtient les valeurs :
Nombre de Mersenne 
Valeur
2) Les nombres premiers dans le tableau ci-dessus sont surlignés.
3) a) Conjecture : Si  est composé alors  est composé.
b) Si  est premier alors  est composé ou bien  est premier. Par exemple, pour    premier on a le
cas où     est composé et pour    premier on a le cas où  est premier.

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Exercice 2
Partie A : Exemples
Les diviseurs propres de  sont   
Leur somme         . Donc   . Donc    est parfait.
Les diviseurs propres de  sont     .
Leur somme            . Donc   . Donc    est parfait.
2)     donc      avec    et où      est premier.
    donc      avec    et où      est premier.
Partie B : Cas général
1) a) Les diviseurs de  sont les entiers de la forme    avec     et  .
Il y a donc      diviseurs. On peut faire un arbre pour les visualiser :
Les diviseurs propres sont donc :          . Il y en a          .

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b) Leur somme est :                    .
La somme des diviseurs propres de     est donc         
2) a) Si      alors :
b) On sait que «  est parfait » équivaut à «  est égal à la somme de ses diviseurs propres » c’est-à-dire   .
Or on suppose que     et que      où  est premier.
Donc on a :      .
Donc on a bien   .
Conclusion :
Si on a :       avec    premier, alors  est parfait.
3) a) Le résultat démontré est :
Si un entier naturel  peut s’écrire       avec    premier
ou encore
Si  peut s’écrire     où      est un nombre de Mersenne premier, alors  est
parfait.
b) Pour donner deux autres nombres parfaits, il suffit de prendre deux nombres de Mersenne premiers. Par
exemple en utilisant le tableau de l’exercice 1 :
Nombre de Mersenne 
Valeur de 

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Exercice 3
1) a) Soit        .
 est une somme de termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme  et de raison . Cette
somme comporte  termes. Donc :
Ainsi :
b) Un nombre de Mersenne s’écrit    où  est un entier naturel non nul.
On suppose dans cette question que  est composé. Donc il existe deux entiers  et  strictement supérieurs à  tels
que   .
Donc  s’écrit    
En utilisant le résultat de la question 1) a), on a :
      .
Puisque   , on a  .
   et       .
Donc  est le produit de deux facteurs strictement supérieurs à . Donc si  est composé alors  est composé.
2) Puisque si  est composé alors  est composé, alors il faut chercher parmi les indices  premiers pour trouver
un nombre de Mersenne premier.

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Exercice 4
Partie A : Forme d’un diviseur d d’un nombre de Mersenne Mp avec p premier
1) Par hypothèse, le nombre de Mersenne  où  est un nombre premier, est divisible par  où  est un nombre
lui aussi premier. Donc on a :
D’après la définition des nombres de Mersenne, on a   . Donc :
2) a) D’après la question 1), on a comme hypothèse  
Par hypothèse,    est une valeur qui satisfait à la définition de l’ensemble .
 Donc l’ensemble  contient au moins un élément qui est . Donc l’ensemble  n’est pas vide.
 Tout ensemble d’entiers naturels non vide contient un plus petit élément noté ici .
 Puisque la relation   est fausse quel que soit le nombre premier  alors    n'appartient
pas à l’ensemble . Le plus petit élément  de l’ensemble  est donc strictement supérieur à .
b)  est un élément quelconque de . Puisque   , par définition de , on a  
On a noté  le plus petit élément de .
 La division euclidienne de  par  s’écrit      avec      et    puisque  est le plus petit
élément de .
Pour tout élément  de  on a donc :
 étant un élément de , on a  . Donc :
 Supposons que le reste  est non nul. Dans ce cas, il vérifie  , donc   .
Et comme  est tel que      alors  est un élément de , tout en étant strictement inférieur au plus
petit élément de . C’est absurde. On en déduit que la proposition «  est non nul » est fausse.
Conclusion :    et donc tout élément  de  vérifie    avec   
  contient donc un plus petit élément  et ses multiples. Or d’après 2)a) le nombre premier  appartient à .
Comme aucun des multiples de  n’est premier, on déduit que  est le plus petit élément de .
Conclusion :   .
c) On admet que   . Donc     .
Donc - soit    est égal à  qui est le plus petit élément de ,
- soit    est un multiple de  s’écrivant      avec   .