Cinématique des fluides

TPC2
TD Mécanique des fluides
Cinématique des fluides
Exercice no 1 : Source placée dans un écoulement incident uniforme
Un fluide incompressible est en écoulement uniforme de vitesse ~v0 = v0~uz . En O, on place une source
"ponctuelle" qui libère de ce même fluide de façon isotrope et permanente avec un débit volumique Dv .
1 – Déterminer le champ de vitesse ~v1 lié à la source seule et le champ ~v résultant de la superposition
des deux écoulements.
2 – Vérifier que l’écoulement est irrotationnel et déterminer le potentiel des vitesses ϕ.
Exercice no 2 : Écoulements non stationnaires
A - On considère l’écoulement bidimensionnel dont le champ des vitesses est ~v = (v1 + αt)~ux + v2~uy .
1 – Déterminer les lignes de courant à t = t0 .
2 – Déterminer la trajectoire de la particule de fluide se trouvant à t = t0 en (x0 , y0 ).
B - La vitesse en tout point d’un écoulement est décrite par ~v = v0 cos(kx − ωt)~ux avec k et ω constantes.
1 – Quel phénomène peut être représenté par une telle expression ?
2 – Peut-il être observé dans un fluide incompressible ?
3 – Déterminer le champ d’accélération de l’écoulement. À quelle condition sur v0 , k et ω peut-on négliger
le terme d’origine convective ?
Exercice no 3 : Champ de vitesse dans un fluide incompressible
Une sphère poreuse est plongée dans un récipient de très grandes dimensions et est alimentée en eau par
une canalisation de débit volumique D constant.
Le centre de cette sphère est confondu avec l’origine O d’un système de coordonnées et on suppose que le
champ de vitesse ainsi créé dans le fluide remplissant le récipient est de la forme : ~v (~r, t) = v(r, t)~ur , avec
−−→
~r = OM , r = ||~r|| et ~ur = ~r/r.
1 – Déterminer ce champ de vitesse. Pourquoi peut-on dire qu’il est stationnaire ?
D~v
2 – Montrer que ~v dérive d’un potentiel ds vitesses φ. Expliciter φ et calculer
.
Dt
1
Exercice no 4 : Mascaret
À marée montante, on observe parfois dans les estuaires un petit ressaut
appelé mascaret, qui peut remonter le cours d’eau si ce dernier a peu de
courant. On modélise le phénomène par un front de hauteur h avançant à la
vitesse constante c vers un domaine où l’eau est au repos (par rapport à la
terre).
L’eau atteinte par le mascaret le suit à la vitesse u. L’eau est incompressible.
Existe-t-il un référentiel dans lequel l’écoulement est stationnaire ? Exprimer la hauteur h du mascaret en
fonction de H, c et u.
Exercice no 5 : Source linéique devant un mur
Une source linéique, rectiligne et parallèle à (Oz), libère un fluide incompressible avec un débit volumique dv par unité de longueur, constant. Le fluide est émis de façon isotrope dans toutes les directions
perpendiculaire à l’axe de la source. La source a pour équation x = a, y = 0.
1 – Trouver le champ de vitesse ~v dû à la source et son potentiel ϕ.
2 – Le plan (yOz) devient imperméable à l’écoulement (on le remplace par un "mur"). Pour étudier les
modifications apportées à l’écoulement, on raisonne en utilisant une source fictive, "image hydrodynamique" de la première, symétrique à elle par rapport au mur : en x = −a, y = 0, parallèle à (Oz)
et de même débit linéique dv .
a – En présence des deux sources, et sans mur, quel serait le potentiel total ϕ0 (x, y) ?
b – En déduire la vitesse ~v 0 et en particulier son expression en un point du plan (yOz).
c – Expliquer comment l’utilisation de l’image permet d’étudier l’écoulement réel, à savoir une
source devant un mur.
Exercice no 6 : Écoulement autour d’un cylindre
Un fluide incompressible est en écoulement uniforme et stationnaire de vitesse ~v0 = v0 ~ux (avec v0 > 0).
On place un cylindre solide de rayon R et d’axe (Oz) au milieu de l’écoulement ; le fluide garde, loin du
cylindre, la vitesse précédente. Dans la suite on repère un point M par ses coordonnées cylindriques d’axe
(Oz) (r, θ, z) avec θ = (Ox, OM ). On admet que l’écoulement autour du cylindre peut être décrit par un
potentiel des vitesses ϕ1 de forme (ar + b/r) cos θ.
1 – Déterminer le champ de vitesse ~v1 de l’écoulement. Quelles sont les conditions aux limites pour ~v1 ?
En déduire les expressions de a et b.
2 – En quels points la vitesse est-elle nulle (= "point d’arrêt") ?
3 – Que dire de la vitesse en deux points symétriques par rapport à (Ox) ?
4 – Le cylindre est maintenant mis en rotation autour de son axe, à la vitesse angulaire Ω > 0 ; il entraîne
alors le fluide à son contact ce qui revient à ajouter le potentiel ϕ2 = kθ à ϕ.
a – Déterminer la vitesse ~v2 associée à ϕ2 seul : à quel écoulement correspond-t-elle ? Dans la
situation où l’écoulement est uniquement composé de ~v2 , le fluide au contact du cylindre (en
r = R) possède la même vitesse angulaire que le cylindre. En déduire l’expression de la constante
k.
b – Déterminer le champ de vitesse ~v dans l’écoulement total (décrit par ϕ1 + ϕ2 ).
c – Rechercher les nouveaux points d’arrêt en distinguant les deux cas γ > 1 et γ ≤ 1 avec
k
.
