Intégration - Académie en ligne

Séquence 6
Intégration
Objectifs de la séquence
Introduire
Après
une nouvelle notion : l’intégrale d’une fonction sur un intervalle a ; b  .
une première approche géométrique, l’introduction de la notion de primitive
permet d’élargir la définition et les possibilités de calcul.
Quelques
exemples d’applications en Économie sont ensuite donnés.
Sommaire
1. Pré-requis
2. Aire et intégrale d’une fonction continue et positive
sur un intervalle
3. Primitives
4. Primitives et intégrale d’une fonction continue sur un intervalle
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse
Séquence 6 – MA01
1
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1 Pré-requis
A
Aires
1. Aires usuelles
On considère des figures dans un plan où une unité de longueur a été choisie.
On sait calculer les aires déterminées par différentes figures géométriques :
base × hauteur
;
2
Aire
d’un triangle :
Aire
d’un rectangle : longueur × largeur ;
Aire
d’un trapèze :
Aire
d’un disque : π × rayon2.
(petite base + grande base ) × hauteur
2
;
2. Propriétés des aires
Additivité
Pour calculer l’aire de figures moins simples que les précédentes, on peut décomposer celles-ci en un certain nombre de figures dont on sait calculer l’aire. Par
exemple, pour calculer l’aire d’un polygone, on peut le décomposer en un certain
nombre de triangles. La somme des aires des triangles donne alors le résultat
souhaité. La propriété utilisée s’appelle l’additivité de l’aire, elle est énoncée dans
la propriété suivante.
Vocabulaire :
On a l’habitude d’appeler « domaines » les ensembles de points du plan dont on
calcule les aires.
Séquence 6 – MA01
3
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Propriété
Si 1 et 2 sont deux domaines du plan
B
A
dont l’intersection a une aire nulle alors
l’aire de 1 ∪ 2 est égale à la somme
1
2
des aires de 1 et 2 :
)
(
( )
( )
Aire 1 ∪ 2 = Aire 1 + Aire 2 .
C
D
Dans la figure ci-contre :
)
(
(
)
( )
Aire ABCD = Aire ABD + Aire BCD .
Inclusion
1
Soit 1 et 2 deux domaines du plan tels
2
que 2 ⊂ 1 alors aire ( 2 ) ≤ aire ( 1) .
Translation, symétrie
Propriété
Invariance par translation
Soit une translation t et deux domaines du plan 1
v
2
et 2 tels que 2 soit l’image de 1 par la translation t (c’est-à-dire que tous les points du domaine
v
2 sont obtenus par translation de tous les points du
domaine 1 ). Alors les domaines 1 et 2 ont la
même aire :
( )
( )
aire 1 = aire 2 .
4
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Séquence 6 – MA01
v
1
Propriété
Invariance par symétrie
Soit s une symétrie axiale d’axe et deux
1
domaines du plan 1 et 2 tels que 2 soit
l’image de 1 par la symétrie s (c’est-à-dire
que tous les points du domaine 2 sont obtenus par symétrie de tous les points du domaine
1 ). Alors les domaines 1 et 2 ont la même
( )
2
( )
aire : aire 1 = aire 2 .
3. Domaines, aires et mesures
On confond parfois un domaine (une surface) avec une aire, ou une aire avec une
de ses mesures.
On précise ici par un exemple la différence entre ces notions.
Un domaine est un ensemble de points du plan.
Des domaines qui sont des ensembles de points différents, sont des domaines différents, mais ces domaines peuvent avoir la même aire comme les trois domaines
ci-dessous qui ont chacun une aire égale à 12 carreaux.
Mesurer une aire, c’est lui associer un nombre en utilisant une aire de référence,
l’unité.
Prenons l’exemple d’une aire de 1m2. On peut écrire l’égalité
= 1 m2 = 10000 cm2 mais bien sûr les nombres 1 et 10000 ne sont pas égaux.
Le nombre 1 est la mesure de l’aire en m2 et 10000 est la mesure de la même
aire avec une autre unité, le cm2 .
Séquence 6 – MA01
5
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Dans cette séquence, les intégrales sont des nombres et ces nombres sont utilisés
pour mesurer des aires, l’unité étant souvent appelée « unité d’aire » ce que l’on
note u.a.
Il faut faire attention aux unités. Si l’unité d’aire est donnée par un repère où
l’unité est 2 cm sur chaque axe, on aura 1 u.a. = 4 cm2.
Il arrive que, quelquefois, on confonde une aire avec une de ses mesures.
B
Dérivation
Comme on le verra, les deux notions de dérivation et d’intégration sont très liées,
on rappelle donc ici les formules essentielles qui doivent être connues.
1. Fonctions usuelles
f dérivable sur l’intervalle I
Expression de f ( x )
Expression de f '( x )
f ( x ) = k , k constante réelle
I =
f '( x ) = 0
f (x ) = x
I =
f '( x ) = 1
I = + * =  0 ; + ∞  ou
1
f (x ) =
x
−
I = * = ]−∞ ; 0[
f (x ) = x
f ( x ) = x n , n ∈ ∗
f (x ) =
1
x
n
= x − n , n ∈ ∗
1
I =
f '( x ) = nx n −1
I = + * =  0 ; + ∞  ou
I = − * =  −∞ ; 0 
f ( x ) = ln x
I = + * =  0 ; + ∞ 
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x2
f '( x ) =
I =
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1
I = + * =  0 ; + ∞ 
f ( x ) = ex
6
f '( x ) = −
2 x
f '( x ) = −
n
x
n +1
= −nx −n −1
f '( x ) = f ( x ) = e x
1
f '( x ) =
x
2. Opérations algébriques
Dans le tableau ci-dessous, les fonctions u et v sont définies et dérivables sur le
même intervalle I, k est un nombre réel, dans les deux derniers cas la fonction v
ne s’annule pas. Ainsi la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.
Fonction f Fonction dérivée f '
f = u +v
f ' = u '+ v '
f = uv
f ' = u 'v + uv '
f = ku
f ' = ku '
f=
1
v
f'=
f=
u
v
f'=
−v '
v2
u 'v − uv '
v2
3. Autres opérations avec une fonction u
Dans le tableau suivant, u est dérivable sur un intervalle I et vérifie éventuellement
certaines conditions. Alors la fonction f est dérivable sur le même intervalle I.
Fonction f
Fonction dérivée f '
u2
2u 'u
1
u
−
eu
u 'eu
u'
u2
Remarques éventuelles
u ne s’annule pas sur I
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7
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2
A
Aire et intégrale d’une fonction continue
et positive sur un intervalle
Objectifs du chapitre
Dans ce chapitre, on définit l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un
intervalle en utilisant les aires et on en étudie les propriétés.
B
Activité 1
Pour débuter
Avec les vitesses et les distances
Un objet se déplace pendant 10 secondes à la vitesse de 3 m.s –1. Quelle
distance a-t-il parcourue ?
Un objet se déplace pendant 10 secondes. On peut seulement enregistrer
les valeurs successives de sa vitesse v (t ) à l’instant t. On obtient les valeurs
suivantes et on demande de donner une valeur approchée de la distance
parcourue notée d.
t
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
4 4,5 5 5,5 6
7
8
9
v (t ) 9 7,6 6,1 4,6 3,7 2,7 2,3 1,8 1,4 1,1 0,7 0,5 0,4 0,2 0,2 0,1
Un objet se déplace pendant
v(t)
en m.s–1
10 secondes. On peut seulement enregistrer, sur une
représentation graphique, sa
vitesse v (t ) à l’instant t.
1
1
8
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Séquence 6 – MA01
5
10
t
en secondes
Dans les questions précédentes,
des produits d’une vitesse par
une durée sont apparus. On
interprète ces produits comme
des aires de rectangles. En
utilisant cette interprétation,
donner une valeur approchée
de la distance D parcourue par
l’objet.
Activité 2
Aire sous la parabole
Dans un repère orthonormé, soit la parabole représentant la fonction f définie
sur 0 ; 1 par f ( x ) = x 2. La courbe est représentée sur les trois figures cidessous.
)
On s’intéresse à l’aire ( du domaine délimité par l’axe des abscisses, la
parabole et la droite d’équation x = 1. Ce domaine est colorié sur la figure
du milieu et son aire est appelée « aire sous la courbe ».
B5
1 C
1
B5
C
1
B5
C
B4
y = x2
B4
B3
B3
B2
B2
B1
O
B1
A1
A2
A3
A4
A5
1
5
2
5
3
5
4
5
1
1
O
1
O
A1
A2
A3
A4
1
5
2
5
3
5
4
5
A5
1
2
()
)
On cherche à encadrer cette aire ( . Pour cela on divise l’intervalle 0 ; 1
1
en cinq intervalles de même amplitude = 0, 2.
5
1
Sur la figure de gauche, on a construit cinq rectangles dont la base mesure et
5
dont les hauteurs sont données par les ordonnées des points O, B1, B2 , B3 , et B4 .
On ne voit que quatre rectangles car le premier, ayant une hauteur nulle, est
confondu avec le segment OA1 .
On appelle 1 l’aire totale de ces cinq rectangles.
Déterminer 1, l’unité d’aire (notée u.a.) étant l’aire du rectangle du repère,
c’est-à-dire le rectangle OA 5B5C.
Sur la figure de droite, on a construit cinq rectangles dont la base est 0,2 et
dont les hauteurs sont données par les ordonnées des points B1, B2 , B3 , B4 et B5 .
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9
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On appelle 2 l’aire totale de ces cinq rectangles.
Déterminer 2 , l’aire totale de ces cinq rectangles (en unités d’aire).
( )
À l’aide de et de conjecturer 2 bornes entre lesquelles l’aire vous
semble être comprise.
C
Cours
1. Définition
On se propose de généraliser la
notion d’aire à des domaines du
plan liés à des fonctions.
y
Le plan est muni d’un repère
f
1
J
K
1 ua
a
0
orthogonal (O,I,J) ; l’unité d’aire qui
sera utilisée pour mesurer les aires
x
I
1
b
est l’aire du rectangle OIKJ tel que
I(1 ; 0), J(0 ; 1) et K(1; 1).
