TD 5 - LSV

L3 - 2012/2013 - TD 5
Mercredi 24 octobre
Mathématiques Discrètes
Exercice 1 - Duel
Trois personnes A,B et C s’affrontent en duel. A atteint sa cible avec probabilité 23 , B atteint sa cible avec probabilité 12 et c atteint sa cible avec probabilité
1
3 . Chacun des duellistes vise le plus fort de ses adversaires.
1.1 Décrire une chaîne de Markov représentant le duel. Classifier les états.
1.2 Sur la survie de quel joueur seriez vous prêt à parier?
Exercice 2 - Labyrinthe
Un rat se déplace dans un labyrinthe qui comporte neuf compartiments numérotés de 1 à 9. À chaque unité de temps,
il change de compartiment. Lorsqu’il est dans un compartiment, il peut se déplacer dans n’importe quel compartiment
adjacent avec la même probabilité. Il ne peut pas se déplacer
en diagonale.
1
4
7
2
5
8
3
6
9
2.1 Écrire la matrice de transition.
2.2 La chaîne est elle irréductible, périodique, ergodique?
2.3 Montrer que la loi de probabilité u = (u1 , . . . , u9 ) où chaque ui est proportionnelle au nombre de compartiments adjacents au compartiment i est une loi
de probabilité stationnaire pour la chaîne de Markov.
Exercice 3 - Probabilité d’accessibilité
Soit M = (E, P ) une chaîne de Markov possédant deux états x et y. On
propose l’algorithme suivant pour calculer limn→∞ P n (x, y): A chaque étape on
choisit un état z distinct de x et de y. On définit une nouvelle chaîne de Markov
M0 = (E 0 , P 0 ) tel que E 0 = E\{z} et:
∀u, v ∈ E 0 , P 0 (u, v) = P (u, v) +
P (u, z)P (z, v)
1 − P (z, z)
3.1 Que penser vous de cette algorithme? Corriger l’algorithme et prouver sa
terminaison et sa correction. Calculer sa complexité. Lien avec la théorie des
automates.
Exercice 4 - Pièce biaisée
On dispose d’une pièce biaisée qui renvoie pile avec une probabilité p.
4.1 Trouver un algorithme pour simuler une pièce non biaisée en lançant plusieurs
fois la pièce biaisée. Le présenter sous forme de chaîne de Markov.
4.2 Appliquer l’algorithme de l’exercice précédant pour prouver la correction.
4.3 Trouver un algorithme qui simule un dé à six faces avec une pièce non
biaisée.
B. Barbot
1
E.N.S. de Cachan
L3 - 2012/2013 - TD 5
Mercredi 24 octobre
Mathématiques Discrètes
Exercice 5 - Les coccinelles
On considère un hexagone régulier dont les sommets sont numérotés de 1 à
6 dans le sens trigonométrique. À la date 0, deux coccinelles sont placées aux
sommets i et j respectivement. À la date 1, chacune des coccinelles se déplace,
indépendamment de l’autre, vers l’un des deux sommets adjacents, avec une
probabilité 21 . À la date 2, l’opération se répète, et ainsi de suite.
5.1 Quelle est la matrice de transition?
5.2 Calculer le temps moyen en fonction de i et de j que mettront les coccinelles pour se rencontrer pour la première fois.
B. Barbot
2
E.N.S. de Cachan