corrigés des exercices de probabilités

T
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S Correction Exercices type bac de Probabilités. Mars 12
Chap06 – Probabilités.
Exercice n°1 :
Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher. On tire
au hasard une boule de l’urne :
• Si la boule est blanche, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules blanches supplémentaires
• Si la boule est noire, on la remet dans l’urne et on ajoute n boules noires supplémentaires
On tire ensuite au hasard une seconde boule dans l’urne. On note :
• B
1
l’événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage » :
• B
2
l’événement : « on obtient une boule blanche au second tirage » ;
• A l’événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».
1. Dans cette question on prend n = 10.
a. Calculer p(B
1
∩B
2
) et montrer que p(B
2
) =
3
4
On peut représenter la situation par un arbre :
On a donc p(B
1
∩B
2
)= p(B
1
)
1
B 2
p (B )
=
3 4 3
4 5 5
× =
.
p(B
2
)= p(B
1
∩B
2
) + p(N
1
∩B
2
)
=
3 1 3 15 3
5 4 5 20 4
+ × = =
b. Calculer
2
B 1
p (B )
2
1 2
B 1
2
3
p(B B )
4
5
p (B )=
p(B ) 3 5
4
∩
= =
c. Montrer que p(A) =
3
10
p(A) = p(B
1
∩N
2
) + p(N
1
∩B
2
) =
3 1 1 3 3 3 3
4 5 4 5 20 20 10
× + × = + = .
2. On prend toujours n = 10. Huit joueurs réalisent l’épreuve décrite précédemment de manière
identique et indépendante. On appelle X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
de réalisations de l’événement A.
a. Déterminer p(X = 3).
Cette expérience aléatoire est la répétition de 8 expériences de Bernoulli identiques et
indépendantes de paramètre
3
10
. Cette loi est donc une loi binomiale de paramètres 8 et
3
10
.
B
1
B
2
B
2
N
1
N
2
N
2
3
4
1
4
4
5
1
5
3
5
2
5

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Chap06 – Probabilités.
D’après le cours p(X = 3) =
3 5
33 7
56 0,00453789
8 10 10
× × = × soit finalement p(X=3)
0, 25412184
b. Déterminer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X.
L’espérance mathématique de la variable aléatoire X est : E(X) = 8×
3
10
= 2,4
3. Dans cette question, n ≥ 1.
Existe-t-il une valeur de n pour laquelle p(A) =
1
4
?
Dans cette question, on revient donc à l’arbre décrivant l’expérience de début d’exercice, mais
avec
1
B 2
30
p (B )
40
n
n
+
=
+
,
1
B 2
10
p (N )
40
n
=
+
,
1
N 2
10
p (N )
40
n
n
+
=
+
et
1
N 2
30
p (B )
40
n
=
+
On a donc tout comme à la question 1.c : p(A) = p(B
1
∩N
2
) + p(N
1
∩B
2
)
Soit, p(A) =
3 10 1 30 60
4 40 4 40 4( 40)
n n n
× + × =
+ + + ainsi p(A)=
1
4
⟺
60 1
60 40 20
4( 40) 4 n n n
= ⇔ = + ⇔ =
+
Exercice n°2 :
Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs F
1
, F
2
et F
3
.
Dans l’entreprise, toutes les paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des
paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F
1
, le tiers par le fournisseur F
2
et le reste par le
fournisseur F
3
.
Une étude statistique a montré que :
• 5% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F
1
ont un défaut ;
• 1,5% des paires de chaussettes fabriquées par le fournisseur F
2
ont un défaut ;
• Sur l’ensemble du stock, 3,5% des paires de chaussettes ont un défaut.
1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les
événements suivants :
F
1
: La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F
1
.
F
2
: La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F
2
.
F
3
: La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F
3
.
D : La paire de chaussettes prélevée présente un défaut.
a. Traduire en termes de probabilités les données de l’énoncé en utilisant les événements
précédents.
p(F
1
)=
1
2
, p(F
2
)=
1
3
et p(F
3
)=
1
6
on a aussi,
1
F
p (D) 0,05
=,
2
F
p (D) 0,015
=
et p(D) = 0,035.

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Dans la suite, on pourra utiliser un arbre pondéré associé à cette expérience.
b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le
fournisseur F
1
et présente un défaut.
1
1 1 F
1 1
p(F D)=p(F ) p (D) 0,05
2 40
∩ × = × =
c. Calculer la probabilité de l’événement F
2
∩ D.
2
2 2 F
1 1
p(F D)=p(F ) p (D) 0,015
3 200
∩ × = × =
d. En déduire la probabilité de l’événement F
3
∩ D.
D’après la formule des probabilités totales on a :
1 2 3
p(F D)+p(F D)+p(F D)=p(D)
∩ ∩ ∩ ⟺
3 1 2
p(F D)=p(D)-(p(F D)+p(F D))
∩ ∩ ∩
Donc
3
3,5 1 1 7 5 1 1
p(F D)= - -
100 40 200 200 200
− −
∩ = =
e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur F
3
, quelle est
la probabilité qu’elle présente un défaut.
3
3
F
3
1
p(F D)
3
200
p (D)
p(F ) 1 100
6
∩
= = =
2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le
stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages
indépendants, successifs avec remise.
a. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un
défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième.
D’après l’énoncé, p(D)=0,035, l’expérience aléatoire présentée est la succession de 6
expériences de Bernoulli identique et indépendantes de paramètre 0,035, la loi de
probabilité de cette expérience aléatoire est la loi binomiale de paramètres 6 et 0,035.
On a donc, en notant N le nombre de paires avec défaut, p(N = 2) =
2 4
2
0,035 (1 0,035)
6
× × − ≈ 0,016.
F
1
F
2
F
3
D
F
1
D
F
D
F
D
F
D
F
D
F
1
2
1
3
1
6
1
3
0,05
0,
9
5
0,0
1
5
0,98
5

