Fiche méthodologique Passage d`un mode de

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Fiche méthodologique Passage d’un mode de représentation d’un sev
à l’autre
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
CC
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⋆Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels
Il existe deux modes de représentation d’un sous-espace vectoriel Ede Rn:
Par des équations cartésiennes c’est-à-dire que l’ensemble Eest donné comme la partie de Rn
qui vérifie un certain nombre d’équations. Par exemple :
E=n(x, y, z)∈R3|x+ 2y−z= 0,et x+ 3z= 0o.
L’avantage de cette représentation est qu’il est très facile de calculer l’intersection de deux sev :
il suffit de prendre la partie qui vérifie toutes les équations. Par exemple, l’ensemble précédent
Eest :
E=n(x, y, z)∈R3|x+ 2y−z= 0o∩n(x, y, z)∈R3|x+ 3z= 0o.
Ce mode de représentation correspond à identifier Eet le noyau d’une application linéaire : le
sous-espace vectoriel Ede Kns’écrit :
E=nx∈Knf(x) = 0o,
où fest une application linéaire de Kndans Kp, avec ple nombre d’équations.
Dans l’exemple, Es’identifie avec le noyau de l’application linéaire :
f:
R3→R2
(x, y, z)7−→ (x+ 2y−z, x + 3z).
On peut écrire cela en disant que Eest l’ensemble de solutions 1d’un système homogène (Sh).
Dans l’exemple, le système (Sh) correspondant est :
(Sh) : (x+ 2y−z= 0
x+ 3z= 0
Par des paramètres c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui s’écrivent en fonction de certains pa-
ramètres :
F=n(a+c, a +b+ 2c, b +c, b +c)|(a, b, c)∈R3o.
L’avantage de cette représentation est qu’il est très facile de trouver une famille génératrice, et
ainsi une base, en enlevant des vecteurs. Par exemple ici :
F=V ect((1,1,0,0),(0,1,1,1),(1,2,1,1)).
1. Ce qui démontre au passage que les solutions d’un système homogène forment un espace vectoriel.

2que l’on peut simplifier, en remarquant que : (1,1,0,0) + (0,1,1,1) = (1,2,1,1), en :
F=V ect((1,1,0,0),(0,1,1,1)).
qui est une famille libre, donc Eest de dimension 2.
Cette représentation peut-être vue comme l’image d’une application linéaire : le sous-espace
vectoriel Fde Knpeut s’écrire sous la forme :
F=nf(x)x∈Kp}
où fest une application linéaire de Kpavec ple nombre de paramètres dans Kn.
Dans l’exemple Fs’identifie avec l’espace image de l’application :
f:
R3→R4
(a, b, c)7−→ (a+c, a +b+ 2c, b +c, b +c).
On peut dire que c’est l’ensemble des seconds membres, tel qu’un système (S) ait des solutions :
dans l’exemple, le sous-espace vectoriel Fs’identifie avec l’ensemble des triplets (x, y, z, t), tel
que le système :
(S)
a+c=x
a+b+ 2c=y
b+c=z
b+c=t
d’inconnue (a, b, c) ait une solution.
Ainsi, on retiendra :
– lorsqu’on veut faire une intersection de sev, on passe par la forme équations.
– lorsqu’on veut déterminer une base ou calculer la dimension, on passe par la forme paramètre.
Il faut donc être capable de passer d’un mode de représentation à l’autre.
⋆Passage des équations aux paramètres
Pour passer de la forme équation cartésienne à la forme paramètre, on résout le système (Sh), en
considérant les coordonnées (x, y, z) comme des inconnues. L’ensemble des solutions s’exprime alors
en fonction de paramètres, ce qui donne la représentation paramétrique.
On rappelle que la technique est de se ramener à un système échelonné et d’utiliser la méthode
de remontée.
Par exemple, pour le sev E, on fait :
(Sh)(x+ 2y−z= 0
x+ 3z= 0
⇔(x+ 2y−z= 0
x=−3z
⇔(y=1
2(x+z)
x=−3z
⇔(y=−z
x=−3z

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Ainsi, E={(−3z, −z, z)|z∈R}=V ect(−3,1,1).
⋆Passage des paramètres aux équations
Pour passer d’une représentation sous forme paramétrique à une représentation sous forme d’équa-
tions, on résout le système (S) avec pour inconnues les paramètres, et pour second membre, des
coordoonées génériques. On peut dire que l’on cherche à exprimer les paramètres en fonction des
coordonnées. On met le système sous forme échelonnée et apparaissent alors des équations de com-
patibilité. Ainsi, le système (S) n’a de solutions que si et seulement si le second membre, i.e. les
coordonnées, vérifient certaines conditions. On obtient ainsi les équations cartésiennes.
Par exemple pour F, on a :
(S)
a+c=x
a+b+ 2c=y
b+c=z
b+c=t
⇔
a+c=x
b+c=y−x
b+c=z
b+c=t
⇔
a+c=x
b+c=y−x
0 = z−y+x
0 = t−y+x
Ainsi, le système a une solution si et seulement si z−y+x= 0, et t−y+x= 0. Si ces équations sont
vérifiées, alors le système a une solution, par exemple : a=x,b=yet c= 0. Cette solution n’est pas
unique (on retrouve ici le fait que la famille génératrice n’est pas une base de F). On a donc :
F=n(x, y, z, t)∈R4|z−y+x= 0,et t−y+x= 0o.
Attention, il est inutile de résoudre le système : on cherche les conditions pour lesquels ce système
admet une solution, c’est-à-dire les équations de compatibilité.

