reflexion et transmission d`une onde electromagnetique a l`interface

PC-PC*%16/17% % Lycée%SCHWEITZER%Mulhouse%
%
REFLEXION)ET)TRANSMISSION)D’UNE)ONDE)ELECTROMAGNETIQUE))
A)L’INTERFACE)ENTRE)DEUX)MILIEUX)
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
On%s’intéresse%dans%ce%chapitre%à%la%réflexion%et%à%la%transmission%d’une%onde%%électromagnétique%sur%
une%interface%plane%infinie%séparant%deux%milieux.%
On%considère%que%l’interface%est%le%plan%x%=%0.%
On%se%placera%en%incidence)normale.)
)
)
)
)
)
)
%
%
%
%
)
%
1. Interfaces entre deux milieux
Réflexion d’une onde plane progressive
harmonique entre deux demi-espaces
d’indices complexes n1 et n2 sous incidence
normale : coefficients de réflexion et de
transmission du champ électrique.
Cas d’une interface vide-plasma.
Coefficients de réflexion et de transmission
en puissance.
Cas d’une interface vide-conducteur
ohmique de conductivité réelle constante.
Cas d’une interface vide-conducteur
ohmique dans le domaine optique visible.
Polarisation par réflexion vitreuse sous
incidence oblique.
Exploiter la continuité (admise) du champ
électromagnétique dans cette configuration
pour obtenir l’expression du coefficient de
réflexion en fonction des indices complexes.
Distinguer les comportements dans le
domaine de transparence et dans le
domaine réactif du plasma.
Établir les expressions des coefficients de
réflexion et transmission du champ pour un
métal réel. Passer à la limite d’une
épaisseur de peau nulle.
Identifier le comportement du métal dans ce
domaine, avec celui d’un plasma localement
neutre peu dense en-dessous de sa
pulsation de plasma.
Associer la forme du coefficient complexe
de réflexion à l’absence de propagation
d’énergie dans le métal en moyenne
temporelle.
Identifier l’incidence de Brewster et
utiliser cette configuration pour repérer
la direction absolue d’un polariseur.
x%
0%

PC-PC*%16/17% % Lycée%SCHWEITZER%Mulhouse%
%
1. Champs)réfléchis)et)transmis):))
%
%1.1.%Indice%complexe%:%%
%
%
Définition%:%l’indice%complexe%%n%est%défini%par%:%
𝑛=
𝑘.𝑐
𝜔 %
On%pose%:%
n(ω)%=%n'(ω)%-%jn"(ω)%:%n'%est%l'indice%de%réfraction,%n"%l'indice%d'absorption.%
%
%
Le%champ%électrique%s’écrit%alors%:%%
𝐸𝑡=𝐸! .cos 𝜔𝑡 −
𝑛!𝜔𝑥
𝑐.exp (−
𝑛"𝜔𝑥
𝑐)%
%
Le%champ%magnétique%s’écrit%:%
𝐵
!𝑟,𝑡=
𝑘!𝑢!∧𝐸!
𝜔exp𝑗𝜔 𝑡−𝑛!𝑥/𝑐%
%
%
%
)
)
)
Définition%:%lorsque%n%est%réel,%le%milieu%est%dit%transparent);%il%n’y%a%pas%d’absorption.%
%
Le%champ%d’une%onde%plane%se%propageant%selon%Ox%dans%un%milieu%transparent%s’écrit%donc%:%%
!"
#
$
%&'(")*+,-.-&!/+0,1
ω
ω
%
%

