Chapitre IV

I Densit´ e et courant de probabilit´ e
Chapitre IV
L’´equation de Schr¨odinger : solutions particuli`eres
I Densit´e et courant de probabilit´e
Dans le chapitre pr´ec´edent nous avons d´efini la densit´e de probabilit´e
P(x, t) = |Ψ(x, t)|2.(4.1)
C’est M. Born qui, en 1926, a propos´e la d´efinition (4.1) et “l’interpr´etation probabiliste
de la m´ecanique quantique” qui en d´ecoule. Un argument important pour motiver cette
interpr´etation est que la densit´e de probabilit´e satisfait une condition de conservation locale
qui est formellement analogue `a la condition de conservation locale de la densit´e de charge
en electrodynamique. Dans ce dernier cas, toute augmentation ou diminution au cours du
temps de la densit´e de charge ´electrique dans une r´egion donn´ee de l’espace est comptabilis´ee
de mani`ere pr´ecise en terme d’un courant ´electrique qui traverse la fronti`ere de cette r´egion.
Dans le cas qui nous occupe, la probabilit´e de trouver une particule dans une “r´egion” de
l’espace unidimensionnel (i.e. x1≤x≤x2)) est donn´ee par
!x2
x1|Ψ(x, t)|2dx (4.2)
et le taux de variation de cette probabilit´e
∂
∂t!x2
x1
Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)dx =!x2
x1"∂Ψ∗(x, t)
∂tΨ(x, t) + Ψ∗(x, t)∂Ψ(x, t) ∂t#dx (4.3)
et avec l’´equation de Schr¨odinger le membre de droite devient
∂
∂t!x2
x1|Ψ(x, t)|2dx =i!
2m!x2
x1$Ψ∗(x, t)∂2Ψ(x, t)
∂x2−∂2Ψ∗(x, t) ∂x2Ψ(x, t)%dx (4.4)
mais comme
Ψ∗∂2Ψ
∂x2−∂2Ψ∗ ∂x2Ψ=∂ ∂x&Ψ∗∂Ψ ∂x−∂Ψ∗ ∂xΨ'(4.5)
l’´equation (4.4) devient
∂
∂t!x2
x1|Ψ(x, t)|2dx =i!
2m$Ψ∗∂Ψ ∂x−∂Ψ∗ ∂x·Ψ%(
(
(
(
x2
x1
(4.6)
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Chapitre 4 — L’´ equation de Schr¨ odinger : solutions particuli` eres
En d´efinissant le courant de probabilit´e
J(x, t) = −i!
2m&Ψ∗(x, t)∂Ψ(x, t) ∂x−∂Ψ∗(x, t) ∂xΨ(x, t)'(4.7)
l’´equation (4.6) devient
∂
∂t!x2
x1|Ψ(x, t)|2dx =J(x1, t)−J(x2, t) (4.8)
dont l’interpr´etation physique est ´evidente : le taux de changement de la probabilit´e de
trouver la particule dans la r´egion x1≤x≤x2est pr´ecis´ement donn´e par la diff´erence du
courant de probabilit´e qui entre en x1et du courant de probabilit´e qui sort en x2.
Pour une solution de l’´equation de Schr¨odinger de la forme
Ψ(x, t) = φ(x)e−iEt/!
le courant de probabilit´e est stationnaire
J(x) = −i!
2m&φ∗(x)dφ(x) dx −dφ∗(x) dx φ(x)'(4.9)
et l’´equation (4.8) donne `a pr´esent
J(x1) = J(x2).(4.10)
Nous reviendrons sur la signification physique de cette relation dans plusieurs des exemples
explicites trait´es dans ce chapitre.
II La particule libre
Pour une particule libre, l’´equation de Schr¨odinger
i!∂Ψ(x, t)
∂t=ˆp2 2mΨ(x, t)
admet des solutions de la forme
Ψ(x, t) = φ(x)e−iEt/!
pour toute valeur positive de E. En effet, l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps
s’´ecrit
ˆp2
2mφ(x) = Eφ(x) soit encore d2φ(x) dx2=−2mE !2φ(x).
En posant
k2=2mE
!2(4.11)
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II La particule libre
nous obtenons finalement
d2φ(x)
dx2=−k2φ(x) (4.12)
et cette ´equation admet des solutions du type
φ1(x) = Aeikx (4.13)
ou encore
φ2(x) = Be−ikx (4.14)
et de telles solutions existent pour toute valeur positive de E. On dira que le “spectre de
l’hamiltonient libre” est continu.
