Chapitre 4.8 –L`énergie, le travail et la puissance en rotation

Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume A Page 1
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
Chapitre 4.8 –L’énergie, le travail et la puissance en
rotation
Une roue qui roule sans glisser
Une roue qui roule sans glisser sur une surface de contact
permet à celle-ci d’effectuer une translation et une rotation.
On peut évaluer l’énergie cinétique de la roue de deux
façons différentes selon la façon que l’on interprète la
rotation de la roue :
Moto unicycle électrique
1) Rotation de la roue autour de son centre de masse et translation du centre de masse par
rapport au sol. Le centre de masse définit un axe de rotation mobile.
Énergie cinétique :
2
CM
2
CM
2
1
2
1
ImvK 
où 2
CMntranslatio
2
1mvK et 2
CMrotation
2
1
IK 
CM
v
CM *
Inertie de rotation ( CM I) et énergie cinétique de rotation rotation Kpar rapport au centre
de masse, car le corps tourne à une vitesse angulaire .
Inertie de translation (m) et énergie cinétique de translation ntranslatio K, car le centre de
masse est en mouvement à vitesse CM v .
2) Rotation de la roue autour du point de contact au sol. Ce point de contact définit un axe
de rotation fixe.
Énergie cinétique :
2
2
1
IK 
où I: Inertie par rapport à un axe fixe ( 2 mkg)
*
h
CM
L’inertie de rotation (I) est maximale et il y a énergie cinétique de rotation rotation K, car
le corps tourne à une vitesse angulaire .
Il n’y a pas d’énergie cinétique de translation, car le corps tourne autour d’un axe fixe
situé au point de contact au sol.
Il faut imaginer l’axe de rotation se déplacer au rythme du centre de masse de la roue
pour sans accorder à cette translation une énergie cinétique de translation.
P.S. Dans les deux cas, le corps tourne avec la même vitesse angulaire quelque soit la
position de l’axe de rotation (voir chapitre 4.1 pour la démonstration).

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Énergie cinétique d’un corps en rotation
L’énergie cinétique Kd’un corps en rotation peut être évaluée par rapport à un axe de
rotation fixe ou par rapport à un axe en mouvement passant par le centre de masse du
corps :
2
2
1
IK ou 2
CM
2
CM
2
1
2
1mvIK 
où
K
: Énergie cinétique du corps (J)
I
: Moment d’inertie du corps par rapport à un axe de rotation fixe ( 2 mkg)
CM
I: Moment d’inertie du corps par rapport à son centre de masse ( 2 mkg)
: Vitesse angulaire du corps (rad/s)
m
: Masse total du corps (kg)
CM
v: Vitesse de translation du centre de masse du corps (m/s)
En d’autres mots, on peut visualisé l’expression de l’énergie cinétique grâce au schéma ci-
dessous :
m
*
axe
centre
masse axe
rotation
fixe
CM
h
=
m
axe centre
masse
axe
rotation
fixe
CM h
*
m
*
CM
+
2
2
1
I2
CM
2
1mv 2
CM
2
1
I
CM
v
Preuve :
Considérons un corps de moment d’inertie Itournant sur lui-même par rapport à un axe fixe
quelconque à une vitesse angulaire . Utilisons le théorème des axes parallèles pour
mesurer l’énergie cinétique Kpar rapport à un axe de rotation passant par le centre de
masse CM situé à une distance hde l’axe précédent :
2
2
1
IK 
2
CM
2
2
1
ImhK  (Théorème axes parallèles : CM
2ImhI  )
2
CM
22
2
1
2
1
ImhK  (Distribution)
2
CM
2
2
1
2
1
IhmK  (Réécriture)
2
CM
2
CM
2
1
2
1
ImvK  ■(Vitesse centre de masse : hv 
CM )

