La formule des traces de Lefschetz

La formule des traces de Lefschetz-Verdier
Rencontre ARIVAF 4 - Exposé (4), Cédric Pépin
1
Correspondance de Frobenius géométrique
1.1. Soient p un nombre premier, m un entier
1, q := pm . On pose k := Fq et on fixe une clôture
algébrique k de k. On note avec une barre les objets sur k obtenus à partir d’objets sur k par le changement
de base k ! k.
1.2. Soient f : X ! Spec(k) un k-schéma. Le m-ième itéré du Frobenius absolu de X coïncide avec le
m-ième itéré du Frobenius relatif de X sur k. On note FX/k ce k-endomorphisme de X. Soit L un faisceau
sur X, que l’on identifie au X-espace algébrique étale qui le représente. On a
L
FL
FL/X
(FX/k )L
"
/L
FX/k
✏
/X
!
⇤
FX/k
L
(FX/k )L
#
/L
✏
X
FX/k
✏
/ X.
⇤ L
FX/k
✏
X
au-dessus de
L
FL
FL/X
Comme L est étale sur X, le Frobenius relatif FL/X est un isomorphisme (puisque c’est alors un homéomorphisme universel étale). En particulier, FL/X définit un X-isomorphisme
FL/X : L
⇠
/ F ⇤ L = F ⇤ L.
X/k
X/k
Définition 1.3. La correspondance de Frobenius géométrique sur L est le couple (FX/k , FL/X
1
1
).
Définition 1.4. L’ opération de Frobenius géométrique sur R (X, L) est la composée
Rf ⇤ (FL/X
Rf ⇤ L
/ Rf ⇤ F ⇤ L
X/k
R (X, L)
/ R (X, F ⇤ L)
X/k
1
R (X,FL/X
)
/ Rf ⇤ L
1
)
/ R (X, L)
où la première flèche est la composée canonique
Rf ⇤ L
⇤
/ Rf ⇤ RF
X/k⇤ FX/k L
⇤
Rf ⇤ FX/k
L.
1.5. L’opération de Frobenius géométrique induit des opérations sur les groupes de cohomologies, et
celles-ci s’étendent aux Z` - et Q` -faisceaux.
2
La formule des traces pour un schéma propre
2.1. Soient p un nombre premier, m un entier
1, q := pm et ` un premier différent de p.
1
Théorème 2.2 ([SGA 4 2 ] 3.2). Soient X un schéma propre sur Fq et L un Q` -faisceau constructible sur
X. Alors :
✓
◆
✓
◆
X
X
1
1
i
i
( 1) Tr (FX/k , FL/X ) , H (X, L) =
Tr FL/X
, Lx .
i
x2X(Fq )
2.3. Pour L = Q` , on a FL/X = Id et le terme de droite égale le cardinal de X(Fq ).
2.4. Il existe une version de cette formule au niveau fini, c’est-à-dire dans laquelle les coefficients `-adiques
sont remplacés par des coefficients de torsion. La formule au niveau fini entraîne la formule `-adique par
1
passage à la limite ([SGA 4 2 ] 4.13). Cependant, des groupes de cohomologie à valeurs dans des faisceaux
de torsion ne sont en général pas libres, et il faut donc commencer par donner un sens au terme de gauche
de 2.2 dans ce cas. Ceci est possible grâce aux propriétés du complexe R (X, L).
2.5. Soient n un entier 1 et ⇤ := Z/`n . On note Kparf la catégorie dont les objets sont les complexes
bornés de ⇤-modules libres de type fini, et dont les morphismes sont les classes d’homotopie de morphismes
de complexes. On note D la catégorie dérivée des ⇤-modules et Dparf l’image essentielle du foncteur
pleinement fidèle naturel
Kparf ! D.
1
Lemme 2.6 ([SGA 4 2 ] 4.5.1). Soit P 2 Ob D . Alors P 2 Ob Dparf si et seulement si P est de Tordimension finie à cohomologie de type fini.