On dit qu’une fonction f est positive sur un intervalle si, pour tout x de l’intervalle,
f ( x ) est positif : f ( x ) ≥ 0.
Définition 1
Soit f une fonction définie sur l’intervalle a ; b  , continue et positive sur
a ; b  .
On appelle le domaine du plan limité par la courbe f représentant f,
l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
On appelle intégrale de la fonction f sur a ; b  la mesure de l’aire du
domaine en unités d’aire.
Ce nombre est noté
10
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b
∫a f ( x ) dx .
Remarque
L’aire du domaine s’appelle aussi « aire sous la courbe ».
b
On a donc : aire() = ∫ f ( x ) dx u.a.
a
Et si sur chaque axe l’unité de longueur est égale à 5 cm on aura :
 b

aire() =  ∫ f ( x ) dx × 25 cm2.
a


Exemple 1
b
b3 − a3
L’intégrale de la fonction carré sur a ; b  est telle que ∫ x 2 dx =
a
3
comme on l’a vu dans le corrigé de l’activité 2. Ainsi, par exemple,
2 2
23 − 13 7
x dx =
= .
1
3
3
∫
Remarque
domaine peut aussi être défini par un système d’inégalités :
a ≤ x ≤ b
M( x ; y ∈ ⇔
.
0 ≤ y ≤ f ( x )
Le
)
Le nombre
b
∫a f ( x ) dx
se lit « intégrale de a à b de f (x) dx » ou « somme
de a à b de f (x) dx ».
Les
réels a et b sont appelés les bornes de l’intégrale.
On dit que x est une variable muette. En effet, la définition de «
l’intégrale
de a à b de la fonction f » ne fait pas intervenir la variable et on pourrait
s’en passer, mais il faudrait alors donner un nom à chacune des fonctions
utilisées ce qui serait bien compliqué. On préfère donc donner les
fonctions par leurs expressions, on donne un nom à la variable mais ce
nom n’a aucune importance (seuls a et b qui désignent les bornes ne
peuvent pas être utilisés). Ainsi
b 2
∫a x
b
b
a
a
d x = ∫ t 2 dt = ∫ y 2 d y .
notation « dx » a pour origine la largeur des rectangles qui ont
été utilisés dans les premiers calculs d’approximation, cette largeur
multiplie les valeurs prises par la fonction (comme on le voit avec 0,2
dans l’activité 2). Cette notation est indispensable quand plusieurs
lettres sont utilisées pour définir l’expression de la fonction (par exemple
ke− x ) , « dx » indique alors nettement quelle est la variable… mais cela
n’apparaîtra pas dans cette séquence.
La
Séquence 6 – MA01
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Exemple 2
Calculer les intégrales :
−1
∫−2 3 dt
I=
K=
b
et J = ∫ 3 dt , a et b étant des nombres réels tels que a ≤ b ;
a
−2
∫−4 (0,5t + 2)dt
et L =
b
∫a (0,5t + 2)dt , a et b étant des nombres réels
tels que a ≤ b ;
Reconnaître sur la calculatrice la courbe représentative de la fonction f définie
par f ( x ) = 1− x 2 sur [−1;1] ; en déduire la valeur de M = ∫
Solution
1
−1
1− x 2 d x .
Remarque
3
Dans chaque cas, l’aire est mesurée avec
l’unité d’aire donnée par le repère qui peut être
1
orthonormal ou orthogonal.
-2
-1
a0
b
1
La fonction que l’on intègre est une fonction constante, on mesure donc des aires
de
rectangles
et
on
I= ∫
obtient :
b
J = ∫ 3 dt = 3(b − a ).
−1
−2
3 dt = 3 × ( −1− ( −2)) = 3
a
F
0,5b+2
G
0,5a+2
C
1
A
D
-4
-2
B
0
1
L’intégrale K est la mesure de l’aire du triangle ABC :
K=∫
12
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−2
−4
(0, 5t + 2) dt =
( −2 − ( −4 )) × 1
= 1 ; ;
2
E
a
b
et
L’intégrale L est la mesure de l’aire du trapèze DEFG :
b
L = ∫ (0, 5t + 2) dt =
a
(0, 5b + 2) + (0, 5a + 2)
(0, 5b + 0, 5a + 4 )(b − a )
× (b − a ) =
.
2
2
1
La
courbe
semble
être
un
demi-cercle
de
centre O et de rayon 1 (c’est bien le cas).
D’où M = ∫
0
-1
1
−1
1
π
1− x 2 d x = × π × 12 = .
2
2
1
Remarque
Dans le cas particulier où la fonction f est une fonction
constante qui prend la valeur λ (cette lettre grecque se
prononce « lambda ») sur tout l’intervalle a ; b  , on a
b
b
∫a f ( x ) dx = ∫a λ dx = λ(b − a ) car le domaine est
un rectangle dont les côtés mesurent b − a et λ.
h
1
a
0
1
b
2. Propriétés
Les aires permettent d’obtenir les propriétés qui suivent.
Propriété 1
Soit f une fonction définie sur l’intervalle a ; b  , continue et positive sur
a ; b  .
Pour tout réel c de l’intervalle a ; b  ,
Démonstration
c
∫c f ( x ) dx = 0.
Le domaine est réduit à un segment donc son aire est de mesure nulle.
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Positivité
Propriété 2
Soit f une fonction définie sur l’intervalle a ; b  , continue et positive sur
b
a ; b  . Alors 0 ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
Démonstration
Propriété 3
La mesure d’une aire est un
nombre réel positif.
Commentaire : cette propriété est
appelée « positivité » de l’intégrale, et
il suffit de rappeler ce mot quand on
utilise cette propriété.
Comparaison
Soit f et g deux fonctions définies
sur l’intervalle a ; b  , continues
a ; b  ,
et positives sur
g
y
telles
que f ≤ g , c’est-à-dire telles que
f
f ( x ) ≤ g ( x ) pour tout x de a ; b  .
b
b
a
a
1
Alors ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx .
Démonstration
x
0
1
a
b
a ≤ x ≤ b
Le domaine f défini par M ( x ; y ) ∈ f ⇔ 
est inclus dans le
0 ≤ y ≤ f ( x )
a ≤ x ≤ b
. D’où l’inégalité des
domaine g défini par M ( x ; y ) ∈ g ⇔ 
0 ≤ y ≤ g ( x )
( )
b
b
aires : aire ( f ) ≤ aire g et de leurs mesures : ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx .
a
a
y=x
Exemple 3
La comparaison des positions des
courbes des fonctions carré, x x et
racine sur [ 0 ; 1] permet de trouver :
1
∫0
1
x dx ≤ ∫ x
0
y = x2
1
y= x
1
dx ≤ x 2 dx
0
∫
0
14
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1
Propriété 4
Relation de Chasles
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [a ; b ] , continue et positive sur
[ a ; b ].
Soit c un nombre de l’intervalle [a ; b ] ,
alors
c
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx .
y
f (b)
f (c)
f (a)
c
b
兰c f(t)dt
兰a f(t)dt
x
a
Démonstration
c
b
L’aire coloriée est la somme des deux aires dont elle est la réunion.
Commentaire : vous avez très probablement remarqué l’analogie avec la
relation vectorielle AC + CB = AB, et vous retiendrez facilement que cette
égalité entre des intégrales est appelée « relation de Chasles ».
Définition 2
La valeur moyenne d’une fonction f définie sur l’intervalle [a ; b ] avec a ≠ b ,
continue et positive sur [a ; b ] , est égale au nombre
1 b
f (t ) dt .
b − a ∫a
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Commentaire :
Notons µ cette valeur moyenne. On a donc
b
1 b
µ=
f (t ) dt et µ(b − a ) = ∫ f (t ) dt .
∫
a
b −a a
Le produit µ(b − a ) peut être interprété comme la
mesure de l’aire d’un rectangle ABCD (il est indiqué
f
µ
D
C
sur la figure). Ce rectangle ABCD a donc la même aire
que le domaine .
La valeur moyenne µ de la fonction f sur l’intervalle
a ; b  est égale à la hauteur AD du rectangle qui a la
même base et la même aire que le domaine .
Propriété 5
1
A
a
B
0
1
b
Inégalités de la moyenne
Soit une fonction f définie sur l’intervalle a ; b  avec a ≠ b , continue
et positive sur a ; b  , et deux nombres m et M tels que, pour tout x de
l’intervalle a ; b  , on a m ≤ f ( x ) ≤ M . Alors m ≤ µ ≤ M , µ étant la
valeur moyenne de la fonction f sur a ; b  .
Démonstration
On applique la propriété 3 à la
fonction constante m, à la fonction f
et à la fonction constante M. D’où :
b
b
b
∫a m dt ≤ ∫a f (t ) dt ≤ ∫a M dt ,
M
F
µ
D
E
f
C
soit
b
m(b − a ) ≤ ∫ f (t ) dt ≤ M (b − a ).
H
a
Et, en divisant par
est
b −a
qui
strictement positif, on a :
1 b
m≤
f (t ) dt ≤ M ,
soit
b − a ∫a
m ≤ µ ≤ M.
A
a
m
G
1
B
0
1
b
Commentaire : On peut retenir visuellement ces résultats assez facilement car les inégalités
b
m(b − a ) ≤ ∫ f (t ) dt ≤ M (b − a ) sont la traduction de aire(ABGH) ≤ aire(ABCD) ≤ aire(ABEF).
a
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Exemple 4
La valeur moyenne de la fonction carré sur l’intervalle I = [1; 3] est égale à
1 3 2
1  33 − 13  13
µ=
t
d
t
=

 = ≈ 4 , 33. Les aires hachurées sont égales.
3 − 1 ∫1
2 3  3
µ = 4,33
1
0
1
1
0
1
3. Intégration et dérivation
Exemple 5
On rappelle que, dans l’activité 2, on a admis que
3
3
b 2
b3 a3
t dt =
−
pour
a
3
3
∫
x
a
−
pour x ≥ a. On obtient alors
a
3
3
que la fonction F est dérivable si x ≥ a , et que F '( x ) = x 2 = f ( x ).
x
b ≥ a , et donc aussi F ( x ) = ∫ t 2dt =
Le théorème qui suit est fondamental. Il permet de relier l’intégration et la
dérivation, facilitant le calcul de beaucoup d’intégrales. Ce théorème est admis.