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Fiche méthodologique Rang d’une matrice et applications
BCPST Lycée Hoche Pelletier Sylvain
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⋆Les deux définitions du rang d’une matrice
Le rang d’une matrice M∈ Mn,p(K) est défini de deux manières :
– Soit comme le rang de l’application linéaire fqui vérifie M=MatB,C(f),
– Soit comme le rang de la famille Fconstituée de pvecteurs de Kn, qui vérifie M=MatC(F).
Bet Cdésignant les bases canoniques de Kpet de Kn.
Le rang d’une matrice se calcule en faisant des opérations élémentaires inversibles sur les
lignes ou les colonnes de manière à se ramener à une matrice échelonnée. Le rang d’une matrice
échelonnée est alors égal aux nombres de lignes qu’elle contient (ou de pivots).
On peut aussi utiliser la propriété rg(M) = rg(tM) et calculer le rang de la transposée.
Il faut bien avoir en tête que les matrices sont un support de calcul permettant de faire des calculs
rapidement pour obtenir des propriétés sur les familles de vecteurs et sur les applications linéaires.
Le but de cette fiche est d’illustrer les informations que l’on peut tirer du calcul du rang d’une matrice
dans le cas où on ne fait que des opérations élémentaires sur les lignes.
Le calcul du rang d’une application linéaire / d’une famille de vecteurs n’est possibles que dans le cas
où on connaît l’expression de f/ les coordonnées des vecteurs. Si ce n’est pas le cas, il faut revenir
aux définitions.
⋆Applications aux familles de vecteurs
Si on considère une famille de vecteurs F= (u1,...up), dont on connaît les coefficients sur une
base, pour savoir si cette famille est libre ou génératrice, le plus simple est de mettre leurs coordonnées
dans une matrice Met de faire des opérations sur les lignes, de manière à calculer le rang.
On obtient alors :
– si le rang est égal au nombre de vecteurs que la famille Fcontient (ici p) alors la famille est
libre,
– si le rang est égal à la dimension du sous-espace vectoriel Equi contient la famille F(ici n),
alors la famille est génératrice de E.
Exemple: On considère la famille de 5 vecteurs de R4donnés par :
u1= (1,2,−1,1) u2= (2,4,−2,2)
u3= (−3,−7,0,−4) u4= (5,12,1,7)
u5= (−1,3,9,10).

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On calcule le rang de la matrice associée avec la réduction de Gauss :
1 2 −3 5 −1
2 4 −7 12 3
−1−2 0 1 9
1 2 −4 7 10
12−3 5 −1
0 0 −1 2 5
0 0 −3 6 8
0 0 −1 2 11
l2−2l1
l3+l1
l4−l1
12−3 5 −1
0 0 -1 2 5
0 0 0 0 −7
0 0 0 0 6
l3−3l2
l4−l2
12−3 5 −1
0 0 -1 2 5
0 0 0 0 -7
0 0 0 0 0
7l4+ 6l3
Le rang de la matrice est donc de 3. Elle n’est ni libre ni génératrice.
L’avantage de ne faire que des opérations sur les lignes est qu’on obtient plus d’information. Notons
E=vect(F), on vient de voir que dim(E) = rg(F) = 3. On a alors :
Extraire une base de EConsidérons les vecteurs (u1, u3, u5) (les colonnes qui contiennent des pi-
vots), la matrice de cette famille correspond aux colonnes 1,3 et 5 :
Mat(u1, u3, u5) = 
1−3−1
2−7 3
−1 0 9
1−4 10
.
En refaisant les mêmes calculs, on voit que cette matrice se réduit matrice en :
1−3−1
0 -1 5
0 0 -7
0 0 0
Cette matrice est donc de rang 3, ce qui signifie que (u1, u3, u5) est une famille libre de E, donc
une base de E. On peut donc dire qu’une base de Eest
(1,2,−1,1),(−3,−7,0,−4),(−1,3,9,10).
Attention : on utilise les coordonnées dans la matrice originale, et non dans la matrice réduite.
Le principe est donc de considérer les vecteurs de la famille tels que les colonnes correspondantes
dans la matrice réduite contiennent un pivot.
De même, on voit donc que (u2, u3, u5) forment une famille libre. Par contre, on ne sait rien sur
(u3, u4, u5), puisqu’en refaisant les mêmes calculs, on obtient pas une matrice échelonnée.
Déterminer une relation de dépendance entre les vecteurs. Il faut trouver une solution non
nulle de : S:λ1u1+λ2u2+λ3u3+λ4u4+λ5u5= 0, ce qui s’écrit sous forme matriciel comme
le système :
S
1 2 −3 5 −1
2 4 −7 12 3
−1−2 0 1 9
1 2 −4 7 10
λ1
λ2
λ3
λ4
λ5
=
0
0
0
0
.