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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014
Cours de mathématiques
Partie I – Les fondements
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
12 octobre 2013

Table des matières
1 Sommes 3
I Manipulation des signes Pet Q................................ 4
I.1 Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
I.2 Règles de manipulation des signes Pet Q...................... 6
I.3 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
I.5 Sommesmultiples .................................... 10
I.6 Rapide introduction à la notion de série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.1 Somme des puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III Coefficients binomiaux, formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Fondements logiques 19
I Logique propositionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.1 Construction formelle d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
I.2 Véracité d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.3 Équivalences entre formules, tautologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.4 Démonstration formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
II Calcul des prédicats du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.1 Construction formelle d’une formule du calcul des prédicats . . . . . . . . . . . . . 24
II.2 Règles concernant les quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II.3 Valeur de vérité et démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.1 Description générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
IV Quelques types classiques de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV.1 LeModusponens. .................................... 30
IV.2 La transitivité de l’implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
IV.3 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV.4 Cas particulier : démonstration par l’absurde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
IV.6 Analyse-Synthèse..................................... 32
IV.7 Raisonnement par récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
IV.8 Récurrence d’ordre k: ................................. 33

2 Table des matières
IV.9 Récurrenceforte: .................................... 34
IV.10 Récurrences multiples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV.11 Principe de la descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Ensembles, applications, relations 35
I Ensembles............................................. 35
I.1 Définitionintuitive.................................... 35
I.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
I.3 Unions et intersections infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.5 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
I.6 Tentatives d’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II L’ensemble Ndesentiersnaturels................................ 42
II.1 Axiomatique de N(hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II.2 Propriétés de N...................................... 43
III Applications............................................ 44
III.1 Définitions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
III.2 Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
III.4 Notion de cardinal. Dénombrabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
IV Relations ............................................. 55
IV.1 Généralités ........................................ 55
IV.2 Opérations sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.3 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
IV.4 Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
IV.5 Relationsd’ordre..................................... 60
4 Les corps Ret C67
I Le corps Qdes rationnels et le corps Rdesréels........................ 67
I.1 Idée de constuctions possibles de Qet de R...................... 67
I.2 Division euclidienne dans R............................... 68
I.3 De l’existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
I.4 Signe et inégalités dans Ret Q............................. 71
I.5 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
I.6 Représentation décimale et binaire d’un réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
I.7 Intervalles......................................... 76
I.8 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
I.9 Droite achevée R..................................... 80
II Le corps Cdes nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
II.2 Module .......................................... 83
II.3 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
II.4 L’exponentielle complexe et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 89
II.5 Racines n-ièmes ..................................... 91
II.6 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . 93
II.7 Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
III Ensembles de nombres étendant C............................... 97
III.1 Quaternions........................................ 97
III.2 Octonions......................................... 97

1
Sommes
Introduction
Le but de ce chapitre introductif est de systématiser l’usage du signe Ppour désigner une somme
d’éléments. Dans la mesure du possible, l’utilisation de cette notation est préférable à celle utilisant des
petits points, bien moins rigoureuse.
Nous supposons connues les notions et notations suivantes :
•la compréhension intuitive des ensembles de nombres usuels, et les notations standard :
∗N: ensemble des entiers naturels (i.e. positifs ou nuls) ;
∗Z: ensemble des entiers relatifs (i.e. de signe quelconque) ;
∗Q: ensemble des nombres rationnels (i.e. pouvant s’écrire sous forme d’une fraction) ;
∗D: ensemble des nombres décimaux (i.e. admettant une écriture finie en base décimale) ;
∗R: ensemble de tous les nombres réels ;
∗C: ensemble de tous les nombres complexes ;
•les sous-ensembles particuliers suivants de Ret C:
∗R+: ensemble des réels positifs ou nuls ;
∗R−: ensemble des réels négatifs ou nuls ;
∗R∗: ensemble des réels non nuls ;
∗R∗
+: ensemble des réels positifs non nuls ;
∗R∗
−: ensemble des réels négatifs non nuls ;
∗C∗: ensemble des nombres complexes non nuls ;
∗N∗: ensemble des entiers naturels non nuls ;
∗Z−: ensemble des entiers négatifs ou nuls ;
∗Z∗: ensemble des entiers non nuls ;
∗de même que pour R, on peut définir Q+,Q−,Q∗,Q∗
+,Q∗
−,D+,D−,D∗,D∗
+ou D∗
−; on rencontre
aussi parfois Z+pour désigner N, et Z∗
−;
•les intervalles de réels :
∗pour a6b, la notation [a, b]désigne l’intervalle fermé délimité par les réels aet b, c’est-à-dire
l’ensemble des réels xtels que a6x6b;
∗pour a < b, la notation ]a, b]désigne l’ensemble des réels xtels que a < x 6b. On définit de manière
similaire [a, b[et ]a, b[;
∗+∞désigne l’infini positif, −∞ désigne l’infini négatif ;
∗les intervalles de Rpeuvent être délimités par un infini, à condition d’avoir une borne ouverte :
[a, +∞[par exemple désigne l’intervalle des réels xtels que a6x;
•les intervalles d’entiers : si aet bsont deux entiers tels que a6b,[[a, b]] désigne l’intervalle d’entiers
délimité par aet b, c’est-à-dire :
[[a, b]] = {a, a + 1,...,b−1, b}={n∈Z|, a 6n6b};