Il est important de remarquer que, de la d´efinition de l’op´erateur impulsion
ˆpφ(x) = −i!∂φ(x)
∂x,
il r´esulte que
ˆpφ1(x) = +!kφ1(x) et ˆpφ2(x) = −!kφ2(x).(4.15)
L’amplitude de probabilit´e pour une particule libre est donn´ee par
Ψ1(x, t) = Aeikxe−iEt/!(4.16)
ou
Ψ2(x, t) = Be−ikxe−iEt/!(4.17)
dans les deux cas nous avons des ´etats propres de l’impulsion. Les valeurs propres de
l’impulsion sont respectivement ±!k.
Il est commode de poser p=!ket les ´equations (4.16) et (4.17) s’´ecrivent alors
Ψ1(x, t) = Aei(px−Et)/!(4.18)
Ψ2(x, t) = Be−i(px+Et)/!(4.19)
et il s’agit bien entendu d’ondes planes !!
La densit´e et le courant de probabilit´e se calculent ais´ement pour les ´etats Ψ1(x, t) et
Ψ2(x, t)
P1(x, t) = |Ψ1(x, t)|2=|A|2P2(x, t) = |Ψ2(x, t)|2=|B|2
J1(x, t) = p
m|A|2J2(x, t) = −p m|B|2
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Chapitre 4 — L’´ equation de Schr¨ odinger : solutions particuli` eres
Il en r´esulte que les amplitudes de probabilit´es Ψ1(x, t) et Ψ2(x, t) ne sont pas normalisables
sur tout l’axe r´eel, c’est-`a-dire
!+∞
−∞
P1(x, t)dx
diverge et il en va de mˆeme pour P2(x, t). Il y a diverses mani`eres de traiter ce probl`eme
de normalisation et nous y reviendrons dans les chapitres suivants. Une approche ´evidente
est de consid´erer une onde plane comme une “id´ealisation” et d’utiliser, comme dans tous les
probl`emes d’ondes, des “paquets d’onde” qui eux sont normalisables.
Dans ce chapitre nous allons continuer `a utiliser (4.18) et (4.19), mais dans le sens d’une
“mod´elisation d’un processus de diffusion” (`a une dimension). Dans cette optique, les ´etats
(4.18) et (4.19) restent des ´etats propres de l’impulsion, de valeurs propres ±p=±!k.
Mˆeme si ces ´etats ne sont pas “normalisables” nous les interpr´etons comme amplitudes de
probabilit´e correspondant `a un “faisceau de particules” et densit´e uniforme (|A|2particule,
par unit´e de longueur pour l’´equation (4.18)) et d’impulsion p(pour (4.18)) ou −p(pour
(4.19)). La situation physique que nous mod´elisons ainsi est celle d’un grand nombre de
particules mono-´energ´etiques produites par un acc´el´erateur et que nous envoyons sur une
“cible” qui sera repr´esent´ee par un “potentiel”.
III Le “saut” de potentiel
Comme premier exemple nous consid´erons la diffusion par un “saut de potentiel” (encore
appel´e “potentiel en escalier”) d’un faisceau de particules d’´energie E(voir figure ci-dessous) :
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III Le “saut” de potentiel
Nous commen¸cons par consid´erer le cas E > V1. Et pour pr´eciser univoquement les
conditions du probl`eme, nous consid´erons le cas o`u “il n’y a pas de particules qui viennent
de la droite”. Nous prenons x= 0 comme la position de la marche d’escalier et V1comme
hauteur de la marche. Nous r´esolvons l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps
&ˆp2
2m+V'φ(x) = Eφ(x).
Dans la r´egion I (x < 0), l’´equation `a r´esoudre est
d2φI(x)
dx2=−k2φI(x) (4.20)
avec
k2=2mE
!(4.21)
tandis que dans la r´egion II (x > 0) nous avons
d2φII (x)
dx2=−k2
1φII (x) (4.22)
avec, maintenant
k2
1=2m(E−V1)
!2.(4.23)
En x= 0, nous imposons la continuit´e de φ(x) et de sa d´eriv´ee premi`ere dφ
dx , `a savoir
ΦI(0) = ΦII (0) (4.24)
dΦI
dx |x=0=dΦII dx |x=0 .(4.25)
Remarquons que ces conditions math´ematiques sont indispensables si nous voulons donner
un sens `a la densit´e et au courant de probabilit´e d´efinis dans le §1.
Dans la r´egion II, la solution g´en´erale de l’´equation (4.22) est donn´ee par
φII =Ceik1x+De−ik1x(4.26)
mais la condition physique “il n’y a pas de particules qui viennent de la droite” impose
D= 0 (4.27)
Dans la r´egion I la solution g´en´erale de l’´equation (4.20) est ´evidemment
φI(x) = A0eikx +B e−ikx.(4.28)
Les conditions de continuit´e (4.24) et (4.25) donnent
A0+B=C
ik(A0−B) = ik1C
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