1
Théorème 2.7 ([SGA 4 2 ] 4.9). Soit X un schéma propre sur un corps séparablement clos. Soit L un
faisceau de ⇤-modules sur X, plat et constructible. Alors R (X, L) 2 Ob Dparf .
Démonstration. Les H i (X, L) sont nuls pour i > 2 dim(X) d’après le théorème d’annulation, et de type
fini d’après le théorème de finitude. De plus R (X, L) est de Tor-dimension  0 : cela se voit sur la
formule de Künneth
R (X, L) ⌦L M = R (X, L ⌦L M ),
puisque L ⌦L M = L ⌦ M d’après l’hypothèse de platitude sur L. Le lemme 2.6 conclut.
2.8. Ceci étant, la trace d’un endomorphisme de R (X, L) (par exemple la trace de l’opération de
Frobenius géométrique 1.4) est définie au moyen du lemme suivant.
Lemme 2.9. Pour tout P1 , P2 2 Ob Dparf , posant DP1 := RHom(P1 , ⇤), on a un isomorphisme canonique
⇠
/ DP1 ⌦L P2 .
RHom(P1 , P2 )
2
Démonstration. On peut supposer P1 2 Ob Kparf , de sorte que
RHom(P1 , P2 ) = Hom· (P1 , P2 ),
DP1 = Hom· (P1 , ⇤)
et DP1 2 Ob Kparf .
Il s’agit alors de construire un isomorphisme
Hom· (P1 , P2 )
⇠
/ Hom· (P1 , ⇤) ⌦ P2 .
(1)
Comme P1 2 Ob Kparf , on dispose d’isomorphismes canoniques
⇠
cani,j : Hom(P1i , P2j )
/ Hom(P1i , ⇤) ⌦ P j
2
et on définit (1) en degré d 2 Z par
L
j=i+d (
1)i cani,j :
L
j=i+d
Hom(P1i , P2j )
⇠
/
L
i+j=d
Hom(P1i , ⇤) ⌦ P2j .
Le choix des signes ( 1)i est fait pour rendre ces flèches compatibles aux différentielles des complexes
Hom· (P1 , P2 ) et Hom(P1 , ⇤) ⌦ P2 .
Définition 2.10 ([SGA 6] I 8.1). Pour tout P 2 Ob Dparf , on appelle trace l’homomorphisme de ⇤modules
/⇤
Tr(·, P ) : Hom(P, P )
obtenu en appliquant H 0 à la composée
RHom(P, P )
⇠
/ DP ⌦L P
/ ⇤,
la première flèche étant l’isomorphisme 2.9 et la seconde l’évaluation.
2.11. Si u est un endomorphisme d’un complexe P de Kparf , on a donc
X
Tr(u, P ) =
( 1)i Tr(ui )
i
où les traces du second membre sont les traces usuelles d’endomorphismes de ⇤-modules libres de type
fini, et Tr(u, P ) ne dépend que de la classe d’homotopie de u.
2.12. Rappelons par ailleurs que les germes d’un faisceau de ⇤-modules plat sont plats (cf. [SGA 4] V
1.6 1)), et donc libres de rang fini s’ils sont de type fini. La trace d’un endomorphisme d’un germe est
alors bien définie.
1
Théorème 2.13 ([SGA 4 2 ] 4.10). Soient X un schéma propre sur Fq et L un Z/`n -faisceau sur X, plat
et constructible. Alors :
✓
◆
✓
◆
X
1
1
Tr (FX/k , FL/X ) , R (X, L) =
Tr FL/X
, Lx .
x2X(Fq )
2.14. La suite de cet exposé est consacrée à la méthode de Artin et Verdier fournissant une démonstration
de 2.13 lorsque X est une courbe propre et lisse. La première étape est la formule de Lefschetz-Verdier
exprimant le membre de gauche en termes locaux, valable pour un Fq -schéma propre quelconque. La
seconde étape est le calcul des termes locaux dans le cas d’une courbe propre et lisse.
