Intégrales. Primitives

CALCULS D'AIRES.
INTEGRALES.
PRIMITIVES
1°) Intégrale d'une fonction.
Soit f une fonction définie sur [a ; b] et C sa courbe représentative dans un repère

→

→
orthogonal (O ; i ; j ).
→

→
→
Si I est le point tel que OI = i , J le point tel que OJ = et K le point tel que OIKJ
est un rectangle, on appelle unité d'aire et on note u.a l'aire du rectangle OIKJ.
J
K
o
I
Prop 1 et déf 1: Si f est continue et positive sur [a ; b], on admet que le domaine E
situé sous la courbe (entre la courbe, l'axe des abscisses, les droites
d'équations x = a et x = b) admet une aire.
On appelle intégrale de a à b de la fonction f, l'aire, en unités d'aire, du domaine E.
b
On la note ⌠
⌡a f (x) dx = A(E).
Remarque : E est l'ensemble des points M(x ; y) tels que
b
b
b
⌠
⌡a f (x) dx = ⌠
⌡a f (t) dt = ⌠
⌡a f (u) du = …..
a
a≤x≤b

 0 ≤ y ≤ f (x)
1
K
o
1
b
B'
y
5
Exemple A = ⌠
⌡2 (x + 1) d x.
C
f
la courbe est ici la droite d'équation y = x + 1.
A est l'aire du trapèze AA'B'B
(AA' + BB') x AB (3 + 6) x 3
donc A =
=
= 13,5 u.a.
2
2
A'
1
O
Déf 2 : Si f est continue et négative sur [a ; b], on appelle intégrale de a à b
de la fonction f, l'opposé de l'aire, en unités d'aire, du domaine E situé
entre la courbe et l'axe des abscisses.
b
On la note ⌠
⌡a f (x) dx = – A(E).
B x
1A
1
O
1 u.a.
A
1A'
B
x
Remarque : si f ≥ 0, l'aire est comptée positivement
si f ≤ 0, l'aire est comptée négativement.
on dit que l'intégrale est une aire algébrique.
B'
Déf 3 : Si f est continue et de signe non constant sur [a ; b], on appelle
intégrale de a à b la somme des "aires algébriques" des domaines situés
entre la courbe et l'axe des abscisses.
b
ici ⌠
⌡a f (x) dx = – E1 + E2 – E3 + E4.
1
O
E4
1 u.a. E2
a
1
E3
C
f
Déf 4 : Si la fonction f est continue sur un intervalle I, pour tous réels a et b de I,
⌠ab f (x) dx = – ⌡
⌠ba f (x) dx
si a ≥ b ⌡
si a = b
b
⌠
⌡a f (x) dx = 0.
E1
b x
y
2°) Propriétés de l'intégrale .
a) Relation de Chasles.
prop 2 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a, b, c trois réels de I
⌠ac f (x) dx + ⌡
⌠cb f (x) dx = ⌡
⌠ab f (x) dx
⌡
1
O
1 a
b x
c
b) Linéarité.
Th 1: Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b deux réels de I , k un nombre réel.
b
b
⌠
⌡a [k.f (x)] dx = k ⌠
⌡a f (x) dx
b
b
b
b
⌠
⌡a (f + g) (x) dx = ⌠
⌡a [f (x) + g(x)] dx = ⌠
⌡a f (x) dx + ⌠
⌡a g (x) dx
c)Positivité et ordre.
Th 2 : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b] (a ≤ b)
b
si f est positive sur [a ; b] alors ⌠
⌡a f (x) dx ≥ 0
⌠ab f (x) dx ≤ 0
si f est négative sur [a ; b] alors ⌡
b
⌠ab g (x) dx
si f ≤ g sur [a ; b] alors ⌠
⌡a f (x) dx ≤ ⌡
remarque: les réciproques sont fausses : si f n'est pas de signe constant, l'intégrale peut être positive ou négative suivant
les exemples.
d) Valeur moyenne d'une fonction.
Th 3 : Inégalité de la moyenne.
Si f est une fonction continue sur [a ; b] telle que pour tout x de [a ; b],
m ≤ f (x) ≤ M, alors
⌠ab f (x) dx ≤ M (b – a)
m (b – a) ≤ ⌡
F
E
y
M
dans le cas où f est positive sur [a ; b],
l'aire sous la courbe est comprise entre l'aire du rectangle ABCD et l'aire
du rectangle ABEF
Déf 5 : Si f est une fonction continue sur [a ; b], on appelle valeur moyenne
1
⌠ b f (x) dx
de f sur [a ; b] le réel µ =
b – a ⌡a
on a m ≤ µ ≤ M
dans le cas où f est positive sur [a ; b],
l'aire sous la courbe est égale à l'aire du rectangle ABGH.
C
1
D
m
O
1 A
Bx
y
F
M
E
H
G
µ
e) Aire comprise entre deux courbes.
Th 4 : Soit deux fonctions f et g continues sur [a ; b],avec f ≤ g ; l'aire du
domaine compris entre les courbes, représentatives des deux fonctions et les
b
droites d'équations x = a et x = b est ⌠
⌡a ( g–f ) (x) dx.
1
D
m
C
O
1 A
Bx
y
O
a
bx
f ) Fonction paire, fonction impaire.
th 5 : Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle [-a ; a], où a est un réel.
a
a
Si f est une fonction paire alors ⌠
⌡-a f (x) dx = 2 ⌠
⌡0 f (x) dx.
a
Si f est une fonction impaire alors ⌠
⌡-a f (x) dx = 0.
1
-a
O
1
a
1
-a
O 1
a
3°) Intégrales et primitives.
a) Primitive d'une fonction.
Déf 6 : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable
sur I telle que F ' = f .
Prop 3 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a appartient à I, alors la fonction F définie sur I par
x
F (x) = ⌠
⌡a f (t) dt est une primitive de f sur I.
Prop 4 : Toute fonction continue sur I admet une infinité de primitives sur I.
Si F est une primitive de f, alors l'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G telles que
G(x) = F(x) + k avec k réel.
ex : sur ]0 ; + ∞[ , la fonction x

