30BU03SV Outils pour Biologistes 2 TD 6 : surpression, impédance

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TD 6 : surpression, impédance, application à l’oreille
Exercices encadrés
Exercice 1 : Relation déplacement-intensitésurpression
On considère une onde sonore, plane, progressive,
sinusoïdale, se propageant dans un milieu. Le
déplacement local des molécules du milieu s’écrit
sous la forme :
2𝜋
𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑢! sin( (𝑥 − 𝑐𝑡))
𝜆
où u0 est l’amplitude, λ est la longueur d’onde et c la
célérité de l’onde.
1. Rappeler la relation liant la célérité de l’onde c
avec λ et f (la fréquence de l’onde).
2. Calculer la vitesse des molécules 𝑣 𝑥, 𝑡
et
exprimer son amplitude 𝑣! en fonction de 𝑢! et f.
3. On appelle 𝑍 = 𝜌𝑐 l’impédance acoustique du
milieu, où ρ est la masse volumique du milieu. Quelle
est la dimension de Z ? En déduire ses unités.
4. Calculer l’impédance de l’eau en sachant que la
célérité du son dans l’eau est ceau = 1500 m.s-1 (vous
devez connaître la masse volumique de l’eau !).
5. Par analyse dimensionnelle, exprimer l’intensité
de l’onde en fonction de l’impédance Z et de
l’amplitude de la vitesse des particules 𝑣! à un facteur
numérique près.
L’intensité sonore s’exprime en fait de la façon
suivante :
𝐼=
1 !
𝑍𝑣!
2
La surpression 𝑝(𝑥, 𝑡) créée par le déplacement des
molécules est proportionnelle à la vitesse de cellesci :
𝑝 𝑥, 𝑡 = 𝑍𝑣(𝑥, 𝑡)
6. Exprimer l’intensité sonore I en fonction de 𝑍 et de
𝑝! amplitude de la surpression.
7. À température ambiante, Zair = 415 kg.m-2.s-1.
L’amplitude de surpression maximale supportable par
l’oreille humaine est d’environ 28 Pa. À quelle
intensité sonore cela correspond-il ? Quel est le
niveau sonore associé ?
8. Quelle est la vitesse de déplacement des
molécules d’air 𝑣! ? A quelle amplitude 𝑢! du
déplacement des molécules cela correspond-il, à une
fréquence de 5 kHz ?
9. L’aire du tympan est environ 0,8 cm2. Quelle est la
force exercée sur le tympan lors du passage de cette
onde (ne pas oublier de convertir les cm2 !) ?
Exercice 2 : Réflexion/réfraction d’une onde
sonore
Lorsqu'une onde sonore traverse une interface entre
deux milieux de masse volumique et avec des
célérités différentes, l'onde va être partiellement
transmise et réfléchie.
1. Le coefficient de réflexion en intensité s’exprime en
fonction des impédances acoustiques des deux
milieux 𝑅 =
!!
!!
=
(!! !!! )!
(!! !!! )!
. En utilisant la conservation
de l’énergie, en déduire l'expression du coefficient de
!
transmission en intensité 𝑇 = ! .
!!
2. On considère une onde sonore se propageant à
l'interface entre deux milieux.
Trouver une expression approchée de T et de R dans
les trois cas suivants:
- 𝑍! ≈ 𝑍!
- 𝑍! ≫ 𝑍!
- 𝑍! ≫ 𝑍!
Calculer numériquement T et R dans le cas d’une
interface entre l’eau et l’air.
3. Conclure sur la nécessité d'une adaptation
d'impédance si on veut qu’une onde soit transmise
sans trop de pertes au passage air-eau ou eau-air.
4. Expliquer pourquoi lors d'une échographie, un gel
est placé entre le transducteur (qui émet et reçoit
l'onde ultrasonore) et la peau du patient.
Exercices en autonomie
Exercice 3 : Comparaison air/eau
1.
Si les amplitudes de surpression sont les mêmes
pour deux ondes sonores se propageant l’une dans
l’air et l’autre dans l’eau, quel est le rapport des
intensités de ces deux ondes ?