3
Formules de Künneth
3.1. Soient S le spectre d’un corps, ` un nombre premier inversible sur S, n un entier 1 et ⇤ := Z/`n .
Pour un morphisme séparé de type fini f : X ! S, on écrira souvent f⇤ , f! et f ! au lieu de Rf⇤ , Rf!
et Rf ! . Si f est lisse de dimension d, alors f ! = f ⇤ (·)(d)[2d] par dualité de Poincaré. On note D(X)
la catégorie dérivée des faisceaux de ⇤-modules sur X et Dctf (X) la sous-catégorie pleine de D (X)
formée des complexes isomorphes dans D (X) à un complexe borné de faisceaux de ⇤-modules plats et
constructibles.
3
3.2. Le lemme 2.6 et le théorème 2.7 se généralisent comme suit : un objet de D (X) est un objet de
1
Dctf (X) si et seulement si il est de Tor-dimension finie à cohomologie constructible ([SGA 4 2 ] 4.6) ; si
f : X ! Y est un morphisme de S-schémas séparés de type fini, alors f! Dctf (X) ⇢ Dctf (Y ) (loc. cit.
4.5.1). On a par ailleurs f ⇤ Dctf (Y ) ⇢ Dctf (X), et f⇤ Dctf (X) ⇢ Dctf (Y ), f ! Dctf (Y ) ⇢ Dctf (X) d’après les
1
théorèmes de finitude de [SGA 4 2 ] [Th. finitude] (cf. loc. cit. 1.7).
3.3. Le lemme 2.9 admet la généralisation fondamentale suivante :
Théorème 3.4 ([SGA 5] III 3.1.1). Soit un carré cartésien de S-morphismes séparés de type fini
X
p1
p2
~
X1
X2
f1
S.
f2
~
Pour tout Li 2 Ob Dctf (Xi ), posant KX1 := f1! ⇤ et DL1 := RHom(L1 , KX1 ), on a un isomorphisme
canonique
⇠
/ DL1 ⌦L L2
RHomS (L1 , L2 )
S
avec
RHomS (·, ·) := RHom(p⇤1 (·), p!2 (·))
(·) ⌦LS (·) := p⇤1 (·) ⌦L p⇤2 (·).
et
3.5. Signalons simplement que ce théorème est une conséquence des formules de Künneth suivantes, qui
1
nécessitent [SGA 4 2 ] [Théorème de finitude] 1.9.
Théorème 3.6 ([SGA 5] III 1.6.4 et 1.7.3). Soient un diagramme de S-morphismes séparés de type fini
f1
XO 1
X1 ⇥ S X2
/ Y1
O
f =f1 ⇥S f2
✏
X2
/ Y1 ⇥ S Y2
✏
/ Y2
f2
et Li 2 Ob Dctf (Xi ), Mi 2 Ob Dctf (Yi ). On a des isomorphismes de Künneth
f1⇤ L1 ⌦LS f2⇤ L2
f1! M1 ⌦LS f2! M2
4
⇠
⇠
/ f⇤ (L1 ⌦L L2 )
(2)
/ f ! (M1 ⌦L M2 ).
S
(3)
S
Correspondances cohomologiques
4.1. Les notations sont celles de 3.1.
4.2. Soient un carré cartésien de S-morphismes séparés de type fini
X
p1
X1
p2
~
X2
f
f1
✏ ~
S
et Li 2 Ob Dctf (Xi ).
4
f2
Définition 4.3. Les éléments de
HomS (L1 , L2 ) := H 0 X, RHomS (L1 , L2 ) = Hom(p⇤1 L1 , p!2 L2 )
sont les correspondances cohomologiques de L1 à L2 .
4.4. Soient c : C ! X une immersion fermée, c1 , c2 les morphismes obtenus par composition avec p1 ,
p2 :
C
c
✏
X
c1
p1
c2
p2
~
! ⇣
X2 .
X1
Définition 4.5. Les éléments de Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) sont les correspondances cohomologiques de L1 à L2
à support dans C.