→
ln x est une primitive de la fonction x

→
1
, les primitives de la fonction ln sont
x
donc les fonctions G telles que G(x) = ln x + k avec k réel.
Prop 5 : Si x0 est un réel donné dans I et y0 un réel quelconque.
Alors il existe une primitive et une seule F de f sur I telle que G(x0) = y0.
Th 6 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a appartient à I, alors la fonction F définie sur I par
⌠ax f (x) dx est l'unique primitive de f sur I s'annulant pour x = a. ( F(a) = 0).
F(x) = ⌡
b) Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive.
Th 7 : Si f est une fonction continue sur un intervalle I et si a et b appartiennent à I, alors, pour toute primitive F
b
de f sur I, ⌠
⌡a f (x) dx = F(b) – F(a).
2
21
ex : ⌠
⌡1 x dx = [ ln x] 1 = ln 2 – ln 1 = ln 2.
4°) Calculs de primitives.
a) Primitives des fonctions usuelles.
f (x)
k
x n , n ∈ IN
1
x
1
= x -2
x2
1
= x –1/2
x
F (x)
kx+C
x n+1
+C
n+1
ln x + C
1
– +C
x
2 x+C
intervalle de validité
IR
IR
] – ∞ ; 0 [ou ]0 ; + ∞[
] – ∞ ; 0 [ou ]0 ; + ∞[
]0 ; + ∞[
la dérivée de x 3 est 3 x 3 – 1 = 3 x ²
1 3
1
la dérivée de
x est . 3 x ² = x ²
3
3
1 3
donc x est une primitive de x ² .
3
1
de même : x 4 est une primitive de x 3 .
4
l'exposant augmente de 1 et on divise par le
nouvel exposant.
x n , n entier négatif
n ≠ -1
α
x , α ∈ IR – {-1}
ex
cos x
sin x
e ax a ≠ 0
]- ∞ ;0[ ou ]0 ; + ∞[
x n+1
+C
n+1
x α+1
+C
α+1
e x +C
sin x + C
- cos x + C
1 ax
e +C
a
]0 ; + ∞[
attention la dérivée de sin x est cos x mais
une primitive de sin x est – cos x car
( - cos x )' = – (cos x)' = – (- sin x) = sin x
IR
IR
IR
IR
de même la dérivée de cos x est –sin x
mais une primitive de cos x est sin x car
( sin x )' = cos x
b) Primitives des fonctions composées usuelles.
f (x)
u u' , n ∈ z, n ≠ -1
n
u'
u²
u'
u
u'
u
u' e u
u' cos u
u' sin u
u(a x + b) a ≠ 0
3
5
ex ⌠
⌡1 (3 x – 4 ) dx =
avec u dérivable sur I et …
u ne s'annule pas sur I
quand n ≤ -2
u ne s'annule pas sur I
u > 0 sur I
u ne s'annulant pas donc de
de signe constant sur I
primitive
u n+1
+C
n+1
1
– +C
u
2 u+C
lnu + C
eu+C
sin u + C
– cos u + C
U une primitive de u
1 (3 x – 4) 6

