corrigés des exercices de probabilités

Tale S
Correction Exercices type bac de Probabilités.
Mars 12
Exercice n°1 :
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire
au hasard une boule de l’urne :
•
Si la boule est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires
•
Si la boule est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires
On tire ensuite au hasard une seconde boule dans l’urne. On note :
•
B1 l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » :
•
B2 l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage » ;
•
A l’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1.
Dans cette question on prend n = 10.
a.
Calculer p(B1∩B2) et montrer que p(B2) =
3
4
On peut représenter la situation par un arbre :
4
B2
5
On a donc p(B1∩B2)= p(B1) p B (B2 )
1
3
4
B1
1
4
1
5
3
5
=
N2
B2
p(B2)= p(B1∩B2) + p(N1∩B2)
N1
=
2
5
3 4 3
× = .
4 5 5
3 1 3 15 3
+ × =
=
5 4 5 20 4
N2
b. Calculer p B (B1 )
2
p B (B1 )=
p(B1 ∩ B2 )
2
c.
p(B2 )
3
4
= 5 =
3 5
4
3
10
Montrer que p(A) =
p(A) = p(B1∩N2) + p(N1∩B2) =
2.
3 1 1 3
3
3
3
× + × =
+
=
.
4 5 4 5 20 20 10
On prend toujours n = 10. Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière
identique et indépendante. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
de réalisations de l’événement A.
a.
Déterminer p(X = 3).
Cette expérience aléatoire est la répétition de 8 expériences de Bernoulli identiques et
indépendantes de paramètre
Chap06 – Probabilités.
3
3
. Cette loi est donc une loi binomiale de paramètres 8 et
.
10
10
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3
Mars 12
5
3  3   7 
D’après le cours p(X = 3) =   ×   ×   = 56 × 0, 00453789 soit finalement p(X=3)
 8   10   10 
0, 25412184
b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est : E(X) = 8×
3.
3
= 2,4
10
Dans cette question, n ≥ 1.
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) =
1
?
4
Dans cette question, on revient donc à l’arbre décrivant l’expérience de début d’exercice, mais
avec pB (B2 ) =
1
n + 30
10
n + 10
30
, pB (N2 ) =
, pN (N2 ) =
et pN (B2 ) =
1
1
1
n + 40
n + 40
n + 40
n + 40
On a donc tout comme à la question 1.c : p(A) = p(B1∩N2) + p(N1∩B2)
Soit, p(A) =
3
10
1
30
60
1
×
+ ×
=
ainsi p(A)= ⟺
4 n + 40 4 n + 40 4(n + 40)
4
60
1
= ⇔ 60 = n + 40 ⇔ n = 20
4(n + 40) 4
Exercice n°2 :
Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs F1, F2 et F3.
Dans l’entreprise, toutes les paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des
paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F2 et le reste par le
fournisseur F3.
Une étude statistique a montré que :
•
5% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F1 ont un défaut ;
•
1,5% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F2 ont un défaut ;
•
Sur l’ensemble du stock, 3,5% des paires de chaussettes ont un défaut.
1.
On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les
événements suivants :
F1 : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F1.
F2 : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F2.
F3 : La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3.
D : La paire de chaussettes prélevée présente un défaut.
a.
Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les événements
précédents.
p(F1)=
1
,
2
p(F2)=
et p(D) = 0,035.
Chap06 – Probabilités.
1
3
et
p(F3)=
1
6
on
a
aussi,
pF (D) = 0,05 ,
1
pF (D) = 0, 015
2
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Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.
D
0,05
1
2
F
F1
1
3
0,95
D
0,015
D
0,985
D
F
F
F2
1
6
D
F
F
F3
D
F
1
b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le
fournisseur F1 et présente un défaut.
p(F1 ∩ D)=p(F1 ) × pF (D) =
1
c.
1
1
× 0,05 =
2
40
Calculer la probabilité de l’événement F2 ∩ D.
p(F2 ∩ D)=p(F2 ) × pF (D) =
2
1
1
× 0, 015 =
3
200
d. En déduire la probabilité de l’événement F3 ∩ D.
D’après la formule des probabilités totales on a :
p(F1 ∩ D)+p(F2 ∩ D)+p(F3 ∩ D)=p(D) ⟺ p(F3 ∩ D)=p(D)-(p(F1 ∩ D)+p(F2 ∩ D))
Donc p(F3 ∩ D)=
e.