2.
Si deux sons ont la même intensité dans l’air et
dans l’eau, quel est le rapport des surpressions
associées ?
Exercice 4 : intensité, surpression et déplacement
Le déplacement des molécules d’eau associé à une
onde sonore se propageant dans l’eau, a la forme
suivante: 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢! sin
!!
!
(𝑥 − 𝑐!"# 𝑡) . On prendra
𝑢! = 1 nm, 𝜆 = 200 cm et 𝑐!"# = 1500 m/s.
1. Quelle est la fréquence du son ?
2. Quelle est l'expression de la vitesse de
déplacement d'une molécule d'eau ? Calculer
l’amplitude de la vitesse.
3. Calculer l'amplitude de la surpression de l'onde
incidente.
Exercice 5 : Passage air/eau
On s’intéresse au passage du son de l’eau vers l’air.
1. Calculer les impédances de l’eau et de l’air, Zeau
et Zair.
2. En déduire le pourcentage d’énergie transmise
lors du passage de l’eau à l’air. Que devient la fraction
restante de l’énergie ?
3. Calculer l’atténuation du son (en dB) lors du
passage de l’air à l’eau.
Exercices d’approfondissement
Exercice 6 : L’oreille humaine
L'oreille humaine est formée de trois composantes :
l'oreille externe, l'oreille moyenne et l'oreille interne.
Nous
nous
intéresserons
dans
cet
exercice
uniquement aux deux premières composantes
(le
fonctionnement de l’oreille interne, qui convertit l’onde
sonore en signal électrique, vous sera détaillé en
cours).
Lors de la propagation d’une onde sonore dans
l’oreille, l’onde passe de l’air à l’eau au niveau de la
fenêtre ovale de la cochlée. On note Ic- la valeur de
l’intensité de l’onde juste devant la fenêtre ovale (dans
l’air) et Ic+ la valeur de l’intensité juste après la fenêtre
ovale (dans l’eau).
1. Quelle est la valeur du rapport
!!!
!c-
lors du passage
air-eau ?
A)
L'oreille externe
On suppose que le pavillon de l'oreille a une surface
Ap. L'oreille est soumise à un son d'intensité Ii à
l'entrée du pavillon.
2. Exprimer la puissance acoustique collectée par le
pavillon 𝒫.
3. En supposant qu'il n'y a pas de perte d'énergie le
long du canal auditif, exprimer l'intensité acoustique
It.au niveau du tympan, de surface At en fonction de
l'intensité incidente, Ii.
4. Exprimer la surpression acoustique au niveau du
tympan pt.
B)
L'oreille moyenne
L'oreille moyenne permet de réaliser une « adaptation
d'impédance » entre l’oreille externe (air) et l’oreille
interne
(eau).
Deux
mécanismes
permettent
d’amplifier la surpression, avant l’entrée dans l’oreille
interne :
- un bras de levier faisant intervenir trois osselets
mobiles, le marteau, l'enclume et l'étrier, voir figure cidessous. Ainsi la force s’exerçant sur la fenêtre ovale
Fc est plus grande que la force s’exerçant sur le
tympan Ft: Fc=1.5Ft.
- un rapport de surface important entre le tympan et la
fenêtre ovale, At/Ac=30.
marteau
enclume
étrier
Tympan At
Ft
Fenêtre ovale Ac
Fc
5. Trouver l'expression de la surpression acoustique
sur la fenêtre ovale de la cochlée pc, en fonction de la
surpression acoustique au niveau du tympan pt, de la
surface du tympan At et de la surface de la fenêtre
ovale Ac.
6. En déduire l'expression de l'intensité au niveau de
la fenêtre ovale, Ic en fonction de Ii, intensité à l'entrée
du pavillon.
7. Calculer numériquement le rapport d'amplification
Ic/Ii, en prenant: Ap/At=10 et At/Ac=30.
8. Est ce que ce gain permet de compenser la perte
d’amplitude due au passage de l’onde sonore de l’air
(devant la fenêtre ovale) à l’eau (derrière la fenêtre
ovale) ?