3 
6
3
=
1
1
U(a x + b) + C
a
1 5 6 (-1) 6
1 15625 – 1
1
(
–
) = (
) = x 2604 = 868
3 6
6
3
6
3
c) Méthode d'intégration par parties.
Th 8 : Si u et v sont deux fonctions dérivables sur I telles que u' et v' soient continues sur I, alors pour tous réels
b
⌠ab u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)] a – ⌡
⌠ab u'(x) v(x) dx
a et b de I : ⌡
1
–2x
ex calculer ⌠
dx
⌡0 (x + 1) e
on ne connaît pas directement une primitive de (x + 1) e – 2x
on pose u(x) = x + 1
donc u'(x) = 1 on va dériver u car on va passer du degré 1 au degré 0 (une constante)
e –2x
v '(x) = e – 2 x donc v(x) =
-2
– 2x 1
–2x
e
e -2
e0
1 1 –2x
1
–2 x
(x + 1)
 – ⌠ 1 1 e
donc ⌠
(x
+
1)
e
dx
=
dx
=
2
–1
+ ⌠
e dx =
⌡0
⌡
0
0
-2 
-2
-2
-2
2 ⌡0

1 1 e – 2 x 1
1 1 e -2 e 0
1
e–2 1
5 e –2 3
–2
–2
– e– 2 + +
=
–
e
+
+
(
–
)
=
–
e
+
–
+
=
–
+


2 2  -2  0
2 2 -2
-2
2
4
4
4
4
e
ex calculer ⌠
⌡1 (x – 2 ) ln x dx
1
on pose u(x) = ln x donc u'(x) = .
x
on ne connaît pas de primitive de la fonction ln, on va donc la dériver
x²
–2x
2
e
x²
1 x²
e²
1
x
⌠1e (x – 2 ) ln x dx = ln x ( – 2 x) 1 – ⌡
⌠1e ( – 2 x) d x = [ln e ( – 2e) – ln 1 ( – 2)] – ⌡
⌠1e ( – 2) dx =
⌡
2
x
2
2
2
2


v '(x) = (x – 2)
donc v(x) =
e
e²
1x²
e²
e²
1
e²
e²
7 e² 7
– 2e – 
– 2 x 1 = – 2e – [ ( – 2 e) – ( – 2)] =
– 2e – + 2 e – = –
2
2
4
4
2
4
4
4 4
2 2