4.6. D’après la formule d’induction [SGA 4] XVIII 3.1.12.2, on a un isomorphisme canonique
c! RHom(p⇤1 L1 , p!2 L2 )
⇠
/ RHom(c⇤1 L1 , c!2 L2 )
d’où, grâce à l’adjonction c⇤ c! ! Id, une flèche
Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 )
/ HomS (L1 , L2 ).
4.7. Soient F : X2 ! X1 un S-morphisme et c : C := Im(F, Id) ! X son graphe, définissant un
diagramme
C
c
✏
X
c1
p1
c2
p2
~
! ⇣
X2 .
F
X1 o
En identifiant C à X2 via l’isomorphisme c2 , on obtient
RHom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) = RHom(F ⇤ L1 , L2 )
Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) = Hom(F ⇤ L1 , L2 ).
Par exemple, pour X1 = X2 = T , L1 = L2 = L,
1 2 Hom(L, L)
définit la correspondance diagonale sur L à support dans la diagonale
1
p1
T
✏
T ⇥S T
2
p2
# ✓
T.
{
Avec les notations de la section 1, pour X1 = X2 = X, L1 = L2 = L,
FL/X
1
⇤
2 Hom(FX/k
L, L)
5
de T ⇥S T
définit la correspondance de Frobenius géométrique cohomologique sur L à support dans le graphe
FX/k
1
p1
✏
X ⇥k X
2
p2
# ✓
X.
FX/k
{
Xo
de
4.8. Le morphisme f : X ! S de 4.2 induit une image directe
(·)⇤ : Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 )
/ Hom(f1⇤ L1 , f2⇤ L2 ).
On l’obtient en appliquant H 0 (X, ·) à la composée
f⇤ c⇤ c! RHomS (L1 , L2 )
/ f⇤ RHomS (L1 , L2 )
⇠
/ RHomS (f1! L1 , f2⇤ L2 ),
où la première flèche est donnée par adjonction, et la seconde par dualité de Poincaré :
f⇤ RHomS (L1 , L2 )
⇠
/ RHomS (f1! L1 , f2⇤ L2 )
⇠
✏
/ D(f1! L1 ) ⌦L f2⇤ L2 .
S
(2) (3.4)
✏
f1⇤ DL1 ⌦LS f2⇤ L2
(3.4)
4.9. Lorsque c est le graphe d’un endomorphisme F d’un t : T ! S séparé de type fini, on peut vérifier
que l’image directe d’une correspondance u sur un L 2 Ob Dctf (T ) à support dans le graphe de F est
l’endomorphisme de t⇤ L composé de l’image inverse t⇤ L ! t⇤ F ⇤ L et de t⇤ u : t⇤ F ⇤ L ! t⇤ L ([SGA 5] III
3.5 et 3.6). En particulier, l’image directe de la correspondance de Frobenius géomérique cohomologique
4.7 est précisément l’opération de Frobenius géométrique 1.4.
5
Accouplements de correspondances et formule de LefschetzVerdier
5.1. On considère toujours la situation 4.2. On a des flèches d’évaluation
p⇤i DLi ⌦L p⇤i Li = p⇤i RHom(Li , KXi ) ⌦L p⇤i Li
/ p⇤ K X i
i
⇠
qui, compte tenu de l’isomorphisme de Künneth KX1 ⌦LS KX2 ! KX (3), fournissent un accouplement
(DL1 ⌦LS L2 ) ⌦L (DL2 ⌦LS L1 )
/ KX .
D’après 3.4, celui-ci peut encore s’écrire
RHomS (L1 , L2 ) ⌦L RHomS (L2 , L1 )
/ KX .
D’où un cup-produit
h , i : HomS (L1 , L2 ) ⌦ HomS (L2 , L1 )
/ H 0 (X, KX ) :
l’accouplement de
et
est
u 2 HomS (L1 , L2 ) = H 0 X, RHomS (L1 , L2 ) = Hom ⇤, RHomS (L1 , L2 )
v 2 HomS (L2 , L1 ) = H 0 X, RHomS (L2 , L1 ) = Hom ⇤, RHomS (L2 , L1 )
hu, vi : ⇤
u⌦v
/ RHomS (L1 , L2 ) ⌦L RHomS (L2 , L1 )
6
/ KX .