Théorème 1
Soit f une fonction continue et positive sur a ; b  , la fonction définie sur
x
a ; b  par x ∫ f (t ) dt est dérivable sur a ; b  et sa fonction dérivée
a
est la fonction f.
Séquence 6 – MA01
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Commentaire :
x
appellera F la fonction définie sur a ; b  par x ∫ f (t ) dt , ainsi
a
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt et on a F '( x ) = f ( x ).
On
a
Notation
x
: on rappelle que dans l’écriture F ( x ) = ∫ f (t ) dt la variable
a
x
« t » est muette, on aurait pu choisir la notation F ( x ) = ∫ f où l’on
a
voit mieux que l’intégrale ne dépend que de f et des bornes a et x, mais
cette notation n’est pas du tout pratique. On utilise donc la notation
x
F ( x ) = ∫ f (t ) dt dans laquelle il est essentiel que la variable muette soit
a
nommée différemment de la borne x qui est la variable habituelle.
Remarque
: F (a ) = 0.
Les fonctions du type de F vont être étudiées dans le chapitre suivant.
D
Exercices d’apprentissage
y=x
Exercice 1
Le plan est muni d’un repère
orthonormé. On utilise le résultat
b 2
b3 a3
t dt =
−
pour b ≥ a.
a
3
3
1
∫
Calculer
12
∫0t
considérations
dt et, par des
de
d’aires, déterminer
y= x
symétries
1
∫0
y = x2
et
t dt .
0
1
Déterminer la mesure de l’aire du domaine situé entre la courbe de la fonction
carré et la courbe de la fonction racine.
Exercice 2
Déterminer la valeur moyenne de la fonction carré sur  −4 ; 4  , puis sur
l’intervalle  −a ; a  , a étant un nombre réel strictement positif.
Exercice 3
Une voiture se déplace sur une route, elle démarre à l’instant t = 0, puis accélère
de façon régulière durant la première heure (on suppose constante l’accélération
18
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qui est la dérivée de la vitesse). Après une heure de route sa vitesse est alors
80 km.h–1. Elle garde cette vitesse durant les deux heures suivantes puis décélère
de façon régulière pour s’arrêter une demi-heure plus tard.
Dans un repère orthogonal, représenter la vitesse v du véhicule en fonction du temps.
Déterminer la distance parcourue durant ce trajet ainsi que la vitesse moyenne
du parcours.
Exercice 4
Quelle est la fonction dérivée de la fonction F définie sur 1; 100  par
x 1
dt ?
x∫
1 t 2 +1
x 1
dt .
Même question pour la fonction G définie sur 2 ; 100  par x ∫
2 2
t
1
+
Qu’observe-ton ?
Quelle est la relation existant entre F ( x ) et G ( x ) pour tout x de 2 ; 100  qui
permettait de prévoir ce résultat ?
Exercice 5
Dans cet exercice les trois premières questions sont des Questions à Choix
Multiples pour lesquelles trois réponses sont proposées dont une seule est
correcte. Dans la quatrième question on doit dire si la proposition qui est énoncée
est vraie ou fausse. Toutes les réponses doivent être justifiées.
Les fonctions qui sont intégrées sont continues et positives sur les intervalles
d’intégration.
1
-4
Si I =
a) −I + J
0
−1
∫−4f ( x ) dx
2
1
et J = ∫ f ( x ) d x , alors
b)
I+ J
2
−1
2
∫−4f ( x ) dx
est égale à :
c) I + J.
Séquence 6 – MA01
19
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La valeur moyenne sur  −4 ; 0  de la fonction f représentée sur la figure
précédente vaut :
a) 2
b) 3
L’intégrale I =
a) 7 ; 9 
0
∫−3f ( x ) dx
c) 3,5.
appartient à l’intervalle :
b) 9 ; 11
c) 11; 12 .
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ?
Si deux fonctions f et g continues et positives sur a ; b  sont telles que
b
b
∫a f ( x ) dx = ∫a g ( x ) dx , alors f ( x ) = g ( x ) pour tout x de a ; b .
20
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Séquence 6 – MA01
3 Primitives
A
Objectifs du chapitre
À la fin du chapitre 2, apparaît une fonction dont on connaît la fonction dérivée.
Dans ce chapitre, on définit et on étudie ces fonctions définies par leurs fonctions
dérivées. Dans le chapitre qui suivra, on pourra alors calculer des intégrales.
B
Activité 3
Pour débuter
On considère les fonctions F, G et H définies sur par : F ( x ) = x 3 + 5,
G ( x ) = x 3 − 0,1 et H ( x ) = x 3 + 9999.
Déterminer leurs fonctions dérivées. Qu’observe-ton ? Les fonctions F, G et H
sont-elles égales ?
Mêmes questions, les fonctions F, G et H étant définies sur 1; + ∞  par
F (x ) =
Activité 4
x −3
2
3x − 5
, G ( x ) = 1−
et H ( x ) =
.
x −1
x −1
x −1
On considère les deux fonctions f et F définies sur 0 ; + ∞  par f ( x ) = ln x et
F ( x ) = x ln x − x .
Montrer que, pour tout x de ]0 ; +∞ [ , F '( x ) = f ( x ).
Trouver deux fonctions G et H différentes de F, telles que G ' = H ' = F '.
Déterminer une fonction K définie sur  0 ; + ∞  telle que K ' = f et K (1) = 0.
Activité 5
Trouver une fonction F définie sur
telle que, pour tout réel x, F '( x ) = f ( x )
avec f ( x ) = 6 x 5 + 2x + 1.
Même question avec f ( x ) = x 5 + x 3 − 3 sur
Même question avec f ( x ) =
−1
+
.
1
sur 0 ; + ∞  .
x
x2
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( 3x + 1)e x . Déterminer deux
nombres réels a et b tels que la fonction F définie sur par F ( x ) = (ax + b )e x
ait pour fonction dérivée la fonction f.
Séquence 6 – MA01
21
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C
Cours
1. Définition des primitives d’une fonction
sur un intervalle, existence
Définition 3
F est une primitive de la fonction f, continue sur l’intervalle I, si et seulement
si f est la fonction dérivée de F sur I.
Exemple 6
Soit f la fonction carré définie sur
. La fonction F définie sur par F ( x ) =
x3
3
est une primitive de la fonction carré car, pour tout réel x, on a F '( x ) = x 2.
La fonction ln est une primitive sur 0 ; + ∞  de la fonction inverse car, pour tout
1
réel x strictement positif : ln'( x ) = .
x
Rappel
On a démontré dans le chapitre 2 que, pour une fonction particulière f,
continue et positive sur un intervalle fermé a ; b  , la fonction définie sur
x
a ; b  par x ∫ f (t ) dt est dérivable sur a ; b  et que sa fonction
a
dérivée est la fonction f. On a admis cette propriété pour toutes les fonctions
continues et positives sur a ; b  .
On obtient donc qu’une fonction f continue et positive sur un intervalle a ; b 
x
admet au moins une primitive sur a ; b  définie par x ∫ f (t ) dt . Plus
a
généralement, pour une fonction de signe quelconque, on a le théorème qui
suit et qui sera admis.
Théorème 2
Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet
intervalle.
22
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Séquence 6 – MA01
Exemple 7
par : F ( x ) = x 2 + 5, G ( x ) = x 2 − 0,1
et H ( x ) = x 2 − 9999, sont des primitives de la fonction f définie sur par
Les fonctions F, G et H définies sur
f ( x ) = 2x .
2. Propriétés des primitives
Dans l’exemple précédent, on a ajouté des constantes à une primitive connue,
la fonction carré, pour fabriquer d’autres primitives de la fonction x 2x . La
propriété suivante montre qu’il n’y a pas d’autres formes de primitives.
Propriété 6
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F et G deux
de ses primitives. Alors la fonction F − G est une fonction constante.
Démonstration
Pour tout x de I, on a (F − G )'( x ) = F '( x ) − G '( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0. La dérivée de
la fonction F − G est nulle sur l’intervalle I donc la fonction F − G est une
fonction constante sur I.
Propriété 7
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et soit F une de ses
primitives. Alors l’ensemble des primitives de f sur I est égal à l’ensemble
des fonctions de la forme F + k , où k est une constante.
Démonstration
la propriété précédente, si G est une autre primitive de f sur I alors
F − G est une fonction constante sur I, donc G = F + k .
D’après
Réciproquement
: soit G une fonction telle que G = F + k où k est une constante.
Pour tout x de I, F '( x ) = f ( x ) et G ( x ) = F ( x ) + k . Comme k est une constante,
G '( x ) = F '( x ) + 0 = f ( x ), donc la fonction G est une primitive de f sur I.
Exemple 8
Toutes les primitives de la fonction carré sur
sont les fonctions F de la forme
x3
x3
+ k , k étant une constante. En effet, la fonction x est une
3
3
primitive de la fonction carré.
F (x ) =
Séquence 6 – MA01
23
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Propriété 8
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x 0 un élément
de I et y 0 un nombre réel. Alors il existe une et une seule primitive de f sur
I qui prend la valeur y 0 en x 0 .
En effet, d’après le théorème 2 la fonction f admet des primitives. Soit F l’une
d’entre elles, on sait, d’après la propriété 7, que les autres primitives sont
de la forme F + k , où k est une constante. Savoir que x 0 a pour image y 0
détermine de façon unique la valeur de la constante k (puisque k doit vérifier
F ( x 0 ) + k = y 0 ).
Exemple 9
Solution
Trouver la primitive G de la fonction carré f qui prend la valeur 1 pour x = 2.
Remarquons d’abord l’utilisation de l’article « la » : en effet la propriété 8 assure
qu’il n’y a qu’une fonction qui convient. La fonction G que l’on cherche est de la
x3
forme G ( x ) =
+ k , vérifiant G (2) = 1.
3
23
8
−5
+ k = 1 ⇔ k = 1− ⇔ k = , la primitive G qui convient
3
3
3
x3 −5
est définie par G ( x ) =
.
3
Comme G (2) = 1 ⇔
Conséquence
Un cas particulier important
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I et soit x 0 un élément de I.
Alors il existe une et une seule primitive de f sur I qui s’annule en x 0 .
