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Exercice 4
Partie A : Forme d’un diviseur d d’un nombre de Mersenne Mp avec p premier
1) Par hypothèse, le nombre de Mersenne où est un nombre premier, est divisible par où est un nombre
lui aussi premier. Donc on a :
D’après la définition des nombres de Mersenne, on a . Donc :
2) a) D’après la question 1), on a comme hypothèse
Par hypothèse, est une valeur qui satisfait à la définition de l’ensemble .
Donc l’ensemble contient au moins un élément qui est . Donc l’ensemble n’est pas vide.
Tout ensemble d’entiers naturels non vide contient un plus petit élément noté ici .
Puisque la relation est fausse quel que soit le nombre premier alors n'appartient
pas à l’ensemble . Le plus petit élément de l’ensemble est donc strictement supérieur à .
b) est un élément quelconque de . Puisque , par définition de , on a
On a noté le plus petit élément de .
La division euclidienne de par s’écrit avec et puisque est le plus petit
élément de .
Pour tout élément de on a donc :
étant un élément de , on a . Donc :
Supposons que le reste est non nul. Dans ce cas, il vérifie , donc .
Et comme est tel que alors est un élément de , tout en étant strictement inférieur au plus
petit élément de . C’est absurde. On en déduit que la proposition « est non nul » est fausse.
Conclusion : et donc tout élément de vérifie avec
contient donc un plus petit élément et ses multiples. Or d’après 2)a) le nombre premier appartient à .
Comme aucun des multiples de n’est premier, on déduit que est le plus petit élément de .
Conclusion : .
c) On admet que . Donc .
Donc - soit est égal à qui est le plus petit élément de ,
- soit est un multiple de s’écrivant avec .