Physique générale

C39131 Ecole Normale Supérieure de Cachan
61 avenue du président Wilson
94230 CACHAN
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Concours d’admission en 3ème année
PHYSIQUE APPLIQUÉE
Session 2009
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Épreuve de
PHYSIQUE GÉNÉRALE
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Durée : 4 heures
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Calculatrice électronique de poche – y compris programmable, alphanumérique ou à écran graphique – à
fonctionnement autonome, non imprimante, autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16 novembre
1999.
L’usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est
rigoureusement interdit.
Dans le cas où le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans
sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.
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Cette épreuve est constituée de deux problèmes totalement indépendants.

Problème 1
Autour de la gravitation
En 1687, Isaac Newton publia ses Principes Mathématiques de Philosophie Naturelle dans lequel il
montre que deux effets apparemment très différents (la pesanteur et le mouvement des corps célestes) sont
en fait le résultat d'une seule et même cause : la gravitation universelle. A partir des travaux de Johannes
Kepler sur l'étude du mouvement des planètes, il énonce la loi gravitationnelle (interaction proportionnelle
au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance).
On propose ici d'étudier dans un premier temps la mise en oeuvre de l'expérience de Henry Cavendish
(1798) qui a permis de déterminer une première valeur de la constante gravitationnelle G (parties I et II) et
ensuite d'étudier un phénomène lié à la gravitation, le phénomène des marées (parties III et IV).
Notations et données numériques:
• Constante gravitationnelle : G = 6,67.10
-11
N.kg
-2
.m
-2
• Masse du Soleil :
30
1,99.10=
S
M kg
• Distance moyenne Terre-Soleil :
11
1,50.10=
S
Dm
• Masse de la Lune :
22
7,34.10=
L
M kg
• Distance moyenne Terre-Lune :
8
3,84.10=
L
D m
• Rayon de la Lune :
6
1,75.10=
L
R m
• Masse de la Terre :
24
5,98.10=
T
M kg
• Rayon de la Terre :
6
6,37.10=
T
R m
I. Détermination de la constante de raideur d'un fil de torsion
On réalise un pendule de torsion à l'aide de deux fils de torsion de constante de raideur k (couple de
rappel :
θ
kC
−
=). A l'extrémité de ces deux fils de torsion est fixée une tige de longueur 40=2l cm
parallèlement au sol du laboratoire. Aux deux extrémités de cette tige sont attachées deux masses. On note
I
le moment d'inertie de l'ensemble {masses+tige} par rapport à l'axe vertical
Oz (cf. Fig. 1).
Le système évoluant dans l'air, on supposera que les masses sont chacune soumises à une force de
frottements visqueux de la forme : vhF
f
−= ( 0>h) où v est la vitesse de l'une des masses. On négligera
les frottements s'exerçant sur la tige.
On note g l'accélération de pesanteur.

Figure 1.
Equation du mouvement :
I.1. En appliquant le théorème du moment cinétique, montrer que l'équation différentielle du mouvement
de l'ensemble {masses+tige} est de la forme :
0=
2
2
0
2
2
θω
θ
τ
θ
++ dt
d
dt
d
On exprimera
τ
et
0
ω
en fonction de
I
,
h
,
l
et k.
A l'instant
0=t
, le système est lancé de sa position de repos (
0=
θ
) avec une vitesse initiale angulaire
0
0=
= θ
θ
&
t
dt
d
. Les frottements sont supposés suffisamment faibles pour que le régime d'oscillation du
pendule de torsion soit pseudo-périodique.
I.2. Déduire de l'hypothèse précédente une condition sur
h
.
I.3. Déterminer alors, dans le cas des petites oscillations, la solution )(t
θ
de l'équation différentielle du
second ordre vérifiée par l'angle
θ
.
I.4. Tracer la représentation graphique de )(t
θ
en fonction du temps, les courbes enveloppes et la
tangente à l'origine de l’enveloppe.
I.5. Que devient l'expression de
ω
lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement (loin du régime
critique, c'est-à-dire T
>>
τ
où
T
est la pseudo période du mouvement) ?
I.6. En déduire une expression approchée de la vitesse angulaire
θΩ
&
=)(t sous la forme :
)(=)(
/
tcosAet
t
ωΩ
τ −
où l'on précisera l'expression de
A
et
ω
.
Étude énergétique :
I.7. Préciser l'expression de l'énergie cinétique )(tE
c
en fonction de
I
et )(t
Ω
. Que devient cette
expression lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement ?
I.8. Préciser l'expression de l'énergie potentielle du pendule associée au couple de torsion )(tE
p
en
fonction de k et
)(t
θ
. Que devient cette expression lorsqu'on se trouve en régime de faible amortissement ?