3, 5 1
1
7 −5 −1
1
=
=
- 100 40 200
200
200
Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F3, quelle est
la probabilité qu’elle présente un défaut.
pF (D) =
3
2.
p(F3 ∩ D)
p(F3 )
1
3
200
=
=
1
100
6
L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le
stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages
indépendants, successifs avec remise.
a.
Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un
défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
D’après l’énoncé, p(D)=0,035, l’expérience aléatoire présentée est la succession de 6
expériences de Bernoulli identique et indépendantes de paramètre 0,035, la loi de
probabilité de cette expérience aléatoire est la loi binomiale de paramètres 6 et 0,035.
On a donc, en notant N le nombre de paires avec défaut, p(N = 2) =
2
2
4
  × 0, 035 × (1 − 0,035) ≈ 0,016.
6
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b.
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Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes
d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.
Avec les mêmes notations qu’au a. le calcul de probabilité demandé est p(N≤1).
1
p(N≤1)=p(N=0) + p(N=1)= 0,9656 +   × 0, 035 × (1 − 0, 035)5 ≈ 0,807 + 0,176
6
on a donc p(N≤1) ≈ 0,983.
Exercice n°3 :
Une entreprise fabrique des lecteurs mp3, dont 6% sont défectueux. Chaque lecteur mp3 est soumis à
une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité rejette 98% des lecteurs mp3
défectueux et 5% des lecteurs mp3 fonctionnant correctement.
On note :
•
D l’événement : « le lecteur mp3 est défectueux » ;
•
R l’événement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur mp3 ».
1.
Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
R
0,98
D
0,02
0,06
R
R
0,05
0,94
D
0,95
R
2.
a.
Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
p(D∩R) = p(D)× pD (R) =0,06×0,98 = 0,0588.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur mp3 est rejeté alors qu’il
n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la
probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
P = p(D∩ R ) + p( D ∩R) = 0,06×0,02 + 0,94×0,05 = 0,0482.
3.
Montrer que la probabilité qu’un lecteur mp3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
D’après la formule des probabilités totales on obtient, p( R ) = p(D∩ R ) + p( D ∩ R ) =
0,0012 + 0,94×0,95 = 0,8942.
4.
Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur
mp3 peut être commercialisé.
Chap06 – Probabilités.
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Un lecteur mp3 est :
•
Commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles
successifs,
•
Détruit s’il est rejeté au moins deux fois,
•
Commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d’un lecteur mp3 s’élève à 50€. Son prix de vente est de 120€ pour un
lecteur avec logo et 60€ pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur mp3 fabriqué, associe le gain
algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
a.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
En considérant l’expérience aléatoire : « on fait subir quatre contrôles successifs à un
lecteur mp3 et on compte le nombre N le nombre de succès aux contrôles», celle-ci est
la succession de 4 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre
p( R ) = 0,8942. La loi de probabilité de celle-ci est une loi binomiale de paramètres 4
et 0,8942.
Mais dans cette question on s’intéresse à la loi de probabilité du gain G. G peut
prendre les valeurs : -50€, 10€ et 70€.
On a : p(-50€) = p(N≤2), p(10€) = p(N=3) et p(70€) = p(N=4).
Ainsi d’après le cours sur la loi binomiale, p(70€) = 0,89424 ≈ 0,6393,
p(10€) =
1
  × 0,89423×(1-0,8942) ≈ 0,3026. Donc p(-50€) = 1-(p(70€) + p(10€)) ≈ 0,0581. Ce
4
qui peut être synthétisé par le tableau suivant :
G
p
-50€
0,0581
10€
0,3026
70€
0,6393
b. Calculer à 10-2 près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce
résultat.
E(G) = -50×0,0581 + 10×0,3026 + 70×0,6393 ≈ 44,87 €
Ce qui signifie que l’entreprise peut espérer réaliser un gain de 44,87€ par mp3 vendu.
Exercice n°4 :
Dans une kermesse, un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A
comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue, toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
•
Le joueur mise 1€ et lance la roue A.
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•
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S’il obtient une case rouge, alors il relance la roue B, note la couleur de la case obtenue et la
partie s’arrête.
•
S’il obtient une case noire, alors il relance la roue A, note la couleur de la case obtenue et la
partie s’arrête.
1.
Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
R
0,2
R
0,8
0,1
N
R
0,1
0,9
N
0,9
2.
N
Soient E et F les événements :
E : « à l’issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges » ;
F : « à l’issue de la partie, une seule des deux cases est rouge ». Montrer que p(E) = 0,02 et
p(F) = 0,17.
p(E) = p(R)× pR (R) = 0,1×0,2 = 0,02.
p(F) = p(R∩N) + p(N∩R) = p(R)× pR (N) + p(N)× pN (R) = 0,1×0,8 + 0,9×0,1 = 0,17.
3.
Si les deux cases obtenues sont rouges, le joueur reçoit 10€ ; si une seule des cases est rouge, le
joueur reçoit 2€ ; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain
algébrique en euros du joueur.
a.
Déterminer la loi de probabilité de X.
X prend les valeurs : 9€, 1€ ou -1€. On a p(X = 9€) = p(E) = 0,02.
On a aussi p(X = 1€) = p(F) = 0,17 et enfin p(X = -1€) = 1 – (p(E)+p(F)) = 0,81.
La loi de probabilité de X est donnée par le tableau suivant :
X
probabilité
9€
0,02
1€
0,17
-1€
0,81
b. Calculer l’espérance mathématique de X et en donner une interprétation.
E(X) = 9×0,02 + 0,17 – 0,81 = -0,46.
Une joueur peut espérer, en jouant, perdre 46 cents.
4.
Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n ∈ ℕ et n ≥ 2).
a.
Démontrer que la probabilité pn qu’il lance au moins une fois la roue B est telle que
pn = 1 – (0,9)n.
L’expérience à laquelle on s’intéresse est la suivante : « le joueur joue n parties
consécutives identiques et indépendantes et on compte le nombre de fois où il lance la
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roue B ». Celle-ci est la répétition de n expériences de Bernoulli identiques et
indépendantes de paramètre 0,1 (probabilité de lancer la roue B) , la loi de probabilité
de celle-ci est donc une loi binomiale de paramètres n et 0,1 (notée ℬ(n ; 0,1)).
En notant N le nombre de fois où la roue B est lancée et d’après le cours,
0
pn = p(N≥1) = 1 – p(N=0) = 1 –   × (0,1)0 ×(1-0,1)n = 1 – (0,9)n
n 
b. Justifier que la suite de terme général pn est convergente et préciser sa limite.
D’après le cours sur les suites, toute suite géométrique de raison 0<q<1 converge vers
0. Donc (0,9)n tend vers 0 quand n tend vers +∞. Donc (pn) converge vers 1.
c.
Quelle est la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle pn > 0,9 ?
pn > 0, 9 ⇔ 1 − 0, 9n > 0,9 ⇔ 0, 9n < 0,1 ⇔ n ln 0, 9 < ln 0,1 ⇔ n >
ln 0,1
ln 0, 9
Soit pour n > 21,9. La plus petite valeur de n sera donc 22.
Exercice n°5 :
On dispose de deux urnes U1 et U2.
L’urne U1 contient 2 billes vertes et 8 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
L’urne U2 contient 3 billes vertes et 7 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Une partie consiste, pour un joueur, à tirer au hasard une bille de l’urne U1, noter sa couleur et
remettre la bille dans U1, puis de tirer au hasard une bille dans U2, noter sa couleur et remettre la bille
dans l’urne U2 .
A la fin de la partie, si le joueur a tiré deux billes vertes, il gagne un lecteur mp3. S’il a tiré une bille
verte, il gagne un ours en peluche. Sinon il ne gagne rien.
On note V1 l’événement : « le joueur tire une boule verte dans U1 » ; V2 l’événement : « le joueur tire
une boule verte dans U2 ». Les événements V1 et V2 sont indépendants.
1.
Montrer, à l’aide d’un arbre pondéré, que la probabilité de gagner un lecteur mp3 est
p = 0,06.
L’arbre de probabilité est aussi évident que dans les exercices précédents avec p(V1) = 0,2,
p( V1 ) = 0,8, p V (V2 ) = 0,3, p V (V2 ) = 0, 3 , p V (V2 ) = pV (V2 ) = 0,7 .
1
1
1
1
On peut donc écrire que p(« gagner un lecteur mp3 ») = p = p(V1∩ V2) = p(V1)× p V (V2 )
1
=0,2×0,3 = 0,06.
2.