.
5°) Calcul de volumes.
Déf 7: unité de volume.
→
→
→
L'espace étant muni d'un repère orthogonal (O ; i ; j ; k ) , on appelle unité
de volume et on note u.v. ,le volume du parallélépipède OADBCEFG
→
→
→
→
→
→
tel que OA = i , OB = j , OC = k .
E
C
F
G
o
O
B
y
x
A
D
Th 9 (admis) :
→
→
→
L'espace étant muni d'un repère orthogonal (O ; i ; j ; k ) , soit a et b deux réels tels que a ≤ b et S un solide
compris entre deux plans P(a) et P(b) parallèles d'équations respectives z = a et z = b.
Soit P(t) le plan perpendiculaire à l'axe (Oz) d'équation z = t, et S(t) l'aire de la section du solide S par le plan P(t).
Si la fonction t   → S(t) est continue sur l'intervalle [a; b], alors le volume V du solide , en u.v. est donné par
b
V=⌠
⌡a S(t) dt.

→
→
→
Th 10 : L'espace étant muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j ; k ) , soit a et b deux réels tels que a ≤ b.
→
→
Soit f une fonction continue et positive sur [a; b], et C sa courbe représentative dans le repère (O ; i ; j ).
→
On note D le domaine limité par C, l'axe (O ; i ) et les droites d'équations x = a et x = b.
→
Alors le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de D autour de l'axe (O ; i ) est
b
V=π⌠
⌡a ( f (t) )² dt u.v.
6°) Cinématique.
→
Prop 6 : Soit un mobile M en mouvement sur une droite D munie d'un repère (O ; i ).
dX(t)
Soit les fonctions X : t   → X (t) et V t   → X ' (t) =
qui représentent respectivement l'équation du
dt
mouvement et la vitesse du mobile M.
1
⌠ t2 V(t) dt.
La vitesse moyenne du mobile entre les instants t1 et t2 (t1 < t2 ) est le réel:
t2 – t1 ⌡t1


ex : un mobile se déplace sur une droite, sa vitesse est donnée pour t ≥ 0 par V(t) = -5 t + 10.
Calculer sa vitesse moyenne entre les instants 1 et 5.
1
1 5
125
5
5 1
5
⌠
v1-5 =
(- 5 t + 10) dt =  – 2 t ² + 10 t  1 = [ ( + 50) – (- + 10)] = – 5
⌡
1


5–1
4
4
2
2
5
on peut vérifier : sa position est donnée par une primitive de V : X = - t ² + 10 t.
2
15
25
40
X(1) =
et X(5) = ; l'écart des positions est - = - 20 pour un écart de temps de 4 s; la vitesse moyenne est bien - 5
2
2
2
RESTITUTION ORGANISEE DE CONNAISSANCES
Pré-requis :
" Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de IR.
Soit a et b deux réels appartenant à I tels que a ≤ b.
b
Si pour tout x de [a; b], f (x) ≥ 0 , alors ⌠
⌡a f (x) d x ≥ 0. "
1. questions de cours.
a) Soit f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I de IR.
Soit a et b deux réels appartenant à I tels que a ≤ b.
Démontrer les propriétés suivantes :
b
b
(P1) : ∀ x ∈ [a ; b], f (x) ≤ g (x) ⇒ ⌠
⌡a f (x) d x ≤ ⌠
⌡a g (x) d x.
(P2) : si m et M sont deux réels tels que pour tout x de [a ; b] , m ≤ f (x) ≤ M ,
b
alors m (b – a) ≤ ⌠
⌡a f (x) d x ≤ M (b – a) .
b) Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle I de IR, soit a et b deux réels appartenant à I.
Démontrer la propriété suivante :
(P3) : si M est un réel strictement positif tel que pour tout x de I f (x) ≤ M , alors
⌠ab f (x) d x ≤ M b – a .
⌡
2. Application : Démontrer que : pour tout réel x et tout réel y, sin(x) – sin(y) ≤  x – y.
Réponse : on va utiliser la propriété (P3) avec f (t) = cos t.
x
x
⌠
⌡ cos t dt = [ sin t ] y = sin x – sin y.
y
pour tout réel t, – 1 ≤ cos t ≤ 1 donc cos t ≤ 1.
Donc d'après la propriété (P3)
x
⌠
⌡y cos t dt ≤ 1 x – y  donc  sin x – sin y ≤ x – y .