PC-PC*%16/17% % Lycée%SCHWEITZER%Mulhouse%
%
La%vitesse%de%phase%est%:%% % vϕ%=%ω/k%=%c/n.%
%
%
% 1.2.%Conditions%de%continuité%des%champs%:%%
%
On%admet%que%:%
Les)champs)électrique)et)magnétique)sont)continus)à)la)traversée)de)l’interface.)
%
% 1.3.%Champs%réfléchis%et%transmis%:%%
%
On%choisit%un%champ%polarisé%selon%Oy%;%le%champ%arrivant%sur%l’interface%en%incidence%normale%dans%le%
milieu%d’indice%n1%s’écrit%alors%:%
𝐸!𝑟,𝑡=𝐸!.𝑒!.exp 𝑗𝜔 𝑡−𝑛!𝑥/𝑐 %
%
Par%symétrie%les%champs%réfléchis%et%transmis%se%propagent%également%selon%la%direction%Ox%:%%
%
𝑘!=−𝑘!𝑢!=−𝑛!
𝜔
𝑐𝑢! ; 𝑘!=𝑛!
𝜔
𝑐𝑢!%
%
Les%champs%réfléchis%et%transmis%s’écrivent%:%%
𝐸!𝑟,𝑡=𝐸!!.exp𝑗𝜔 𝑡+𝑛!𝑥/𝑐%et%%%𝐵
!𝑟,𝑡=
!!!!!∧!!!
!exp𝑗𝜔 𝑡+𝑛!𝑥/𝑐%
%
Les%champs%transmis%s’écrivent%:%%
𝐸!𝑟,𝑡=𝐸!!.exp 𝑗𝜔 𝑡−𝑛!𝑥/𝑐%%et%%%𝐵!𝑟,𝑡=
!!!!∧!!!
!exp 𝑗𝜔 𝑡−𝑛!𝑥/𝑐%
%
%
% 1.4.%Coefficients%de%réflexion%et%de%transmission%en%amplitude:%
%
La%continuité%de%𝐸%en%x=0%s’écrit%:% %
𝐸!+𝐸!!=𝐸!!%
%
La%continuité%de%𝐵%en%x%=%0%s'écrit%:%%
𝑘!𝑢!∧𝐸!
𝜔−
𝑘!𝑢!∧𝐸!!
𝜔=
𝑘!𝑢!∧𝐸!!
𝜔%
)
⟺𝑘!𝑢!∧𝐸!−𝑘!𝑢!∧𝐸!!=𝑘!𝑢!∧𝐸!!%
)
⟺𝑛!𝑢!∧𝐸!−𝑛!𝑢!∧𝐸!!=𝑛!𝑢!∧𝐸!!)
%
soit%en%multipliant%vectoriellement%par%𝑢!%et%en%utilisant%%l’identité%:%
%
c).b.a('b).c.a(')cb(a' −=∧∧
%
%
𝑛!𝐸!−𝑛!𝐸!!=𝑛!𝐸!!%
%
On%en%déduit%:%%%%𝐸!!=
!!!!!
!!!!!
𝐸!%et%𝐸!!=
!!!
!!!!!
𝐸!%
%
Les%ondes%réfléchies%et%transmises%sont%donc%polarisées%rectilignement%selon%Oy.%

