Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael

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Thème : Des nombres particuliers : Mersenne, Fermat, Carmichael
Corrigé de l’activité 1. Nombres de Mersenne (5 exercices)
Exercice 1
1) On fait la table de valeurs de   avec un début de table à   et un pas de . On obtient les valeurs :
Nombre de Mersenne
Valeur
  
 
  
 
  
 
  

  

  

  

  

  


    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 

    
 
2) Les nombres premiers dans le tableau ci-dessus sont surlignés.
3) a) Conjecture : Si est composé alors est composé.
b) Si est premier alors est composé ou bien est premier. Par exemple, pour  premier on a le
cas où     est composé et pour   premier on a le cas  est premier.
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Exercice 2
Partie A : Exemples
Les diviseurs propres de sont   
Leur somme      . Donc   . Donc   est parfait.
Les diviseurs propres de  sont     .
Leur somme          . Donc  . Donc    est parfait.
2)     donc      avec    et où     est premier.
    donc      avec    et où      est premier.
Partie B : Cas général
1) a) Les diviseurs de sont les entiers de la forme    avec     et  .
Il y a donc      diviseurs. On peut faire un arbre pour les visualiser :
Les diviseurs propres sont donc :        . Il y en a         .
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b) Leur somme est :                  .
                
            
    
  
    
  
        
La somme des diviseurs propres de    est donc         
2) a) Si      alors :
          
       
       
        
      
    
b) On sait que « est parfait » équivaut à « est égal à la somme de ses diviseurs propres » c’est-à-dire  .
Or on suppose que     et que      est premier.
Donc on a :      .
Donc on a bien   .
Conclusion :
Si on a :       avec    premier, alors est parfait.
3) a) Le résultat démontré est :
Si un entier naturel peut s’écrire       avec    premier
ou encore
Si peut s’écrire        est un nombre de Mersenne premier, alors est
parfait.
b) Pour donner deux autres nombres parfaits, il suffit de prendre deux nombres de Mersenne premiers. Par
exemple en utilisant le tableau de l’exercice 1 :
Nombre de Mersenne
Valeur de
   
  
 
  
  
 
 
  

 
  

 

    
 
   

    
 
   

    
 
    
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Exercice 3
1) a) Soit        .
est une somme de termes consécutifs de la suite géométrique de premier terme et de raison . Cette
somme comporte termes. Donc :
   
  
    
 
Ainsi :
    
         
b) Un nombre de Mersenne s’écrit    est un entier naturel non nul.
On suppose dans cette question que est composé. Donc il existe deux entiers et strictement supérieurs à tels
que   .
Donc s’écrit    
En utilisant le résultat de la question 1) a), on a :
      .
Puisque   , on a  .
   et       .
Donc est le produit de deux facteurs strictement supérieurs à . Donc si est composé alors est composé.
2) Puisque si est composé alors est composé, alors il faut chercher parmi les indices premiers pour trouver
un nombre de Mersenne premier.
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Exercice 4
Partie A : Forme d’un diviseur d d’un nombre de Mersenne Mp avec p premier
1) Par hypothèse, le nombre de Mersenne est un nombre premier, est divisible par est un nombre
lui aussi premier. Donc on a :
 
D’après la définition des nombres de Mersenne, on a   . Donc :
  
 
2) a) D’après la question 1), on a comme hypothèse  
Par hypothèse,    est une valeur qui satisfait à la définition de l’ensemble .
Donc l’ensemble contient au moins un élément qui est . Donc l’ensemble n’est pas vide.
Tout ensemble d’entiers naturels non vide contient un plus petit élément noté ici .
Puisque la relation   est fausse quel que soit le nombre premier alors    n'appartient
pas à l’ensemble . Le plus petit élément de l’ensemble est donc strictement supérieur à .
b) est un élément quelconque de . Puisque   , par définition de , on a  
On a noté le plus petit élément de .
La division euclidienne de par s’écrit      avec      et   puisque est le plus petit
élément de .
Pour tout élément de on a donc :
 
  
étant un élément de , on a  . Donc :
  
 
Supposons que le reste est non nul. Dans ce cas, il vérifie  , donc   .
Et comme est tel que      alors est un élément de , tout en étant strictement inférieur au plus
petit élément de . C’est absurde. On en déduit que la proposition « est non nul » est fausse.
Conclusion :    et donc tout élément de vérifie   avec   
contient donc un plus petit élément et ses multiples. Or d’après 2)a) le nombre premier appartient à .
Comme aucun des multiples de n’est premier, on déduit que est le plus petit élément de .
Conclusion :   .
c) On admet que   . Donc    .
Donc - soit   est égal à qui est le plus petit élément de ,
- soit   est un multiple de s’écrivant     avec  .
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