γ=
2Rv0
2
Exercice no 7 : Superposition d’écoulements stationnaires
Un écoulement principal d’eau, assimilée à un fluide incompressible, est uniforme de vitesse v~1 = −v0~ux ,
il occupe tout l’espace étudié. On ajoute sur l’axe (Oz) une source linéique de courant, modèle que l’on
peut représenter par un petit tuyau très long, confondu avec (Oz), percé de trous régulièrement répartis
sur toute sa surface et très proches les uns des autres : il émet dans toutes les directions perpendiculaires
à (Oz), de façon isotrope et permanente, de l’eau additionnée de colorant (cette eau entre dans le tuyau
par une extrémité du tuyau, "au loin"). On note D le débit volumique d’eau colorée sortant par unité de
longueur de la source. On étudie la répartition des lignes de courant dans le plan z = 0. Pour repérer un
−−→
point M , on utilisera de préférence ses coordonnées polaires : r et θ = (~uz , OM ).
1 – Établir l’expression du champ de vitesse ~v2 produit par le tuyau seul dans l’espace. Dans la suite on
considère l’écoulement complet.
2 – Donner le champ de vitesse total et établir l’existence d’un point d’arrêt A, c’est-à-dire un point où
la vitesse est nulle. Sa distance à O sera notée a.
3 – Quelle est l’allure de la carte de champ au voisinage de O et loin de O ?
~v
4 – Expliciter V~ =
dans la base polaire.
v0
5 – Montrer que l’équation des lignes de courant peut s’écrire y = aθ + cte. Tracer l’allure de quelques
lignes de courant en mettant en évidence deux classes de lignes, séparées par une ligne de courant
"critique".
Exercice no 8 : Écoulement dans une conduite cylindrique
Un fluide s’écoule à la vitesse ~v uniforme dans une conduite cylindrique, provenant de la confluence d’écoulements de vitesses ~v1 et ~v2 circulant dans chaque demi-cylindre. On suppose l’écoulement incompressible.
1 – Déterminer v en fonction de v1 et v2 .
2
−( 4r2 )
r
0
2 – Du fait de la viscosité du fluide, le profil des vitesses en aval devient en fait gaussien : ~v = v0 e
~uz ,
r étant la distance à l’axe de la conduite et r0 le rayon de cette conduite. Calculer le débit volumique
de l’écoulement en fonction de v0 et r0 et en déduire sa vitesse moyenne (proposer une définition).
Exercice no 9 : Écoulement bidimensionnel
On considère un écoulement stationnaire incompressible d’un fluide non visqueux de vitesse de la forme
~v = vx (x, y) ~ux + vy (x, y) ~uy .
1 – Montrer que ~v dérive d’un potentiel vecteur que l’on peut chercher sous la forme A(x, y) ~vz tel que
−→ ~
~
~v = rotA.
Calculer div A.
Dans la suite on considère l’écoulement irrotationnel, sauf éventuellement sur (Oz).
2 – a – Établir que A(x, y) satisfait à l’équation de Laplace (∆A = 0).
−−→
∂A
∂ϕ ∂A
∂ϕ
b – Montrer que le potentiel des vitesses ϕ (~v = gradϕ) vérifie les relations
=
et
=− .
∂y
∂x
∂x
∂y
c – Montrer que les courbes A(x, y) = cte s’identifient aux lignes de courant.
d – Montrer que le débit volumique linéique dans la direction (Oz) à travers la surface de hauteur
dz et limitée par deux lignes de courant A = A0 et A = A” est donnée par dv = A0 − A”. Quelle
est la correspondance magnétostatique de cette propriété ?
3
~ 1 = A1 (r) ~uz . Déter3 – a – Montrer qu’il existe pour r 6= 0 (coordonnées cylindriques) une solution A
miner A1 et le champ ~v1 correspondant. Quelles sont les lignes de courant ?
~ 1 et ~v1 en fonction
b – Soit C1 la circulation de ~v1 sur une courbe fermée entourant (Oz). Exprimer A
de r et C1 . Calculer le potentiel ϕ1 .
c – dv entre deux lignes de courant correspondant à r = r1 et r = r2 .
4 – Un fil cylindrique d’axe (Oz) et de rayon a est immergé dans le fluide dont la vitesse "au loin" est
~v0 = v0 ~ux uniforme.
a – Préciser la condition que doit vérifier ~v à la surface du fil (on rappelle que le fluide est non
visqueux).
b – Déterminer, en coordonnées cylindriques, la forme asymptotique de A(r, θ) loin du fil.
c – Vérifier que A2 = α(r + β/r) sinθ convient et déterminer α et β en fonction de v0 et a. En
déduire, pour r ≥ a, le champ de vitesse ~v2 et ϕ2 . Vérifier que ~v2 est à circulation conservative.
5 – a – Montrer que pour r ≥ a la somme A1 + A2 correspond à un autre champ possible. Quelle est la
circulation C du champ de vitesse sur une courbe entourant le fil ? Déterminer ϕ.
C
(C > 0 et v0 > 0). En distinguant les cas γ ≤ 1 et γ > 1 déterminer les
b – On pose γ =
4πav0
points de vitesse nulle (points d’arrêt).
c – Tracer quelques lignes de courant pour chaque cas.
4