PC-PC*%16/17% % Lycée%SCHWEITZER%Mulhouse%
%
%
Les%coefficients%de%réflexion%et%de%transmission%%pour%le%champ%électrique:%
%
𝒓𝑬=
𝒏𝟏−𝒏𝟐
𝒏𝟐+𝒏𝟏
; 𝒕𝑬=
𝟐𝒏𝟏
𝒏𝟐+𝒏𝟏
!
%
Remarque%:%on%constate%que%ces%coefficients%ont%les%mêmes%formes%que%les%coefficients%de%réflexion%et%
de%transmission%de%l’onde%acoustique%;%ce%n’est%pas%un%hasard,%car%pour%une%onde%électromagnétique%
l’impédance%est%:%
𝑍=
1
𝑛
𝜇!
𝜀!
%
On%retrouve%alors%:%%
𝑟
!=
𝑍!−𝑍!
𝑍!+𝑍!
; 𝑡!=
2𝑍!
𝑍!+𝑍!
%
%
% 1.5.%Coefficients%de%réflexion%et%de%transmission%en%puissance%:%
%
𝜋=
1
2𝜇!
𝑅𝑒 𝐸∧𝐵∗=
1
2𝜇!
𝑅𝑒 𝐸∧
𝑘∗∧𝐸∗
𝜔%
=
1
2𝜔𝜇!
𝑅𝑒 𝑘∗𝐸
!
=
𝜖!𝑐
2𝑛′𝐸
!
%
%
𝑹=
𝝅𝒓
𝝅𝒊
= 𝒓𝑬
𝟐
; 𝑻=
𝝅𝒕
𝝅𝒊
=
𝒏′𝟐
𝒏′𝟏
𝒕𝑬
𝟐
)
%
2. Interface)vide-plasma):))
%
On%considère%une%onde%provenant%d’un%milieu%assimilé%au%vide%et%entrant%dans%un%plasma%à%l’interface%
caractérisée%par%le%plan%x%=%0.%
%
On%a%donc%:%
𝑘!=
𝜔
𝑐 𝑒𝑡 𝑘!
!=
𝜔!−𝜔!
!
𝑐!%
%
2.1. Domaine%de%transparence%:%%
%
C’est%le%domaine%pour%lequel%ω%>%ωp.%
%
On%a%alors%:%%
𝑛!=1 𝑒𝑡 𝑛!=1−
𝜔!
!
𝜔!%
%
Les%coefficients%de%réflexion%et%de%transmission%sont%alors%réels.%
%
% 3.2.%Domaine%réactif%:%
%
C’est%le%domaine%pour%lequel%ω%<%ωp.%
%
On%a%alors%:%%

PC-PC*%16/17% % Lycée%SCHWEITZER%Mulhouse%
%
𝑛!=1 𝑒𝑡 𝑛!=𝑗
𝜔!
!
𝜔!−1%
%
Les%coefficients%de%réflexion%et%de%transmission%sont%alors%complexes.%
%
2.2. Coefficients%de%réflexion%et%transmission%en%puissance%:%%
%
Le%coefficient%de%réflexion%en%puissance%est%défini%par%:%%
𝑅=
𝜋!
𝜋!!!!
%
Il%est%pratique%de%calculer% 𝜋%par%:%
𝜋=
1
2𝜇!
𝑅𝑒 𝐸∧𝐵∗%
%
Les%calculs%mènent%alors%:%%
• Dans%le%domaine%de%transparence%:%%
𝑅=
𝜔−𝜔!−𝜔!
!
𝜔+𝜔!−𝜔!
!
!
𝑒𝑡 𝑇=
4𝜔𝜔!−𝜔!
!
𝜔+𝜔!−𝜔!
!!%
• Dans%le%domaine%réactif%:%%
R%=%1%et%T%=%0.%
%
% Le%plasma%se%comporte%alors%comme%un%miroir%parfait.%
%
%
3. Interface)vide-conducteur):))
%
Rappel%:%la%conductivité%s’écrit%dans%le%cas%général%:%%
𝛾(𝜔)=𝛾(0)
1+𝑗𝜔𝜏 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝛾(0)=
𝑛.𝑞!.𝜏
𝑚%
%
%4.1.%Cas%où%𝜔𝜏 ≪1%:%
%
La%conductivité%du%conducteur%est%réelle%;%la%relation%de%dispersion%est%:%
𝑘!=−𝑗𝜇!𝛾𝜔%
%
On%a%alors%:%%
𝑛!=1 𝑒𝑡 𝑛!=
𝑐
𝜔
1−𝑗
𝛿%
où%:%
𝛿=!
!!!"
est%l'épaisseur%de%peau%du%conducteur.%
%
On%calcule%alors%:%%
𝑟
!=−
1−𝑗−𝜔𝛿
𝑐
1−𝑗+𝜔𝛿
𝑐
𝑒𝑡 𝑡!=
2𝜔𝛿
𝑐
1−𝑗+𝜔𝛿
𝑐
%
Dans%la%limite%δ%⇾%0,%on%a%:%
𝑟
!=−1 𝑒𝑡 𝑡!≃0%
%
Une%onde%basse%fréquence%est%entièrement%réfléchie%par%un%métal%bon%conducteur.%