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II. Exercices (10 points – 1 heure 15 minutes)
1. Une fusée de 7200 kg (carburant compris) se déplace à la vitesse de 1500 m/s.
On décide de modifier sa trajectoire d’un angle de 1,00°, en allumant brièvement les
moteurs. Les tuyères sont orientées de manière telle que les gaz de combustion soient
expulsés perpendiculairement à la direction initiale, à la vitesse de 2400 m/s.
Quelle quantité de gaz faut-il brûler ?
(4 points)
A la fin de l’expulsion des gaz, de masse m2, la masse de la fusée est (m1 – m2) et sa vitesse
v2.
Conservation de la quantité de mouvement :
- selon la direction initiale, x :
m1 v1x = (m1 – m2) v2x (1)
- selon la direction perpendiculaire, y :
0 = (m1 – m2) v2y – m2 vgaz (2)
Or v2y = v2x tg θ
=> (2) devient : (m1 – m2) v2x tg θ = m2 vgaz
On porte dans (1) :
m1 v1x = m2 vgaz / tg θ
=> m2 = m1 v1x tg θ / vgaz
=> m2 = 7200 kg . 1500 m/s . 0.017 / 2400 = 78,6 kg
2. Deux personnes qui pèsent 750 N chacune sont à bord d’une barque dont la masse est
de 80 kg. La barque se déplace à la vitesse de 0,50 m/s, en faisant un angle de 45° par
rapport à la rive ; il n’y a pas de courant. Au moment où la barque est éloignée de la
rive de 50 cm, un retardataire pesant 700 N arrive en courant à 18 km/h et saute sur la
barque, dans la direction du mouvement de celle-ci. En négligeant les frottements, à
quelle distance de la rive la barque sera-t-elle 5 s après le saut du retardataire ?
(3 points)
Conservation de la quantité de mouvement dans la direction du mouvement de la barque, la
vitesse du retardataire étant de 5,0 m/s et celle de la barque chargée du retardataire étant v :
(1500 + 800) . 0,50 + 700 . 5,0 = (1500 + 800 + 700) . v
=> v = (1150 + 3500) / 3000 = 1,55 m/s
Composante de la vitesse de la barque, dans la direction perpendiculaire à la rive :
v sin 45° = 1,096 m/s
Distance entre la barque et la rive après 5 s : 1,096 m/s . 5 s + 0,50 m = 6,0 m
3. Une certaine corde casse si on y suspend un objet dont la masse est supérieure à 8,00
kg.
On accroche à l’extrémité de cette corde, longue de 1m, une pierre de 1,00 kg, que l’on
fait tourner dans le plan vertical. La corde risque-t-elle de casser ? Si oui, dans quelles
circonstances exactement ? Si non, pourquoi ?
(3 points)
La tension maximale dans la corde est de 80 N.
La tension est maximale quand la pierre est dans la position la plus basse, et elle vaut
Tmax = m g + m ωmax2 R
=> la corde casse si m ωmax2 R = 70 N => ωmax = 8,37 rad/s