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b. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes
d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.
Avec les mêmes notations qu’au a. le calcul de probabilité demandé est p(N ≤ 1).
p(N ≤ 1)=p(N=0) + p(N=1)=
6 5
1
0,965 0,035 (1 0,035)
6
+ × × − ≈ 0,807 + 0,176
on a donc p(N ≤ 1) ≈ 0,983.
Exercice n°3 :
Une entreprise fabrique des lecteurs mp3, dont 6% sont défectueux. Chaque lecteur mp3 est soumis à
une unité de contrôle dont la fiabilité n’est pas parfaite. Cette unité rejette 98% des lecteurs mp3
défectueux et 5% des lecteurs mp3 fonctionnant correctement.
On note :
• D l’événement : « le lecteur mp3 est défectueux » ;
• R l’événement : « l’unité de contrôle rejette le lecteur mp3 ».
1. Faire un arbre pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent.
2.
a. Calculer la probabilité que le lecteur soit défectueux et ne soit pas rejeté.
p(D ∩ R) = p(D) ×
D
p (R)
=0,06 × 0,98 = 0,0588.
b. On dit qu’il y a une erreur de contrôle lorsque le lecteur mp3 est rejeté alors qu’il
n’est pas défectueux, ou qu’il n’est pas rejeté alors qu’il est défectueux. Calculer la
probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle.
P = p(D ∩
R
) + p(
D
∩ R) = 0,06 × 0,02 + 0,94 × 0,05 = 0,0482.
3. Montrer que la probabilité qu’un lecteur mp3 ne soit pas rejeté est égale à 0,8942.
D’après la formule des probabilités totales on obtient, p(
R
) = p(D ∩
R
) + p(
D
∩
R
) =
0,0012 + 0,94 × 0,95 = 0,8942.
4.
Quatre contrôles successifs indépendants sont maintenant réalisés pour savoir si un lecteur
mp3 peut être commercialisé.
D
D
R
R
R
R
0,98
0,02
0,05
0,95
0,94
0,06

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Chap06 – Probabilités.
Un lecteur mp3 est :
• Commercialisé avec le logo de l’entreprise s’il subit avec succès les quatre contrôles
successifs,
• Détruit s’il est rejeté au moins deux fois,
• Commercialisé sans le logo sinon.
Le coût de fabrication d’un lecteur mp3 s’élève à 50€. Son prix de vente est de 120€ pour un
lecteur avec logo et 60€ pour un lecteur sans logo.
On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur mp3 fabriqué, associe le gain
algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l’entreprise.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G.
En considérant l’expérience aléatoire : « on fait subir quatre contrôles successifs à un
lecteur mp3 et on compte le nombre N le nombre de succès aux contrôles», celle-ci est
la succession de 4 expériences de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre
p(
R
) = 0,8942. La loi de probabilité de celle-ci est une loi binomiale de paramètres 4
et 0,8942.
Mais dans cette question on s’intéresse à la loi de probabilité du gain G. G peut
prendre les valeurs : -50€, 10€ et 70€.
On a : p(-50€) = p(N ≤ 2), p(10€) = p(N=3) et p(70€) = p(N=4).
Ainsi d’après le cours sur la loi binomiale, p(70€) = 0,8942
4
≈ 0,6393, p(10€) =
1
4
×
0,8942
3
× (1-0,8942) ≈ 0,3026. Donc p(-50€) = 1-(p(70€) + p(10€)) ≈ 0,0581. Ce
qui peut être synthétisé par le tableau suivant :
G -50€ 10€ 70€
p 0,0581 0,3026 0,6393
b. Calculer à 10
-2
près l’espérance mathématique de G. Donner une interprétation de ce
résultat.
E(G) = -50 × 0,0581 + 10 × 0,3026 + 70 × 0,6393 ≈ 44,87 €
Ce qui signifie que l’entreprise peut espérer réaliser un gain de 44,87€ par mp3 vendu.
Exercice n°4 :
Dans une kermesse, un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue A
comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue B comporte 16 cases noires et 4 cases rouges.
Lors du lancer d’une roue, toutes les cases ont la même probabilité d’être obtenues.
La règle du jeu est la suivante :
• Le joueur mise 1€ et lance la roue A.