5.2. Lorsque X1 = X2 = S est le spectre d’un corps séparablement clos, c’est-à-dire dans la situation
2.5, le cup-produit s’écrit
/⇤
h , i : Hom(P1 , P2 ) ⌦ Hom(P2 , P1 )
et hu, vi = Tr(uv) = Tr(vu) ([SGA 6] I 8.3).
5.3. Plus généralement, considérons un carré cartésien d’immersions fermées au-dessus du carré 4.2
E
}
C
!
e
c
D
d
! ✏ }
X
p1
X1
p2
~
X2
f
f1
f2
✏ ~
S.
On construit un cup-produit
h , i : Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) ⌦ Hom(d⇤2 L2 , d!1 L1 )
/ H 0 (E, KE )
de la façon suivante. On part de la flèche canonique
c! (DL1 ⌦LS L2 ) ⌦LX d! (L1 ⌦LS DL2 )
/ e! (DL1 ⌦L L2 ) ⌦L (L1 ⌦L DL2 )
S
S
obtenue par adjonction à partir de
e⇤ c! (DL1 ⌦LS L2 ) ⌦LX d! (L1 ⌦LS DL2 )
(2)
/ c⇤ c! (DL1 ⌦L L2 ) ⌦L d⇤ d! (L1 ⌦L DL2 )
S
S
/ (DL1 ⌦L L2 ) ⌦L (L1 ⌦L DL2 ).
S
S
En lui appliquant e⇤ et en utilisant à nouveau l’isomorphisme de Künneth (2) 1 , on obtient une flèche
c⇤ c! (DL1 ⌦LS L2 ) ⌦L d⇤ d! (L1 ⌦LS DL2 )
/ e⇤ e! (DL1 ⌦L L2 ) ⌦L (L1 ⌦L DL2 ) .
S
S
Composant avec l’accouplement
(DL1 ⌦LS L2 ) ⌦L (DL2 ⌦LS L1 )
/ KX
de 5.1, il en résulte un accouplement
c⇤ c! (DL1 ⌦LS L2 ) ⌦L d⇤ d! (L1 ⌦LS DL2 )
/ e ⇤ e ! KX = e ⇤ K E ,
ou encore (3.4 et induction)
c⇤ RHom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) ⌦L d⇤ RHom(d⇤2 L2 , d!1 L1 )
/ e ⇤ KE ,
d’où l’on déduit le cup-produit annoncé.
1. Ici et ci-dessus, on utilise (2) seulement dans sa version propre [SGA 4] XVII 5.4.3.
7
Théorème 5.4 (Formule de Lefschetz-Verdier [SGA 5] III 4.7). Soient deux carrés cartésiens de Smorphismes propres, le carré supérieur étant constitué d’immersions fermées
E
}
C
!
e
c
D
d
! ✏ }
X
p1
X1
~
R
E
X2
f
f1
Soit
p2
✏ ~
S.
: H 0 (E, KE )
f2
/ H 0 (S, KS )
la flèche déduite de l’adjonction (f e)⇤ KE = (f e)⇤ (f e)! KS ! KS . Alors, pour tout Li 2 Ob Dctf (Xi ), le
carré
h , i
/ H 0 (E, KE )
Hom(c⇤1 L1 , c!2 L2 ) ⌦ Hom(d⇤2 L2 , d!1 L1 )
(·)⇤ ⌦(·)⇤
✏
Hom(f1⇤ L1 , f2⇤ L2 ) ⌦ Hom(f2⇤ L2 , f1⇤ L1 )
h , i
est commutatif :
(Tr(u⇤ v⇤ ) = Tr(v⇤ u⇤ ) =)hu⇤ , v⇤ i =
Z
E
R
E
✏
/ H (S, KS )
0
hu, vi.