Il s’agit de la propriété précédente avec y 0 = 0. Soit F une des primitives de f
sur I. La primitive de f sur I qui s’annule en x 0 est la fonction G définie sur I par
G ( x ) = F ( x ) − F ( x 0 ).
Exemple 10
Solution
Déterminer la primitive H de la fonction carré qui prend la valeur 0 pour x = 5.
Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie par
F (x ) =
x3
,
3
donc la primitive H que l’on cherche est telle que
H ( x ) = F ( x ) − F ( 5) =
24
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Séquence 6 – MA01
x 3 53 x 3 − 125
− =
.
3
3
3
Remarque
On fera attention à la précision des mots employés : on dit « la » primitive
quand on désigne une primitive déterminée de façon unique, on dit « une »
primitive quand il s’agit d’une primitive quelconque.
Depuis le début de cette séquence, pour l’étude des primitives et des
intégrales, on s’est placé sur un intervalle. C’est essentiel en effet pour la
démonstration de la propriété 6, pour pouvoir dire que la fonction F − G est
une fonction constante. Et la propriété 6 est indispensable pour démontrer
les propriétés suivantes, en particulier la propriété 7 qui donne l’ensemble
des primitives d’une fonction sur un intervalle et la propriété 8 qui est une
propriété d’existence et d’unicité.
Montrons sur un exemple ce qui pourrait se passer sur une réunion
d’intervalles.
1
1
La fonction H : x a pour dérivée la fonction h : x −
sur
x
x2
 −∞ ; 0  ∪ 0 ; + ∞  .
La fonction K définie par K ( x ) = H ( x ) sur 0 ; + ∞  et par K ( x ) = H ( x ) + 8, 2
sur  −∞ ; 0  a la même fonction dérivée que H sur ]−∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞ [ .
Mais on ne peut pas dire que la fonction K − H est une fonction constante sur
 −∞ ; 0  ∪ 0 ; + ∞  , la constante n’étant pas la même sur les deux intervalles.
3. Primitives et intégrales
Propriété 9
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres réels
de I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. La différence F (b ) − F (a )
ne dépend pas de la primitive choisie.
Démonstration
Pour prouver que la différence ne dépend pas de la primitive choisie, nous allons
choisir 2 primitives quelconques et montrer que la différence est la même pour
Séquence 6 – MA01
25
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ces deux primitives. Soit F1 et F2 deux primitives de f sur I, d’après la propriété 6
il existe alors un nombre réel k tel que, pour tout x de I, on a : F2 ( x ) = F1( x ) + k .
On obtient donc : F2 (b ) − F2 (a ) = (F1(b ) + k ) − (F1(a ) + k ) = F1(b ) − F1(a ).
La différence F (b ) − F (a ) est donc bien la même quelle que soit la primitive F choisie.
Exemple 11
Les fonctions G et H des exemples 9 et 10 sont des primitives de la fonction carré
sur .
Pour a = −2 et b = 1, on a
13 − 5 ( −2)3 − 5 13 − ( −2)3
G (b ) − G (a ) = G (1) − G ( −2) =
−
=
=3
3
3
3
et H (b ) − H (a ) = H (1) − H ( −2) =
13 − 125 ( −2)3 − 125 13 − ( −2)3
−
=
= 3.
3
3
3
La propriété suivante fait le lien entre deux nouvelles notions : celle d’intégrale
et celle de primitive.
Propriété 10
Soit f une fonction continue et positive sur a ; b  et F une de ses primitives.
On a alors :
Démonstration
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
À la fin du chapitre 2 on a vu que la fonction définie sur a ; b  par
x
x ∫ f (t ) dt est dérivable sur a ; b  et sa fonction dérivée est la fonction f.
a
x
Donc la fonction définie sur a ; b  par x ∫ f (t ) dt est une primitive de
a
a
la fonction f. Or ∫ f (t ) dt = 0, donc, d’après la propriété 8 et sa conséquence,
a
x
la fonction définie sur a ; b  par x ∫ f (t ) dt est la primitive de la
a
fonction f qui s’annule en a. Et, on sait que, si F est une des primitives de f
sur I, la primitive de f qui s’annule en a est la fonction x F ( x ) − F (a ), donc
x
∫a f (t ) dt = F ( x ) − F (a ),
Exemple 12
26
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en particulier
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
x3
3
b 2
b3 a3
−
avec b ≥ a. On justifie donc ici ce résultat
donc on a l’égalité ∫ t dt =
a
3
3
qui a été admis dans le chapitre 2.
Une primitive de la fonction carré est la fonction F définie sur par F ( x ) =
Séquence 6 – MA01
Remarque
D’une part, on a vu qu’une fonction continue et positive sur un intervalle
a ; b  possède des primitives en utilisant une fonction définie par une
intégrale. D’autre part, la propriété 10 montre qu’il est possible de calculer
une intégrale si on connaît une primitive de la fonction qui est intégrée. Ces
deux notions sont donc très liées. Dans ce chapitre 3, on étudie surtout les
primitives, la notion d’intégrale sera ensuite approfondie dans le chapitre 4.
4. Primitives des fonctions usuelles,
opérations et composition
Fonctions
usuelles
« Déterminer une primitive » est l’opération inverse de « dériver une fonction » :
si f est la fonction dérivée de F sur un intervalle I alors F est une primitive de f.
Le tableau des dérivées usuelles nous permet alors de dresser le tableau des
primitives des fonctions usuelles.
Dans ce tableau, k désigne un nombre réel constant.
Expression de f ( x ) sur I
Expression de F ( x ) sur I
I
f (x ) = 0
I =
F ( x ) = k , k constante réelle
f (x ) = 1
I =
F (x ) = x + k
f (x ) =
f (x ) =
I = + * =  0 ; + ∞ 
1
F
(
x
)
=
−
+k
−
ou I = * =  −∞ ; 0 
x
1
x2
1
x
f ( x ) = x n , n ∈ ∗
f (x ) =
1
xn
f ( x ) = ex
f (x ) =
1
x
= x − n , n ∈ , n ≥ 2
I = + * =  0 ; + ∞ 
F (x ) = 2 x + k
I =
F (x ) =
1 n +1
x
+k
n +1
1
1
I = + * =  0 ; + ∞ 
F
(
x
)
=
−
+
k
=
x −n + 1 + k
−
n
−
1
−
n
+
1
ou I = * =  −∞ ; 0 
(n − 1)x
I =
F ( x ) = ex + k
I = + * =  0 ; + ∞ 
F ( x ) = ln x + k
Séquence 6 – MA01
27
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Avec
une ou deux fonctions
Dans ce tableau f, g, u, sont des fonctions continues sur un intervalle I, les
fonctions F et G sont des primitives des fonctions f et g sur I. Les notations α , β,
a, b, désignent des nombres réels.
Ce tableau est obtenu à partir des propriétés de la dérivation.
Fonction définie sur I
Les primitives sur I
f +g
F +G + k
αf
αF + k
αf + βg
αF + βG + k
u 'u
1 2
u +k
2
u'
2
1
– +k
u
u 'e u
eu + k
u'
u
ln(u)
u
Remarque
lesquelles on ne peut pas trouver une formule explicite
pour les primitives, par exemple la fonction définie sur
par x e
u ne s’annule pas sur I
u > 0 sur I
Pour chercher des primitives, on
Malheureusement il existe des fonctions pour
−x 2
Remarque
. On en rencontrera en probabilité,
mais, ailleurs, on évite ces cas en Terminale.
dispose donc de tous ces résultats,
issus de ce qui est connu sur la
dérivation,
et
des
indications
données par les énoncés des
exercices (comme dans la question
de l’activité 5).
5. Exemples de recherche de primitives
Remarques préliminaires
Pour trouver les primitives, il faut bien connaître les formules sur les dérivées.
Quand
on a trouvé une primitive, il est prudent de vérifier le résultat en
dérivant la primitive obtenue.
Quand on demande une primitive (et non les primitives), on prend souvent
k = 0.
On ne trouvera pas toujours une formule du cours qui s’adapte exactement :
il faudra souvent choisir une ou plusieurs constantes multiplicatives.
28
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Séquence 6 – MA01
Exemple 13
Solution
On considère la fonction f définie sur
primitive de f sur .
par f ( x ) = x 2 + x + 1. Trouver une
( )
1
1
1
1
3x 2 + (2x ) + 1, d’où F ( x ) = x 3 + x 2 + x sur
3
2
3
2
demande qu’une primitive).
f (x ) =
(ici, on ne
Commentaire :
1
1
On dit que et sont des constantes multiplicatives.
3
2
Exemple 14
Solution
3
5
+
On considère la fonction f définie par f ( x ) =
2
x
2x
Donner toutes les primitives de f sur I.
sur I =  0 ; + ∞  .
 1 
3 1 
f (x ) =   + 5
, donc les primitives de f sur I sont les fonctions F telles
2 x2 
 x 
3  1
que F ( x ) =  −  + 5 2 x + k , k étant une constante (ici on demande toutes
2 x 
( )
les primitives).
Exemple 15
Solution
On considère la fonction f définie sur par f ( x ) = 3e 3x + 2 − e2x +1. Donner
toutes les primitives de f sur I.
On reconnaît ou on met en évidence la forme u 'eu : f ( x ) = 3e 3x + 2 −
Donc les primitives de f sur
1
F ( x ) = e 3 x + 2 − e 2x + 1 + k .
2
D
Exercice 6
(
)
1 2x + 1
2e
.
2
sont les fonctions F telles que
Exercices d’apprentissage
Dans chaque cas, déterminer une primitive F de la fonction f sur l’intervalle I.
f ( x ) = 5x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 4 x + 2 sur I = f ( x ) =
f (x ) = −
2
x3
sur I = ]−∞ ; 0[
f (x ) = x + 2 +
f (x ) =
1
x2
+
2
x
5
x2
sur I =  0 ; + ∞ 
sur I =  0 ; + ∞ 
3
sur I =  0 ; + ∞  .
x
Séquence 6 – MA01
29
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Exercice 7
Dans chaque cas, sur l’intervalle I, déterminer la primitive F de la fonction f telle
que F ( x 0 ) = y 0 .
f ( x ) = 2x + 3
I =
x0 = 2
y0 = 0
f ( x ) = ex
I =
x0 = 0
y 0 = −4
f (x ) =
Exercice 8
1
x
x0 = 1
y 0 = 2.
