poly de méthodes numériques

Analyse num´erique 3 : ´evolution
Gabriel TURINICI
cours 2010-2011
Responsable cours : Gabriel TURINICI
Responsable TD : Gabriel TURINICI, Alessandra IACOBUCCI
Responsable des TP : Julien SALOMON
Volume horaire 20H cours + 14H TD + 6H TP
Semestre 6
Contrˆole des connaissances : NF = 0,3PR + 0.7E
(E = Examen , PR= Projet)
Objectif de l’enseignement : analyse num´erique des probl`emes d’´evolution
Site www : (utilisateur : “numeriqueM1” pass : “evolution”)
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1

Table des mati`eres
1 Exemples d’´equations d’´evolution : ´epid´emiologie, trafic, dif-
fusion de chaleur, finances 5
2´ Equations diff´erentielles ordinaires (EDO) 6
2.1 Existence et unicit´e de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sch´emas num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 D´efinition de 4 sch´emas : . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Erreur, consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.1 Erreur ........................... 9
2.3.2 Consistance et ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Stabilit´e et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Z´ero-stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Convergence........................ 11
2.4.3 Stabilit´e absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5 M´ethodes d’ordre sup´erieur : Runge-Kutta . . . . . . . . . . . 14
2.5.1 Construction de methodes d’ordre 2 (explicites) . . . . 15
2.5.2 Consistance ........................ 16
2.6 Pas de temps adaptatif pour R-K . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Syst`emesd’EDO ......................... 17
2.7.1 Stabilit´e d’un syst`eme : . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.2 Syst`emes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Application en ´epid´emiologie : mod`ele SIR . . . . . . . . . . . 19
2.9 Exercices.............................. 21
2.9.1 Ordre ........................... 21
2.9.2 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9.3 Lemme de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.9.4 Probl`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.9.5 Runge-Kutta ....................... 23
2

2.9.6 Syst`emes d’EDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3´ Equations diff´erentielles stochastiques (EDS) 25
3.1 Rappels : mouvement brownien, martingales, int´egrales et pro-
cessus stochastiques, formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Rappels : Taylor sous forme int´egrale . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Formules d’Ito -Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Sch´emas num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.1 Euler-Maruyama et Milshtein . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2 Sch´emas implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Consistance ............................ 33
3.5 Convergence............................ 34
3.6 Application au delta-hedging des options et ´equation de Black&
Scholes............................... 34
3.6.1 Options .......................... 34
3.6.2 Portefeuille auto-financ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.3 Valorisation des options par delta hedging, ´equation de
Black&Scholes ...................... 36
3.6.4 Valorisation des options par probabilit´e risque-neutre . 36
3.7 Exercices.............................. 37
3.7.1 EDS : solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Lois de conservation et ´equations hyperboliques 42
4.1 D´erivation............................. 42
4.2 M´ethode des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.1 R´esolution d’un probl`eme hyperbolique par la m´ethode
des caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Probl`eme de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.3.1 Conclusion......................... 50
4.4 G´en´eralit´es sur les diff´erences finies . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.1 Exercices ......................... 51
4.5 Sch´emas num´eriques (FTCS, Lax, upwind, stabilit´e) . . . . . . 52
4.5.1 Le sch´ema FTCS (Forward Time Centered Space) . . . 52
4.5.2 Le sch´ema de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.3 Le sch´ema ”upwind” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.4 Sch´emas d’ordre deux : Lax-Wendroff . . . . . . . . . . 56
4.6 Exercices.............................. 57
3

5´ Equations aux d´eriv´ees partielles (EDP), ´equation de la cha-
leur 60
5.1 Motivation : ´evaluation d’options par Black & Scholes . . . . . 60
5.2 Rappels sur les EDP : espaces fonctionnels, formulation varia-
tionnelle, lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2.1 Motivation......................... 61
5.2.2 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.3 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.4 Lemme de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Formulations variationnelles (Galerkin) pour la discr´etisation
desEDP.............................. 65
5.3.1 Convergence........................ 65
5.3.2 Mise en oeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3.3 Illustration : interpolation P1pour fonctions C2. . . . 68
5.4 Diff´erences finies pour des EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.1 Euler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.4.2 Euler implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.3 Crank-Nicholson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4.4 Retour `a Black&Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Exercices.............................. 73
4

Chapitre 1
Exemples d’´equations
d’´evolution : ´epid´emiologie,
trafic, diffusion de chaleur,
finances
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