I.9. En déduire l'expression de l'énergie mécanique
)(tE
m
en régime de faible amortissement en fonction
du temps
t
, de
I
, de
τ
et de
0
θ
&.
I.10. Tracer alors le graphe de ces énergies en fonction du temps. Interpréter physiquement.
Approche expérimentale :
I.11. On appelle décrément logarithmique
δ
la quantité 
+)( )(
=nTt t ln
θθ
δ
, où
T
est la pseudo-période
et
t
le temps. Exprimer
δ
en fonction de
T
,
n
et
τ
dans le cas du régime de faible amortissement.
Le pendule oscille de 2 pseudo-périodes pendant 32 s. L'amplitude des oscillations est réduite d'un
facteur 3 au bout de 10 oscillations (
5
2,6.10=
−
Ikg.m
2
).
I.12. Calculer numériquement à partir de ces valeurs, sans oublier de préciser les unités :
• la pseudo-période
T
;
• le décrément logarithmique
δ
;
• la constante de temps
τ
;
• la pseudo-pulsation et la pulsation propre ;
• la constante de raideur du fil de torsion k.
II. Pendule de torsion de Cavendish
La première détermination de la constante gravitationnelle G a été réalisée par Henry Cavendish en 1798.
L'expérience menée est la suivante : deux petites sphères de platine de masse
50=m
g sont placées aux
extrémités d'une tige horizontale de longueur
50=2l
cm. Cette tige est suspendue à un fil de torsion de
même nature que celui étudié précédemment, de constante de torsion
6
2.10=
−
kN.m (cf. Fig. 2).
Deux sphères de plomb identiques de masse 30=Mkg positionnées dans le plan horizontal de la tige
sont placées à une distance 15=dcm du centre de chaque petite sphère de platine. Le pendule est alors
dévié d'un angle
α
.
Lorsqu'on déplace les sphères de plomb dans une nouvelle position symétrique de la précédente et
indiquée en pointillés sur la figure 2, le pendule tourne alors d'un angle
α
θ
2= .
On négligera l'action de chaque grosse sphère sur la petite sphère la plus éloignée.
Figure 2.
II.1. Exprimer la force gravitationnelle qui s'exerce sur chaque petite sphère. En déduire la déviation
θ
du pendule en fonction de G,
M
,
m
, l, k et d.

L'angle dont tourne le pendule lorsque l'on permute les positions des grosses sphères est mesuré à l'aide
d'un miroir fixé sur l'axe de rotation du pendule. La déviation du faisceau lumineux est mesurée sur une
échelle placée à une distance
4=b
m du pendule.
II.2. On mesure une déviation sur l'échelle de
9=a
mm. Déduire de cette mesure la valeur de G.
Comparer à la valeur donnée en préambule.
III. Etude du champ gravitationnel
III.1. Qu'appelle t-on référentiel galiléen ?
III.2. Définir le référentiel héliocentrique. A quelles conditions peut-on le considérer comme galiléen ?
III.3. Définir le référentiel terrestre. Citer une expérience historique qui a permis de mettre en évidence le
caractère non galiléen de ce référentiel.
La loi d'interaction gravitationnelle entre deux particules A et B de masses réciproques
A
m et
B
m a pour
expression :
=
F
GAB
AB
mm
BA 3
avec G constante gravitationnelle.
III.4. Rappeler l'expression du théorème de Gauss définissant le flux du champ électrostatique
E
à
travers une surface fermée. Préciser l'unité de chaque grandeur physique présente dans la relation.
On rappelle que toute particule de charge
q
′
située en M plongée dans un champ électrostatique )(ME
subit une force
F
telle que )(= MEqF ⋅
′.
On définit par analogie au champ électrostatique un champ gravitationnel
)(MG créé par une
distribution de masse quelconque tel que tout point matériel de masse m
′
placé en M subit une force
F
telle que )(.= MGmF
′
.
III.5. Donner l'expression de )(MG , champ gravitationnel créé en M par une masse ponctuelle
m
.
III.6. Construire un tableau faisant apparaître les analogies entre )(ME , )(MG ,
q
,
m
et les autres
grandeurs qui vous sembleront nécessaires. Énoncer un équivalent du théorème de Gauss définissant le flux
du champ gravitationnel. Préciser l'expression de
(
)
Gdiv .
III.7. Déterminer l'expression du champ )(
MG
créé par un astre sphérique de masse
A
M
(répartition
des masses supposée uniforme) de rayon
R
en un point M quelconque de l'espace (
R
r
<
et
R
r
>
).
IV. Etude du phénomène des marées
Dans la suite du problème, on note :
• R le référentiel de Copernic dont l'origine est le centre de masse O du système solaire et les trois axes
z
y
x
,
,
pointent vers trois étoiles lointaines de la sphère céleste. R réalise une excellente approximation
d'un référentiel galiléen. Le repère associé est (O,
x
u
,
y
u ,
z
u
)