Les fonctions suivantes sont toutes définies sur
toutes ses primitives sur .
. Pour chacune d’elles, donner
f ( x ) = e x + 2e2x + e − x
2
f ( x ) = 2x e( x )
x
−
f (x ) = e 2
Exercice 9
I =  0 ; + ∞ 
f ( x ) = 4e 3 x
(
)
f ( x ) = e2x − 3e x + 4 f ( x ) = e2x + 5e x − 1 e − x .
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = (2x + 3)e x .
Déterminer deux nombres réels a et b tels que la fonction F définie sur par
F ( x ) = (ax + b )e x soit une primitive de f.
Exercice 10
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x ( x – 1)2001.
On veut déterminer une primitive F de f sur
.
En écrivant x = ( x – 1) + 1 donner une autre écriture de f ( x ).
En déduire une primitive F de f sur
Exercice 11
.
Voici les courbes représentatives de quatre fonctions f1, f2 , f3 et f4 , définies
sur .
¬
30
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Séquence 6 – MA01
O
O
1
2
3
4
O
O
Des primitives de chacune des fonctions f1, f2 , f3 et f4 , sont représentées
ci-dessous. Indiquer pour chacune des fonctions f1, f2 , f3 et f4 , quelle est la
courbe de sa primitive.
O
O
O
a
b
c
d
O
Séquence 6 – MA01
31
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4
A
Primitives et intégrale d’une
fonction continue sur un intervalle
Objectifs du chapitre
Dans le chapitre 2, on a défini l’intégrale d’une fonction continue et positive sur
un intervalle a ; b  en utilisant les aires. La notion de primitive vue au chapitre
3 permet de généraliser la définition de l’intégrale aux fonctions continues de
signe quelconque sur un intervalle en conservant les propriétés déjà rencontrées.
B
Activité 6
Pour débuter
On rappelle la propriété 10 : soit f une fonction continue et positive sur a ; b 
et F une de ses primitives, on a alors :
Calculer les intégrales I =
Calculer l‘intégrale K =
Calculer L =
5
∫2 6t
2
5 2
∫2 t
5 2
∫2  t
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
dt et J = ∫
51
2t
dt .
1
+  dt , puis comparer K et I + J .
t
dt , puis comparer L et 6I .
On considère ici deux fonctions f et g continues et positives sur un intervalle
a ; b  . Soit F une primitive de f sur a ; b  et G une primitive de g sur a ; b  .
Démontrer que
∫a (f + g )(t ) dt = ∫a f (t ) dt + ∫a g (t ) dt .
b
b
Soit α un nombre réel, montrer que
32
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Séquence 6 – MA01
b
∫a (αf )(t ) dt = α ∫a f (t ) dt .
b
b
C
Cours
1. Intégrale d’une fonction continue de signe
quelconque
Dans le chapitre précédent, on a vu que si f est une fonction continue et positive
sur a ; b  ,
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ). Cette égalité va nous servir pour générali-
ser la notion d’intégrale à des fonctions qui ne sont pas positives sur I.
Définition 4
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux nombres
réels de I. Soit F une des primitives de la fonction f sur I. On appelle
« intégrale de a à b de la fonction f » le nombre F (b ) − F (a ) et on note
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Remarque
On
rappelle que la fonction f possède une infinité de primitives sur I, mais
que la différence F (b ) − F (a ) ne dépend pas de la primitive choisie.
n’y a pas ici de condition sur le signe de f (t ) ni sur l’ordre
de a et b.
Il
a ; b  (donc
a ≤ b ) les définitions 1 et 4 coïncident grâce à la propriété 10.
Bien sûr, dans le cas des fonctions positives sur un intervalle
b
différence F (b ) − F (a ) est souvent notée F (t ) , ce qui se lit « F (t )
a
pris entre a et b ».
La
Exemple 16
Solution
Calculer les intégrales suivantes : La fonction f définie sur
2
∫1 −4t
3
dt
∫−2(2x + 1) dx .
3
par f (t ) = −4t 3 est continue sur et une de
ses primitives est la fonction F définie par F (t ) = −t 4 (remarque : la fonction
Séquence 6 – MA01
33
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f est une fonction à valeurs négatives sur l’intervalle d’intégration). On a :
( )( )
2
2
3
4
4
4
∫1 −4t dt =  −t 1 = −2 − −1 = −15.
3
∫ −2 (2x + 1)
3
d x = x 2 + x  = 12 − 2 = 10.
−2
Remarque
Le premier calcul est ici très détaillé. Dans la pratique on rédige plutôt
comme le deuxième calcul, mais, attention, il est toujours conseillé de
travailler avec beaucoup de parenthèses pour éviter les erreurs dues aux
signes « − ».
2. Propriétés
Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I,
les nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels
quelconques.
Propriété 11
a
b
∫b f (t ) dt = − ∫a f (t ) dt .
Démonstration
Il suffit d’appliquer la définition :
a
b
∫b f (t ) dt = F (a ) − F (b ) = − ∫a f (t ) dt .
Remarque
Propriété 12
∫a (αf + βg )(t ) dt = α ∫a f (t ) dt + β ∫a g (t ) dt .
b
Démonstration
b
b
Cette propriété s’appelle la
linéarité de l’intégrale.
On procède comme dans l’activité 6.
Dans le chapitre 2, la définition de l’intégrale de a à b d’une fonction positive a
permis d’établir plusieurs propriétés en utilisant les propriétés des aires.
Nous allons ici retrouver ces propriétés dans le cas général, le cas particulier des
fonctions positives vous permettant d’en avoir une image géométrique.
34
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Séquence 6 – MA01
Propriété 13
a
∫a f (t ) dt = 0.
Démonstration
a
∫a f (t ) dt = F (a ) − F (a ) = 0.
Propriété 14
Relation de Chasles :
Démonstration
c
b
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx .
Soit F une primitive de la fonction f sur I.
c
b
∫a f ( x ) dx + ∫c f ( x ) dx = [F ( x )]ca + [F ( x )]cb
= (F (c ) − F (a )) + (F (b ) − F (c ))
= F ( b ) − F (a )
=
b
∫a f ( x ) dx .
Remarque
Avec cette définition générale utilisant une primitive, il n’est plus nécessaire
de faire une supposition sur l’ordre des nombres a, b et c, on suppose
simplement que les trois bornes sont dans I.
Propriété 15 Positivité
Soit f une fonction continue et positive sur l’intervalle I. Pour tous nombres
b
a et b de l’intervalle I tels que a ≤ b , on a alors : 0 ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
Démonstration
La démonstration a déjà été faite dans le chapitre 2, puisqu’on se retrouve dans
le cas d’une fonction positive.
Remarque
Pour aller plus loin, nous vous proposons ici une
deuxième démonstration pour montrer qu’une autre
La condition a ≤ b est essentielle.
méthode est possible avec la nouvelle définition : comme
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a )
où F est une fonction dont la
dérivée F ' = f est à valeurs positives, alors la fonction F est
croissante sur I, donc a ≤ b implique F (a ) ≤ F (b ), c’est-à-dire F (b ) − F (a ) ≥ 0.
Séquence 6 – MA01
35
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Propriété 16 Comparaison
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et telles que f ≤ g ,
c’est-à-dire telles que f ( x ) ≤ g ( x ) pour tout x de I. Soit a et b dans I tels que
b
b
a
a
a ≤ b , alors ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx .
Démonstration
Méth d : on se ramène
Méthode
è au cas précédent
é éd t ett on applique
li
lla propriété
iété dde lilinéarité.
é ité
Comme f ( x ) ≤ g ( x ) pour tout x de I, on a aussi 0 ≤ g ( x ) − f ( x ) et on applique
la propriété de positivité à la fonction g − f , les nombres a et b vérifiant a ≤ b.
Remarque
Donc 0 ≤ ∫
b
a
Dans cette propriété aussi la
condition a ≤ b est essentielle.
( g ( x ) − f ( x )) dx .
b
b
a
a
D’où, d’après la linéarité, 0 ≤ ∫ g ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx ,
soit
b
b
∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx .
Remarque
Cette propriété sera très utile pour trouver des valeurs approchées
d’intégrales de fonctions qu’on ne sait pas intégrer mais qu’on peut
encadrer.
Définition 5
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle a ; b  ,
1 b
avec a b, est égale au nombre
f (t ) dt .
b − a ∫a
Propriété 17 Inégalités de la moyenne
Soit une fonction f continue sur l’intervalle a ; b  avec a ≠ b , et deux nombres
m et M tels que, pour tout x de l’intervalle a ; b  , on a m ≤ f ( x ) ≤ M . Alors
m ≤ µ ≤ M , µ étant la valeur moyenne de la fonction f sur a ; b  .
Démonstration
36
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Elle est analogue à celle faite pour une fonction f positive dans le chapitre 2.
Séquence 6 – MA01
3. Calculer la valeur approchée d’une intégrale avec une calculatrice ou un logiciel
de calcul formel
a) Avec une calculatrice TI-82-stats.fr
On utilise la touche MATH puis l’instruction 9 : fonctIntégr.
La syntaxe est fonctIntégr(expression de la fonction, nom de la variable, borne
inférieure, borne supérieure).
Voici, par exemple, le calcul de
1 2
∫0 x
dx :
b) Avec une calculatrice
Casio 25+Pro
On utilise successivement OPTN
CALC
∫
dx .
La syntaxe est
∫ (expression de la fonction, borne inférieure, borrne supérieure, tolérance ).
Les calculs se font de façon approchée et la « tolérance » permet de choisir une
précision plus ou moins grande. Il est possible de ne pas indiquer la valeur de la
tolérance (la calculatrice utilisera alors 10 −5 ) et de ne pas fermer la parenthèse.
Voici, par exemple, le calcul de
1 2
∫0 x
d x :
c) Avec un logiciel de calcul formel
Voici un écran obtenu avec le logiciel Xcas.