5.5. Le premier membre est de nature globale tandis que le second est de nature locale.
Corollaire 5.6. Soit t : T ! S un S-schéma propre, ⇢ T ⇥S T la diagonale, F un S-endomorphisme
de T , T F := (graphe de F ) ⇥T ⇥S T le schéma des points fixes de F , L 2 Ob Dctf (T ), u 2 Hom(F ⇤ L, L)
une correspondance sur L à support dans le graphe de F , 1 2 Hom(L, L) la correspondance diagonale sur
L. Alors :
Z
Tr(u⇤ ) =
TF
hu, 1i,
où u⇤ est l’endomorphisme de t⇤ L composé de l’image inverse t⇤ L ! t⇤ F ⇤ L et de t⇤ u : t⇤ F ⇤ L ! t⇤ L.
5.7. Supposons que S soit le spectre de Fq , que T provienne d’un Fq -schéma par extension des scalaires,
que F soit l’endomorphisme de Frobenius relatif de T sur Fq , et que u soit la correspondance de Frobenius
géométrique cohomologique sur L. Alors u⇤ est l’opération de Frobenius géométrique (4.9) et T F = T (Fq )
puisqu’alors dF = 0. Pour établir 2.13, il reste à calculer les termes locaux.
6
Calcul des termes locaux pour une courbe propre et lisse
6.1. On se place dans la situation de 5.6, et l’on suppose de plus que S est le spectre d’un corps
algébriquement clos et que T est une courbe propre et lisse sur S. Pour prouver 5.6, il suffit d’étudier la
situation au voisinage d’un point fixe z de F en lequel la fibre de L est nul ([SGA 5] III B 2.2 et 2.3).
Suivant [V] 6, nous allons traiter le cas particulier clé où L est l’extension par 0 du faisceau constant de
valeur ⇤ := Z/` sur T z. On note X le localisé strict de T ⇥S T en x := (z, z). On note X1 et X2
les sous-schémas fermés de X induits par les immersions Id ⇥z et z ⇥ Id de T dans T ⇥S T . On note
: ! X le sous-schéma fermé de X induit par le graphe de F et : ! X celui induit par la diagonale
de T ⇥S T .
8
6.2. Par localisation stricte en x (et formule d’induction), on est ramené à voir que le cup-produit
Hom(
⇤
!
1 L, 2 L)
⌦ Hom( 1⇤ L,
h , i
!
2 L)
H 0 (X, DL ⌦LS L) ⌦ H 0 (X, L ⌦LS DL)
h , i
/ H 0 (x, Kx ) = ⇤
/ H 0 (x, Kx ) = ⇤
est nul. Or celui-ci se décompose en
H 0 (X, DL ⌦LS L) ⌦ H 0 (X, L ⌦LS DL)
/ Hx0 X, (DL ⌦L L) ⌦L (L ⌦L DL)
S
S
/ H 0 (x, Kx )
et la première flèche se factorise par
r0 ⌦ 1 : H 0 (X, DL ⌦LS L) ⌦ H 0 (X, L ⌦LS DL)
/ Hx0 ( , DL ⌦L L) ⌦ H 0 (X, L ⌦L DL).
S
Il suffit donc de montrer que la restriction
r0 : H 0 (X, DL ⌦LS L)
/ Hx0 ( , DL ⌦L L)
est nulle.
6.3. En utilisant la suite exacte longue d’hypercohomologie à support dans , on obtient le diagramme
commutatif exact
H
H
1
1
, DL ⌦LS L)
(X
✏
(X
/ H 0 (X, DL ⌦L L)
S
X2 , DL ⌦LS L)
/0
r0
r
H
1
✏
x, DL ⌦L L)
(
✏
/ Hx0 ( , DL ⌦L L)
/0
et il suffit de montrer que r est nulle.