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Situation 1 : L’énergie cinétique d’une tige qui tourne
autour de son extrémité.Une tige homogène de masse m
et de longueur Lest fixée à une de ses extrémités à une
charnière immobile (voir schéma ci-contre). Elle tourne
avec une vitesse angulaire constante ω. On désire
déterminer son énergie cinétique.
L
m
Évaluons l’énergie cinétique du corps à l’aide de l’expression suivante :
Énergie cinétique de rotation :
2
2
1
IK 
où 2
3
1mLI (voir table d’inertie)
L
m
Alors :
2
2
1
IK 
22
3
1
2
1
mLK (Remplacer
I
)
22
6
1
MLK (Calcul)
Évaluons l’énergie cinétique du corps à l’aide de l’expression suivante :
Énergie cinétique d’un corps :
2
CM
2
CM
2
1
2
1
ImvK 
où 2
CM
12
1mLI (voir table d’inertie)
L
L
rv 2
1
2
CM 
L
CM
*
CM
v
2/L
m
Alors :
2
CM
2
CM
2
1
2
1
ImvK 
2
22 2
1
2
1
12
1
2
1
LmmLK (Remplacer termes)
2222
8
1
24
1
mLmLK  (Calculs)
22
6
1
MLK (Calculs)

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Situation 2 : L’énergie cinétique d’un cylindre qui roule.À la situation 3 de la section 4.7,
on voulait connaître l’accélération angulaire d’un cylindre (R= 20 cm, m
= 12 kg,
ICM = 0,24 kg ∙m2) qui roule sans glisser vers le bas d’un plan incliné à 50opar rapport à
l’horizontale (schémas ci-dessous) : on a trouvé α= 25 rad/s2. On désire calculer l’énergie
cinétique acquise par le cylindre lorsqu’il roule à partir du repos sur une distance de 1,6 m
mesurée le long du plan incliné.
axe
Vue en
perspective
50
x
1,6 m
axe
Nous pouvons évaluer l’accélération de translation du centre de masse x agrâce à
l’accélération angulaire :
rax 252,0
x
a(Remplacer valeurs num.)
2
m/s5
x
a(Évaluer x
a)
Évaluons la vitesse de translation du centre de masse x vaprès avoir parcouru une distance
de 1,6 m à l’aide des équations du MUA :
0
2
0
22xxavv xxx 
06,1520 22 
x
v(Remplacer valeurs num.)
16
2
x
v(Calcul)
m/s4
x
v(Évaluer x
v)
Puisque le cylindre roule sans glisser, on peut évaluer la vitesse angulaire associée à une
vitesse de translation de 4 m/s : ( x vv 
CR )
rv 
CR
20,04 
rad/s20
Nous pouvons évaluer l’énergie cinétique du cylindre en rotation et translation :
2
CM
2
CM
2
1
2
1
ImvK 
22 2024,0
2
1
412
2
1K
J144K

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Nous pouvons également vérifier l’énergie cinétique du cylindre par conservation de
l’énergie :
Conditions initiales Conditions finales Schéma
m226,150sin6,1 
i
y
0
i
0
CM  i
v
m0
f
y
rad/s20
f
m/s4
CM  f
v
axe
50
y
(m)
1,6 m
0
1,226
On peut évaluer quelques termes d’énergies : ( kg12m,2 mkg24,0 I)
0
i
K
222
CM
2
CM 2024,0
2
1
412
2
1
2
1
2
1 fff ImvK
J144
f
K(résultat précédent)
226,18,912 igi mgyU
J144
gi
U
08,912 fgf mgyU
0
gf
U
et
0
f
W
Le point de contact change toujours et la force de frottement
statique f n’a pas le temps d’être appliquée sur un
déplacement
s
, car la roue roule sans glisser. Ainsi, le
frottement ne produit pas de travail extérieur ( 0
nc  WWf).
Le frottement statique ne fait que transformer l’énergie
cinétique de translation en énergie cinétique de rotation.
axe
Mg
n
f
Vérification qu’il y a bel et bien conservation de l’énergie :
nc
WEE if 
figifgf WKUKU 
001441440 
J144J144 ■