La première instruction int(x^2,x) permet d’obtenir à la deuxième ligne une
primitive de la fonction donnée par l’expression x^2 où la variable est x, il s’agit
donc de la fonction carré. (Avec l’instruction int(k*x^2,k) on obtiendrait
x 2 *k 2
2
car la variable serait k.)
5
La deuxième instruction correspond à l’intégrale ∫ x 2 d x dont le logiciel donne
3
98
la valeur : .
3
Séquence 6 – MA01
37
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4. Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire
a) Aire d’un domaine limité par l’axe des abscisses et
la courbe représentative d’une fonction positive
Par définition, l’aire du domaine sous la courbe d’une fonction positive définie sur
b
un intervalle a ; b  a pour mesure ∫ f ( x ) d x en unités d’aire.
a
Exemple 17
Le plan est muni d’un repère orthogonal, l’unité étant 1cm en abscisse et 2cm
en ordonnée.
La fonction f est définie sur 0 ; 3 par f ( x ) = e − x . Déterminer en cm2 l’« aire
sous la courbe représentative de f » que l’on nommera .
Solution
En unités d’aire, l’« aire sous la courbe » mesure :
3
3 −x
e
d x =  −e − x  = −e −3 − ( −1) = 1− e −3 .
0
0

∫
1
) (
(
Ici
on
a
)
1u.a. = 2 cm2 , donc = 1− e −3 u.a. = 1− e −3 × 2 cm2.
0
Remarque
1
Il faut faire attention aux unités.
b) Aire entre deux courbes représentatives de fonctions positives
Propriété 18
Soit f et g deux fonctions définies, continues et positives sur l’intervalle
a ; b  , telles que, pour tout t de a ; b  , f (t ) ≤ g (t ). L’aire du domaine limité par la courbe représentative de f, celle de g et les droites d’équation
x = a et x = b , mesure
b
∫a (g (t ) – f (t ))
dt en unités d’aire.
g
y
f
1
f
x
a
38
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Séquence 6 – MA01
0
1
b
Démonstration
En notant f (respectivement g ) le domaine situé sous la courbe représentant
f, on a : f ∪ = g . D’après les propriétés des aires, on obtient
( )
( )
)
aire f + aire ( = aire g , d’où
b
 b

aire ( ) = aire g − aire ( f ) =  ∫ g ( x ) d x − ∫ f ( x ) d x  u.a.
a
 a

( )
b
Et la linéarité de l’intégrale donne : aire ( ) = ∫ a ( g (t ) − f (t )) dt u.a.
Exemple 18
Soit f et g les deux fonctions
définies sur
et
par f ( x ) = x 2 + 1
g ( x ) = x + 3,
leurs
courbes
représentatives sont données cicontre.
D’après le graphique, comparer
f ( x ) et g ( x ) lorsque x appartient
à l’intervalle  −1; 2 .
Calculer, en unités d’aire, l’aire
du domaine situé entre les deux
courbes (aire coloriée).
Solution
1
O
1
Graphiquement on lit que f ( x ) ≤ g ( x ) car la fonction g est affine, donc la
droite représente la fonction g.
En unités d’aire, l’aire du domaine colorié mesure donc :
I=
2
∫ −1(g ( x ) − f ( x ))
dx =
∫ −1(( x + 3) − ( x 2 + 1))
2
dx =
∫ −1(−x 2 + x + 2) dx
2
 x3 x2
2
= − + + 2x 
2
 3

−1
 8 22
  (−1)3 (−1)2

I = − + + 2 × 2 − −
+
+ 2 × (−1)
3
2
 3 2
 

 8  1

= − + 6  −  − 1,5 = 4,5.
 3  3

Séquence 6 – MA01
39
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Remarque
Si la différence g (t ) − f (t ) n’est pas de signe constant, on décompose
l’intervalle a ; b  en une union d’intervalles sur chacun desquels le signe
est constant et on utilise la relation de Chasles.
Exemple 19
Dans un repère orthonormé, la fonction f définie sur par f ( x ) = x 3 − 3x 2 + 4
est représentée par la courbe . Déterminer, en unités d’aire, l’aire du domaine
situé entre la courbe et la droite d’équation y = x + 1.
J
0
Solution
I
On observe graphiquement que la courbe est au-dessus de la droite lorsque −1 ≤ x ≤ 1 et que la droite est au-dessus de lorsque 1 ≤ x ≤ 3.
On calcule donc
1
3
∫ −1(f ( x ) − ( x + 1) dx + ∫1 ( x + 1− f ( x )) dx
=
∫ −1( x 3 − 3x 2 − x + 3)
1
dx +
∫1 (−x 3 + 3x 2 + x − 3)
3
dx
3
x 4
1  x 4
x2
x2
3
3
=  − x − + 3x  + − + x + − 3x  = 8
2
2

 4
  4
−1
1
L’aire coloriée est donc égale à 8 u.a.
40
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Séquence 6 – MA01
5. Une aire en économie : courbe de Lorenz
et coefficient de Gini
Pour étudier la répartition des salaires dans une population on peut utiliser une
courbe appelée courbe de Lorenz.
Les salaires sont rangés par ordre croissant et regroupés en classes.
On va faire un graphique où l’on portera :
en
abscisse les fréquences cumulées des effectifs,
en
ordonnée les fréquences cumulées de la masse salariale.
)
Par exemple, le point de coordonnées ( 0, 50 ; 0, 39 indique que 50% des salariés
les moins riches reçoivent 39% de la masse salariale.
La courbe obtenue est appelée courbe de Lorenz.
Si la répartition de la masse salariale était égalitaire cela voudrait dire que n %
des salariés se partageraient n % de la masse salariale, quel que soit n. Tous
les points du graphique se trouveraient sur la droite d’équation y = x , plus
)
précisément sur le segment OA  en appelant A le point de coordonnées (1; 1 .
Ce segment OA  représente une répartition égalitaire de la masse salariale.
L’indice de Gini donne un moyen de mesurer l’écart entre la répartition étudiée
et la répartition égalitaire.
(M. O. Lorenz (1880/1962) économiste américain, C. Gini un économiste italien
(1884-1965)).
Exemple 20
Prenons l’exemple des salaires mensuels versés aux 100 salariés d’une entreprise.
Salaires
(en centaines d’euros)
[10 ;14[
[14 ;18[
[18 ;22[
[22 ;26[
[26 ;30]
Nombre de salariés
20
30
25
15
10
Remplir un tableau indiquant les fréquences des effectifs et les fréquences des
masses salariales ainsi que les fréquences cumulées croissantes des effectifs et
des masses salariales (notées fci et Fci ).
Le plan étant muni d’un repère où l’unité est 10 cm sur chaque axe, placer les
(
)
points de coordonnées fci ; Fci . Joindre ces points pour obtenir la courbe de
Lorenz (qui passe aussi par l’origine O).
Séquence 6 – MA01
41
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L’aire du domaine compris entre la première bissectrice et la courbe de Lorenz
s’appelle l’aire de concentration. On considère les points A(1 ; 1) et B(1 ; 0). On
aire de concentration
définit l’indice de Gini par : IG =
.
aire du triangle OAB
Calculer approximativement IG en utilisant le papier millimétré (unité : 10 cm
sur chaque axe).
Solution
Voici le tableau rempli :
Fréquences
Effectifs Fréquences
cumulées
Salaires
ni
fi
croissantes fci
[10 ;14[
[14 ;18[
[18 ;22[
[22 ;26[
[26 ;30]
20
30
25
15
10
100
0,20
0,30
0,25
0,15
0,10
0,20
0,50
0,75
0,90
1
Centres
des classes
Ci
12
16
20
24
28
Masses
salariales ni C i
Fréquences Fi
arrondies
240
480
500
360
280
1860
0,13
0,26
0,27
0,19
0,15
Fréquences
cumulées
croissantes
Fci
0,13
0,39
0,66
0,85
1
Fci
A
1
0,85
aire de
concentration
0,66
0,39
courbe
de Lorenz
0,13
B fci
0
42
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Séquence 6 – MA01
0,20
0,50
0,75
0,90
1
On peut évaluer graphiquement l’aire de la partie coloriée à 8 cm2 environ.
L’aire du triangle OAB est égale à 50 cm2. Ainsi :
IG =
aire de concentration airre coloriée 8
=
≈ , soit IG ≈ 0,16.
aire du triangle OAB
50
50
Remarque
On
a toujours 0 ≤ IG ≤ 1.
Si on utilise l’unité d’aire donnée par le repère, l’aire du triangle OAB mesure
aire de concentration
= 2 × aire de concentration.
0,5
Si la courbe de Lorenz est confondue avec le segment [OA], la répartition
est parfaitement égalitaire, l’aire de concentration est nulle, l’indice de
Gini est nul.
0,5 et on obtient IG =
Si
la courbe de Lorenz est confondue avec la ligne OBA (une seule
personne reçoit le total de la masse salariale), l’inégalité est totale, l’aire
de concentration est égale à celle du triangle OAB, l’indice de Gini vaut 1.
Ainsi, si l’indice de Gini est voisin de zéro la répartition est assez équitable.
Par contre s’il est voisin de 1 alors la répartition est très inégale.
l’exemple précédent, comme IG ≈ 0,16, on peut dire que la
répartition salariale n’est pas trop inégale (en effet, par exemple, 50% des
salariés possèdent 39% de la masse salariale, alors que 75% des salariés
possèdent 66% de la masse salariale).
Dans
Dans la pratique il n’est pas toujours simple de calculer avec précision l’aire
de concentration. Si la courbe de Lorenz est modélisée comme étant la
courbe représentative d’une fonction, on pourra calculer une intégrale (de
façon exacte ou approchée).
6. Un exemple de moyenne en économie
Exemple 21
Cet exemple est un extrait d’un exercice proposé au baccalauréat en 2011.
Certains scientifiques estiment que les futures découvertes de pétrole dans le
monde peuvent être modélisées, à partir de l’année 2011, grâce à la fonction f
définie sur l’intervalle 11; + ∞  par f ( x ) = 17280e −0,024 x de sorte que f (x)
représente, en billions de barils (millions de millions de barils), l’estimation de la
quantité de pétrole qui sera découverte au cours de l’année 2000 + x .
Déterminer une primitive F de la fonction f sur 11; + ∞  .