Quelle est la probabilité de gagner un ours en peluche ?
p(« gagner un ours en peluche ») = p(V1 ∩ V2 ) + p(V1 ∩ V2 ) = 0,8×0,3 + 0,2×0,7 = 0,38.
3.
Vingt personnes jouent chacune une partie. Déterminer la probabilité que deux d’entre elles
exactement gagnent un lecteur mp3. On justifiera la réponse et on donnera une valeur
approchée du résultat à 10-4 près.
En considérant l’expérience aléatoire suivante : Vingt personnes jouent une partie, elles
gagnent un lecteur mp3 avec une probabilité de 0,06. Cette expérience est la répétition de 20
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expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre 0,06. La loi de probabilité
de cette expérience est donc la loi binomiale de paramètres 20 et 0,06. Si on note N le nombre
de lecteurs mp3 gagnés lors de ces 20 parties et d’après le cours
2
p(N = 2) =   × 0,062 × 0, 9418 ≈ 0 ,2246.
 20 
4.
On appelle n le nombre de personnes participant à la loterie un jour donné et jouant une seule
fois. On note pn la probabilité que l’une au moins de ces personnes gagne un lecteur mp3.
Déterminer la plus petite valeur de n vérifiant pn ≥ 0,99.
0
pn = p(N≥1) = 1 – p(N=0) = 1 -   × 0,060 × 0, 94n = 1 – 0,94n
n 
pn ≥ 0, 99 ⇔ 1 − 0, 94n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 94n ≤ 0, 01 ⇔ n ln 0, 94 ≤ ln 0, 01 ⇔ n ≥
ln 0, 01
ln 0, 94
soit n ≥ 74,4. Donc la plus petite valeur de n sera 75.
Exercice n°6 :
Au début des travaux de construction d’une autoroute, une équipe d’archéologie préventive procède à
des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.
Lorsque le n-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.
L’événement « le n-ième sondage est positif » est noté Vn, on note pn la probabilité de l’événement Vn.
L’expérience acquise au cours de ce type d’investigation permet de prevoir que :
•
Si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à 0,6 d’être aussi positif. ;
•
Si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à 0,9 d’être aussi négatif.
On suppose que le premier sondage est positif, c’est-à-dire que p1 = 1
1.
Calculer les probabilités des événements suivants :
a.
A « les 2e et 3e sondages sont positifs » ;
p(A) = p(V2∩ V3) = 0,6×0,6 = 0,36.
b. B « les 2e et 3e sondages sont négatifs »
p(B) = p( V2 ∩ V3 ) = 0,4×0,9 = 0,36.
2.
Calculer la probabilité p3 pour que le 3e sondage soit positif.
D’après la formule des probabilités totales, p(V3) = p( V2 ∩ V3 ) + p( V2 ∩ V3 )
= 0,36 + 0,4×0,1 = 0,4.
3.
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
Vn+1
0,6
Vn
pn
0,4
1-pn
0,1
Vn +1
Vn+1
Vn
0,9
Chap06 – Probabilités.
Vn +1
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4.
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Pour tout entier n non nul, établir que pn+1 = 0,5pn + 0,1.
∀n ∈ ℕ, pn+1 = p(Vn∩Vn+1) + p( Vn ∩ Vn +1 ) = 0,6pn + (1 – pn)×0,1 = 0,5pn + 0,1
5.
On note u la suite définie pour tout entier naturel n non nul par : un = pn – 0,2.
a.
Démontrer que u est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
∀n ∈ ℕ, un +1 = pn +1 − 0, 2 = 0, 5pn + 0,1 − 0, 2 = 0, 5pn − 0,1 = 0,5(pn − 0, 2) = 0, 5un . (un)
est géométrique de raison 0,5 et de premier terme u1 = p1 – 0,2 = 0,8.
b. Exprimer pn en fonction de n.
D’après a. un = 0,8×0,5n – 1 =
0, 8
× 0, 5n = 1, 6 × 0,5n . Comme pn = un + 0,2, on a donc
0, 5
∀n ∈ ℕ, pn = 0,2 + 1,6×0,5n.
c.
Calculer la limite de la probabilité pn.
On a ∀n ∈ ℕ, pn = 0,2 + 1,6×0,5n. Comme 0<0,5<1 donc lim 0, 5n = 0 .
n →+∞
On obtient donc que (pn) converge vers 0,2.
Chap06 – Probabilités.