A#4 Complexes

A#4
Complexes
Exercice (12 - 15 minutes)
 
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ) , on considère l’application f qui, à tout point M d’affixe
z associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = u²z + u – 1. (où u désigne un nombre complexe).
1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une translation. Donner alors ses éléments
caractéristiques.
2. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une rotation d’angle

. Exprimer z’ en
2
fonction de z. Donner alors ses éléments caractéristiques.
Correction
Complexes
 
Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal (O; u ; v ) , on considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z
associe le point M’ d’affixe z’ tel que : z’ = u²z + u – 1. (où u désigne un nombre complexe).
1. Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une translation. Donner alors ses éléments
caractéristiques.
z’ = u²z + u – 1
1 - Pour que ce soit l'expression complexe d'une translation, il faut que le coefficient de z soit égal à 1.
C'est-à-dire u² = 1 ou encore u = 1 ou u = – 1.
Si u = 1, l'expression devient z' = z + 1– 1 = z et f est l'identité, c'est-à-dire la transformation qui transforme M en luimême.

Si u = – 1, l'expression devient z' = z – 1 – 1 = z – 2, c'est la translation de vecteur –2 u
2.
Déterminer l’ensemble des nombres complexes u pour lesquels f est une rotation d’angle

. Exprimer z’ en
2
fonction de z. Donner alors ses éléments caractéristiques.
2 – Pour que f soit une rotation d'angle
i

i

, il faut que le coefficient de z soit égal à e 2 .
2

i

i

i
i

i
5
4
Soit à résoudre l'équation : u ²  e  u  e ou u  e  e e  e
i
Attention, sous forme exponentielle, un nombre complexe s'écrit sous la forme re avec r positif, donc il faut
i

transformer e 4 en e
i
5
4
2
4
4
4
!
i
Pour éviter cette difficulté on pose u  e , et on résout l'équation
i

i

u ²  e 2  e2i  e 2  2 
5

4

2
 2k    

4
 k ce qui donne, sur le cercle trigonométrique,  

ou
4
Pour déterminer son centre (Hors barème):

Cas n°1 : u  e
i

4
Didier Aribaud

2
2
i
2
2

i
2
2
2
2
z' e 2z 
i
 1  iz 
i
1
2
2
2
2
On a u  e
i
4

on doit résoudre l'équation
2
2
2
2
i
 1   (1  i ) 
i
1
2
2
2
2
 2
2 
  (1  i )(1  i )  
i
 1 (1  i )
2
2


  i 
2
i
2
1
   i
2
 2 

2
2
2
i

 1  i  i 2  1  i  1  i ( 2  1)
2
2
2
2 1
2
Cas n°2 : u  e
5
4
i
5
4
2
2
i
2
2

i
2
2
2
2
z' e 2z 
i
 1  iz 
i
1
2
2
2
2
On a u  e
i

on doit résoudre l'équation
2
2
2
2
i
 1   (1  i )  
i
1
2
2
2
2

2
2 
  (1  i )(1  i )   
i
 1 (1  i )
2
 2

  i 
2
2
2
2
i
i

 1  i  i 2  1  i  1  i( 2  1)
2
2
2
2
1
2 1
    i
2
2
 2  
Didier Aribaud