Séquence 6 – MA01
43
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Calculer la valeur exacte, puis donner la valeur arrondie à l’unité près, de
21
l’intégrale I suivante : I = ∫ f ( x ) d x .
11
En déduire le nombre moyen de barils, en billions, que l’on peut espérer
découvrir par an d’après ce modèle, entre les années 2011 et 2021.
Solution
En écrivant f ( x ) = 17280e −0,024 x =
(
17280
−0, 024e −0,024 x
−0, 024
)
on obtient
17280 −0,024 x
×e
.
0, 024
une primitive F définie par : F ( x ) = −
I
21
21  17280
−0 ,024 x 
=
f ( x ) d x = F ( x ) =  −
×e

11
11
11
 0, 024
=
∫
21
)
(
)
(
17280
17280
−e −0,024 × 21 + e −0,024 ×11 =
−e −0,504 + e −0,264 .
0, 024
0, 024
I ≈ 117982.
Il s’est écoulé 10 ans entre 2011 et 2021, donc le nombre moyen de barils,
en billions, que l’on peut espérer découvrir par an est égal à
I
, soit environ
10
11798 billions.
21
I
1
=
f ( x ) d x , le nombre moyen de barils est donc
∫
10 21− 11 11
donné par la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 11; 21 .
On remarque que
D
Exercice 12
Exercice 13
Exercices d’apprentissage
Calculer les intégrales suivantes :
2
3
A=
∫−3 2x
D=
∫1  x + x 
e
dx
1
dx
2 q
B=
∫0 e
E=
∫−1e
dq
1 −4 x
C=
2 1
∫1 t 2 dt
e lnt
dt .
1 t
dx F = ∫
Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle 0 ; 3 sachant
que f ( x ) = e −2x .
Exercice 14
Soit f la fonction définie sur  0 ; + ∞  par f ( x ) = ln x + 3x 2.
Vérifier que la fonction F définie sur  0 ; + ∞  par F ( x ) = x ln x + x 3 − x est
44
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Séquence 6 – MA01
une primitive de f sur  0 ; + ∞  .
Calculer l’intégrale A =
Exercice 15
∫1 (ln x + 3x
e
Soit f la fonction définie sur
2
) dx .
par f ( x ) =
représentative dans un repère orthogonal.
x2
e 2 et soit sa courbe
−
1
2π
y
0,1
0
b
1
x
Dire pourquoi la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
On appelle I( b ) l’intégrale définie par I( b ) =
b
∫0 f ( x ) dx
où b est un réel
positif ou nul. Sur la figure, l’aire colorée mesure I(b ) en unités d’aire.
On ne sait pas calculer exactement l’intégrale I(b ).
On donne dans le tableau suivant des valeurs approchées de I (b ) pour quelques
valeurs de b :
b
0,5
I (b )
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
0,191 46 0,341 34 0,433 20 0,477 25 0,493 79 0,498 65 0,499 77 0,499 97
En déduire des valeurs approchées des intégrales suivantes :
0
2
1
–1
∫ –1f ( x )dx ; B = ∫ –2f ( x )dx ; C = ∫1,5 f ( x )dx ; D=
∫ –3f ( x )dx ; E = ∫ –4 f ( x )dx .
Calculer G =
Exercice 16
3,5
A=
4
∫ −4f ( x ) dx et commenter le résultat obtenu.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3)e − x et représentée par la
courbe dans un repère orthonormé.
Etudier le sens de variation de f.
Séquence 6 – MA01
45
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Déterminer les réels a et b pour que la fonction F définie sur
par
F ( x ) = (ax + b )e − x soit une primitive de f.
Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 −2
près par défaut de l’aire A1 du domaine du plan limité par la courbe , l’axe
des abscisses et les droites d’équation x = −3 et x = 4.
Calculer f ( −2). En déduire que f ( x ) ≤ e2 pour tout réel x. Calculer, en unités
d’aire, la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 −2 près par défaut de l’aire
A 2 du domaine du plan limité par la courbe , la droite d’équation y = e2 et
les droites d’équation x = −3 et x = 4.
Exercice 17
On considère la fonction f définie sur  0 ; + ∞  par f ( x ) = x + 1− 2 . On
x
appelle la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
Etudier le sens de variation de f sur  0 ; + ∞  .
Soit la droite d’équation y = x + 1. Etudier les positions relatives de et
de . Représenter et dans le repère orthonormé (unité : 2 cm).
Colorier le domaine déterminé par , , les droites d’équation x = 1
et x = e.
Calculer, en cm2 , l’aire du domaine .
Exercice 18
Voici un tableau indiquant la répartition des revenus des ménages d’un pays.
Lecture du tableau : les 10 %
de ménages les moins favorisés
détiennent seulement 2,18 % du
revenu national.
On veut calculer l’indice de Gini,
noté IG , de cette répartition.
La
courbe
de
Lorenz
correspondante est tracée sur la
figure.
Unités graphiques : 1 cm pour
10 unités en abscisse, 1 cm pour
10 unités en ordonnée.
46
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Séquence 6 – MA01
Déciles
Proportion
des ménages
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Revenu
cumulé
(en %)
2,18
6,01
10,95
16,97
24,17
32,96
43,52
56,15
72,28
Revenu
cumulé (en %)
B
100
90
80
70
60
50
40
30
20
courbe de
Lorenz
10
A
0
10
20
Méthode
30
40
50
60
100
80
90
70
Proportion des ménages en %
graphique
D’après la figure, évaluer l’aire du domaine compris entre le segment [OB] et la
courbe de Lorenz. En déduire une valeur approchée du coefficient IG .
Méthode
utilisant une intégrale.
On admet que la courbe de Lorenz peut être approchée par la courbe C d’équation
y = 0, 009 x 2 + 0, 033x et que cette courbe est située sous la droite (OB).
Donner une équation de la droite (OB).
En utilisant une intégrale, donner une valeur approchée du coefficient IG .
Que peut-on penser de la répartition des revenus des ménages dans ce pays ?
Quel pourcentage du revenu national est détenu par les 10 % des ménages les
plus riches ?
Séquence 6 – MA01
47
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Exercice 19
Une maladie contagieuse s’est développée dans une ville. On a constaté que le
nombre f (t ) de personnes atteintes par cette maladie t jours après l’apparition
de celle-ci est tel que f (t ) = 30t 2 − t 3 pour 0 ≤ t ≤ 30.
Calculer le nombre moyen de personnes malades durant les dix premiers jours.
Quel est le jour t où il y a le plus de malades ? Quel est le nombre maximum
0
de malades ?
Calculer le nombre moyen de personnes malades durant l’intervalle
t 0 − 4 ; t 0 + 4  .
48
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Séquence 6 – MA01
5
Synthèse
de la séquence
1. Aire et intégrale d’une fonction continue
et positive sur un intervalle
Définition 1
L’intégrale de a à b d’une fonction f continue et
positive sur a ; b  est la mesure de l’« aire sous la
courbe » en unités d’aire.
aire() =
b
∫a f ( x ) dx u.a.
y
Théorème 1
Soit f une fonction continue
a ; b  , la
fonction définie sur a ; b  par
et positive sur
f
x
x ∫ f (t ) dt est dérivable sur
1
a
a ; b  et sa fonction dérivée est
la fonction f.
J
K
1 ua
a
0
x
I
1
b
2. Primitives
Définition 3
F est une primitive de la fonction f, continue sur I, si et
seulement si f est la fonction dérivée de F sur I.
Théorème 2
Toute fonction continue sur un intervalle admet des
primitives sur cet intervalle.
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Propriété 8
Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I. Soit x 0 un élément
de I et y 0 un nombre réel. Alors il existe une primitive et une seule de f sur I
qui prend la valeur y 0 en x 0 .
On détermine les primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du
tableau des dérivées.
En particulier une fonction de la forme u 'eu a pour primitive la fonction eu .
Propriété 10 Primitive et intégrale
Soit f une fonction continue et positive sur a ; b  et F une de ses primitives.
On a alors :
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
3. Primitives et intégrale d’une fonction continue
On définit l’intégrale de a à b d’une fonction f continue de signe quelconque en
généralisant l’égalité précédente qui sert alors de définition de l’intégrale à partir
d’une primitive.
Définition 4
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une de ses primitives
sur I, les nombres a et b sont dans I. L’intégrale de a à b de la fonction f est
définie par :
b
∫a f (t ) dt = F (b ) − F (a ).
Dans les propriétés suivantes, les fonctions sont continues sur un intervalle I,
les nombres réels a, b et c sont dans I, les nombres α et β sont deux réels
quelconques.
Pour la relation de Chasles, la positivité, les comparaisons et les inégalités de la
moyenne, il est utile d’avoir une vision géométrique en pensant aux « aires sous
les courbes ».
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Propriétés 11 à 16
a
b
∫b f (t ) dt = − ∫a f (t ) dt .
b
b
b
∫a (αf + βg )(t ) dt = α ∫a f (t ) dt + β ∫a g (t ) dt
a
∫a f (t ) dt = 0.
c
∫a
b
b
c
a
f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx (relation de Chasles).
Pour f ≥ 0 sur I et a ≤ b ,
b
∫a f ( x ) dx ≥ 0 (positivité).
Pour f et g telles que f ≤ g et a ≤ b ,
b
b
∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g ( x ) dx (comparaison).
Définition 5
La valeur moyenne d’une fonction f continue sur un intervalle a ; b  ,
1 b
avec a b, est égale à
f (t ) dt .
b − a ∫a
Propriété 17 Inégalités de la moyenne
Soit une fonction f continue sur l’intervalle a ; b  , et deux nombres m et
M tels que, pour tout x de l’intervalle a ; b  , on a m ≤ f ( x ) ≤ M . Alors
m ≤ µ ≤ M , µ étant la valeur moyenne de la fonction f sur a ; b  .
4. Applications
Propriété 18 Aire entre deux courbes
Soit f et g deux fonctions continues et positives sur l’intervalle a ; b  ,
telles que, pour tout t de a ; b  , f (t ) ≤ g (t ). L’aire du domaine limité
par la courbe représentative de f, celle de g et les droites d’équation x = a
et x = b , mesure
b
∫a (g (t ) – f (t ))
dt en unités d’aire.
