Accompagnement personnalisé n 13

Terminale S
Accompagnement Personnalisé n°16
M.Meyniel 1/1
VITESSE D’UNE BALANCOIRE
Un enfant sur une balançoire est assimilé à une masse ponctuelle m au point M, au bout d’une
corde inextensible de longueur L = 2,0 m dont on négligera la masse devant m. Cette corde est
accrochée à un point fixe dans le référentiel terrestre. Les positions successives de M sont repérées par
l’angle (t) que fait la corde avec la verticale. À la date t = 0, M est écartée de sa position d’équilibre de
sorte que cos(0) = 0,9. Le système est alors au point A. L’enfant est alors lâché sans vitesse initiale. Les
frottements sont négligeables.
0. Comme toujours, on n’hésitera pas à réaliser un schéma comportant tous les paramètres influant
sur le mouvement et les différentes forces dont on fera le bilan.
1. L’origine des énergies potentielles de pesanteur est choisie telle que Epp = 0 si  = 0 (point B).
a. Montrer que l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur de M est Epp = m.g.L.(1 – cos ).
b. Comment évolue Epp lorsque M passe de sa position initiale à sa position d’équilibre ?
2. a. Donner l’expression de l’énergie mécanique de M en fonction de m, g, L, v (norme de sa
vitesse) et .
b. Comment évolue-t-elle au cours du mouvement ? Justifier.
c. Tracer qualitativement sur un même graphique Em(t) , Epp(t) et Ec(t).
d. Exprimer le travail de chaque force s’exerçant sur le système.
3. a. En exploitant la question précédente, donner l’expression de la vitesse au passage par la
position d’équilibre (point B) en fonction de g, L et
0.
b. Calculer la valeur maximale de la vitesse de l’enfant en km.h-1.
c. En supposant que les frottements avec l’air ne soient pas négligeables, tracer qualitativement sur
un même graphique Em(t) , Epp(t) et Ec(t).
4. On suppose que l’enfant reste immobile pendant les oscillations de la balançoire et on néglige les
frottements dus à l’air.
a. Parmi les expressions de la période T de la balançoire suivantes, quelle est celle qui correspond
à la période de la balançoire : (On justifiera par une analyse dimensionnelle.)
 :   
 ;  :    ;  :      :   
b. Calculer la période T de la balançoire.
5. La corde lâche au sommet de la trajectoire (point H).
a. Déterminer les coordonnées du point H et réaliser un schéma de la situation.
b. Exprimer alors le vecteur-accélération  subit par l’enfant qui se balançait.
c. Etablir l’équation de la trajectoire en supposant une vitesse horizontale d’intensité v0 lors de la
rupture de la corde.
d. Discuter des transferts énergétiques et les représenter sur un graphe en fonction de la distance x
parcourue.
e. Quel est la distance record parcourue par l’enfant dans sa chute libre ? Comment la battre ?
Donnée : g = 9,81 m.s-2

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1. a. Epp = mgz Or : z(t) = L – L.cos = L.(1 - cos) soit Epp = m.g.L.(1 - cos)
b. En M0, M est à son altitude maximale, son énergie potentielle sera donc maximale d’après le choix de
l’origine des énergies potentielles : Epp(M0) = m.g.L.(1 - cos)
Puis (t) décroit jusqu’à devenir nul lorsque M est en O, on a alors cos = 1 d’où : Epp = 0.
 Donc Epp décroit jusqu’à devenir nulle entre M0 et O.
2. a. Em = Ec + Epp = ½.m.v² + m.g.L.(1 - cos)
b. L’énergie mécanique est constante au cours du mouvement d’après l’hypothèse d’un mouvement sans frottements.
En effet, le poids est la seule force qui travaille. Or, il s’agit d’une force conservative. Donc d’après le théorème de l’énergie
mécanique, la variation de l’énergie mécanique est nulle.
c. Il y a conversion d’énergie potentielle en énergie mécanique au
cours du mouvement de la balançoire. L’énergie mécanique se
conserve, elle reste dons constante au cours du mouvement
d. W( ) =  = (m.g)  HO = m.g.L.(1 - cos)
W( ) =  = 0 car la tension du fil est continuellement orthogonale au déplacement.
3. a. Puisque l’énergie mécanique est constante, sa valeur lorsque M est en A est la même que lorsqu’il est en B.
En A, Ec(A) = 0 car la masse est lâchée sans vitesse initiale à t = 0 et Epp(A) = m.g.L.(1 - cos0) => Em(A) = 0 + m.g.L.(1 - cos0)
En B, (position d’équilibre) Em(B) = 
Or il ya conservation de l’énergie mécanique donc : Em(A) = Em(B) d’où   
b.    = 2,0 m.s-1 Soit v = 2,0  
 = 7,2 km.h-1
c. En supposant que les frottements avec l’air ne soient pas négligeables,
Le système subit une force non conservative (les
frottements), son énergie mécanique varie au cours du
temps.
4. a.   
  n’est pas homogène à une durée donc cette équation n’est pas possible.
   n’est pas homogène à une durée donc cette équation n’est pas possible.
   est homogène à une durée donc cette équation est possible !
  n’est pas homogène à une durée donc cette équation n’est pas possible.
b.   
 = 2,8 s
t (s)
Ec
Epp
Em
T0/4
T0/2
3T0/4
T0
Epp
Ec
Em
t (s)
T/4
T/2
3T/4
T