6.4. D’après notre choix particulier de L (6.1), on a des isomorphismes (non canoniques)
H
1
⇠
X2 , DL ⌦LS L
X
H
1
(
et il s’agit de montrer que la restriction
x, DL ⌦L L)
r : H1 X
X2 , ⇤X
/ H1 X
⇠
/ H 1(
X2 , ⇤X
x, ⇤)
/ H 1(
X1
X1
x, ⇤)
est nulle.
6.5. La suite exacte
0
/ ⇤X
X1
/⇤
/ ⇤X
1
/0
fournit un diagramme commutatif
H1 X
X2 , ⇤X
/ H1 X
X1
r
X2 , ⇤
v
/ H 1 (X1
x, ⇤)
u
*
H 1(
✏
x, ⇤)
et l’on est finalement ramené à montrer l’inclusion Ker v ⇢ Ker u. Celle-ci a la signification suivante :
Soit X 0 ! X
X2 un revêtement galoisien de groupe Z/` dont la restriction à X1
Alors sa restriction à
x est triviale.
9
x est triviale.
6.6. Prouvons cette assertion. Soient a et b des paramètres de et X2 dans X. D’après le lemme de
pureté rappelé ci-dessous, le revêtement X 0 est donné par une équation du type
Z ` = a q a bq b ,
qa , qb 2 {0, . . . , `
1}.
On peut supposer ce revêtement non-trivial, c’est-à-dire qa + qb > 0. Comme est en position générale
par rapport à X1 , a engendre l’idéal maximal de O(X1 ), tout comme b. Notant ⇡1 une uniformisante de
O(X1 ), l’équation de X 0 au-dessus de X1 x est donc de la forme
Z ` = u1 ⇡1qa +qb
où u1 est une unité de O(X1 ). Comme par hypothèse cette équation possède une solution dans le corps
Frac(O(X1 )), on en déduit que qa + qb = `. Par suite,
étant en position générale par rapport à et
X2 , la restriction de X 0 au-dessus
x est de la forme
Z ` = u ⇡`
où ⇡ est une uniformisante de O( ) et u une unité de O( ). Mais Z ` u est scindé à racines simples
puisque O( ) est strictement hensélien, et par conséquent X 0 est bien trivial au-dessus de
x.
Lemme 6.7 ([SGA 4] XIX 1.3). Soient A un anneau strictement local régulier, a 2 rad A un paramètre,
X := Spec(A) et U := Spec(A[1/a]). Alors pour tout n inversible sur X, on a des isomorphismes
H 1 (U, µn ) o
⇠
H 0 (U, Gm )/H 0 (U, Gm )n
⇠
orda
/ Z/n.
Démonstration. Comme X est régulier, la restriction Pic(X) ! Pic(U ) est surjective, et par conséquent
Pic(U ) = Pic(X) = 0
puisque X est local. Le premier isomorphisme en résulte via la suite exacte de Kummer pour n sur U .
Le second isomorphisme provient quant à lui de la suite exacte
0
/ H 0 (X, Gm )
/ H 0 (U, Gm )
0
/ A⇤
/ A[1/a]⇤
orda
/ Z/n
/0
/ Z/n
/ 0,
en notant que A⇤ est n-divisible puisque A est strictement hensélien et n premier à la caractéristique
résiduelle.
Références
[SGA 4] A. Grothendieck et al., Théorie des topos et cohomologie étale, Lect. Notes Math. 269, 270,
305, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1972-1973.
1
[SGA 4 2 ] P. Deligne et al., Cohomologie étale, Lect. Notes Math. 569, Springer, Berlin-Heidelberg-New
York, 1977.
[SGA 5] A. Grothendieck et al., Cohomologie `-adique et fonctions L, Lect. Notes. Math. 599, Springer,
Berlin-Heidelberg-New York, 1977.
[SGA 6] A. Grothendieck et al., Théorie des intersections et Théorème de Riemann-Roch, Lect. Notes
Math. 225, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1971.
[V] J.-L. Verdier, The Lefschetz fixed point formula in étale cohomology, Proceedings of a conference on
local fields, Springer-Verlag, 1967.
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