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g
y
f
1
f
x
a
0
1
b
Indice de Gini
On définit l’indice de Gini par :
IG =
aire de concentration
= 2 × aire de concentration.
aire du triangle OAB
1
On
B
a toujours 0 ≤ IG ≤ 1.
Si
l’indice de Gini est voisin de zéro la répartition
est assez équitable. Par contre s’il est voisin de 1,
la répartition est très inégale.
A
0
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1
6 Exercices de synthèse
(exercice proposé au baccalauréat)
Exercice I
Lors d’une émission télévisée, les téléspectateurs sont appelés à envoyer des
messages téléphoniques par SMS, pendant une durée de 5 minutes.
Pendant ces 5 minutes, les appels arrivent de façon continue, avec un débit
variable en fonction du temps. Si x est le temps exprimé en minutes, le débit,
exprimé en milliers d’appels par minute, est donné par la fontion f telle que :
f ( x ) = –4 x 2 + 8 x pour x ∈0 ; 1 .
f ( x ) = ln x – x + 5 pour x ∈1 ; 5 .
La courbe ( ), représentative de la fonction f dans un repère orthonormal du
plan, est donnée ci-après à titre indicatif.
On veut calculer le nombre total d’appels reçus pendant ces 5 minutes, et on
admet que ce nombre d’appels est donné par
5
∫0 f ( x )dx .
Démontrer que f est croissante sur [0 ; 1], et décroissante sur [1 ; 5].
a) Donner une primitive de la fonction f sur [0 ; 1].
b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire, du domaine plan limité par la courbe
( ), l’axe des abscisses et la droite d’équation x = 1.
a) Soit g et G les fonctions définies sur [1 ; 5] par g ( x ) = ln x
et
G ( x ) = x ln x – x .
Montrer que G est une primitive de g sur
[1 ; 5].
b) Calculer l’aire, exprimée en unités d’aire,
du domaine plan limité par la courbe ( ),
l’axe des abscisses, et les droites d’équation
x = 1 et x = 5.
J
O
Donner le nombre total d’appels reçus
I
pendant ces 5 minutes.
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Exercice II
(exercice proposé au baccalauréat)
La courbe f tracée ci-dessous est la représentation graphique d’une fonction
f définie et dérivable sur .
B
A
J
O
I
On note f ' la fonction dérivée de f.
)
)
La tangente T à la courbe f au point A ( 0 ; 3 passe par le point B(1; 5 .
En utilisant les données et le graphique, préciser la valeur de f ( 0 ) et la valeur
de f '(0 ).
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe f au point A.
Préciser un encadrement par deux entiers consécutifs de l’aire, en unités
d’aire, de la partie du plan située entre la courbe f , l’axe des abscisses, l’axe
des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
On admet que la fonction f est définie, pour tout nombre réel x , par une
expression de la forme f ( x ) = 1+
ax + b
. où a et b sont des nombres réels.
ex
a) Déterminer l’expression de f '( x ) en fonction de a , b et x .
b) À l’aide des résultats de la question , démontrer que l’on a, pour tout réel x :
4x + 2
f ( x ) = 1+
.
ex
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Soit F la fonction définie sur
qui est dérivable sur
par F ( x ) = x +
–4 x – 6
ex
. On admet que F ,
, est une primitive de f sur .
Déterminer la valeur exacte puis une valeur approchée à 10 –2 près de l’aire, en
unités d’aire, de la partie du plan située entre la courbe f , l’axe des abscisses,
l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1.
Ce résultat est-il cohérent avec l’encadrement obtenu à la question ?
Exercice III
Un artisan bijoutier fabrique chaque mois un nombre x de bijoux, où x est un
entier compris entre 0 et 80.
Le coût unitaire de production d’un objet lorsqu’on fabrique x objets est noté
f ( x ). La courbe ci-jointe représente la fonction f dans un repère orthogonal.
Le coût unitaire est exprimé en euros.
f (x) en euros
.
2040
2000
1400
.
.
1000
P
.
.
.
.
200
104
O
.
10
20
30
40
50
60
70
80
x
36
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Déterminer graphiquement le nombre n de bijoux que l’artisan doit fabriquer
pour que le coût de production d’un objet soit minimal.
La fonction f est de la forme f ( x ) = x 2 + bx + c . A l’aide d’informations
graphiques, déterminer b et c.
Calculer le coût moyen de production d’un objet lorsque l’artisan fabrique :
Exercice IV
40
bijoux par mois ;
80
bijoux par mois.
Dans une entreprise le coût total de fabrication d’une quantité q d’un produit
comprend un coût fixe CF et un coût variable CV (q ) qui dépend de la quantité q .
Ainsi
CT (q ) = CF + CV (q ).
On donne CV (0 ) = 0 et CF = 5 000 (en euros).
On admet que le coût marginal C ma (q ) est la dérivée de CT (q ).
Soit l’intégrale A =
q
∫0 Cma ( x ) dx . Montrer que A = CT (q ) – 5 000. .
On donne C (q ) = 3q 2 – 120q + 1 000.
ma
q
Montrer que CT (q ) = CF + C ma ( x )dx .
0
∫
Exprimer CT (q ) en fonction de q .
Exercice V
(exercice donné au baccalauréat)
Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques
produisant de l’électricité. Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par
f ( x ) = 18 ln x – x 2 + 16 x – 15.
Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et
vendus, alors on admet que f ( x ) représente le bénéfice mensuel de l’entreprise,
en milliers d’euros. On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f '
sa fonction dérivée.
Partie A
Calculer f '( x ). Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’lintervalle
–2x 2 + 16 x + 18
.
x
Étudier le signe de f '( x ) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de
la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
[0,5 ; 25], on a f '( x ) =
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a) Calculer f (1).
b) Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f ( x ) = 0 admet une solution
unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10 −2 près.
c) En déduire le signe de f ( x ) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].
Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que
l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou
d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 € ? Justifier la
réponse.
Partie B
définie sur l’intervalle  0 ; +∞  par
G ( x ) = x ln x − x est une primitive de la fonction logarithme népérien sur
On admet que la fonction G
l’intervalle  0 ; +∞  .
En déduire une primitive F de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].
Rappel : soit f une fonction définie et continue sur un intervalle a ; b  , où
a < b.
La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle a ; b  est le nombre réel m
1 b
défini par m =
f ( x )dx .
b − a ∫a
Déterminer la valeur moyenne du bénéfice mensuel de l’entreprise, arrondie à la
centaine d’euros, lorsque celle-ci produit et vend entre 100 et 1 800 panneaux
solaires.
Exercice VI
Soit f et g les deux fonctions définies sur 0 ; 1 par : f ( x ) = xe x −1 et
g ( x ) = x 2. Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J et on appelle A
)
)
le point de coordonnées (1; 1 . Soit C f et C g les courbes représentatives des
fonctions f et g.
a) Etudier la position de la courbe C par rapport au segment [OA]. En
f
déduire que C f est une courbe de Lorenz.
b) Déterminer les réels a et b pour que la fonction F définie sur 0 ; 1 par
F ( x ) = (ax + b )e x −1 soit une primitive de la fonction f.
Séquence 6 – MA01
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c) En supposant que la courbe f représente la répartition de la masse salariale
des ouvriers d’une entreprise, calculer l’indice de Gini correspondant.
Calculer le coefficient de Gini pour la répartition correspondant à la courbe
g.
Dessiner les courbes et .
f
g
Comparer les deux coefficients de Gini et comparer les deux répartitions
correspondantes.
Exercice VII
Sur le graphique de la figure ont été tracées les courbes représentatives f et
g de deux fonctions f et g dérivables sur l’intervalle 0 ; +∞  .
Partie A Questions préliminaires
Résoudre, avec la précision permise par le graphique, les équations ou
inéquations suivantes :
f ( x ) = 8 ; f ( x ) = 4 ; g ( x ) = 11 ; f ( x ) = g ( x ) ; f ( x ) ≥ g ( x ).
Lire sur le graphique f ( 0 ) ; f (14 ) ; g ( 0 ) ; g ( 3).
Donner le signe des fonctions dérivées f ' et g ' sur l’intervalle  0 ; 15 .
Partie B
La fonction f est la fonction de demande d’un produit : elle met en correspondance
le prix f ( x ) du produit et la quantité x achetée par les consommateurs.
La fonction g est la fonction d’offre : elle met en correspondance le prix g ( x )
du produit et la quantité x vendue par les producteurs.
La quantité est exprimée en centaines d’unités et le prix en dizaines d’euros.
Interprétation graphique
a) Quelle quantité est achetée par les consommateurs si le prix est de 80 euros ?
si le prix est de 40 euros ?
b) Quelle quantité est vendue par les producteurs si le prix est 110 euros ?
c) En dessous de quel prix les producteurs ne sont-ils pas prêts à vendre ?
Équilibre du marché
La fonction f représentée sur la figure est définie sur [0 ; +∞ [ par f ( x ) =
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40
.
x +2
La fonction g représentée sur la figure est définie sur
1
g ( x ) = x 2 + 3.
18
[0 ; +∞ [
par
PRIX
20 (en dizaines d'euros)
g
15
10
K
5
4
f
3
2
1
x
O
1
2
3
4
5
10
QUANTITÉ (en centaines)15
Dans un marché à concurrence pure et parfaite, le prix p0 qui se forme sur le
marché selon la « loi de l’offre et de la demande » correspond à l’égalité de
l’offre et de la demande, c’est-à-dire à l’ordonnée du point d’intersection K des
deux courbes f et g .
Conjecturer les ordonnées du point K puis vérifier par le calcul (on notera les
coordonnées de K par ( x 0 ; p0 )). Quel est le prix d’équilibre ?
La situation est favorable aux consommateurs lorsque l’offre dépasse la demande
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Déterminer les situations favorables aux consommateurs et celles défavorables
aux consommateurs.
Rente des producteurs
Les producteurs qui étaient prêts à vendre à un prix inférieur au prix d’équilibre
réalisent un gain fictif appelé profit (ou rente) des producteurs.
x
0
Ce nombre, noté Pp , est donné, en milliers d’euros, par : Pp = x 0 p0 − ∫ 0 g ( x ) d x .
Calculer Pp et en donner une interprétation graphique.
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